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2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:4.4三角函数的图象(第1课时)


第四章
第 讲

三角函数

(第一课时)

1

●“五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的简图 考 搜 ●变换作图法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω 点 >0)的图象



●给出图象上的点,求解析式 y=Asin(ωx

+φ) ●三角函数的图象与性质的综合及有 关三角函数图象的对称性在高考中的应用
2

三角函数的图象是高考考查 高 的热点之一.尤其是在①图象的平移变 换;②由图象确定解析式;③三角函 考 数图象的对称性;④三角函数图象的 猜 应用几个方面考查较多.题型一般为选 想 择题和填空题,难度不大,题目形式 多样.

3

1. y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象特征. 三角函数的 图象 (一个周期) 对称 对称



中心







(kπ,0) _____ ____ (k∈Z) (k∈Z) __ __
_____ ____
4

? x ? k? ? 2

三角函数的 图象 余 弦

对称 轴

对称




y=
cosx

中心 (一个周期) ? x=kπ (k? ? ,0) 2 (k∈_____ (k∈Z) Z) ____ __ __ 1 , 0) _____ ( k?____ 2 ___ ____ (k∈Z)
5

2. “五点法”作y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的简图. 五点的取法是:设α=ωx+φ, ? 3? 由α取 ,? , ,2? 0, 2 2 来求相应的x值及对应的y值,再描点作图.

6

3. 变换作图法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象. ? (1)振幅变换:y=sinx→y=Asinx ? 将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原来 的 倍(横坐标不变); A ? (2)相位变换:y=Asinx→y=Asin(x+φ) ? 将y=Asinx的图象上所有点向 . (φ>0)或向 (φ<0)平移 个 左 单位长度; |φ| 右
?
7

(3)周期变换: y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)(ω>0). ? 将y=Asin(x+φ)图象上各点的横坐标变为原 来的 1 倍(纵坐标不变). ? ? (4)由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的 图象,一般先作相位变换,后作周期变换, 即y=sinx→y=sin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ).
?

8

?

如果先作周期变换,后作相位变换,则左 |φ| 右平移时不是 个单位长度;而是 ? | | 个单位长度.即y=sinωx→ y=sin(ωx+φ)是左

? 右平移

? | | 个单位长度. ?

9

? ?

4. (1)y=Asin(ωx+φ)的周期为
(2)y=Acos(ωx+φ)的周期为

2? |? | . ?
.? | |

2? . |? |

?

(3)y=Atan(ωx+φ)的周期为

10

?

1.将函数y=sin2x的图象向左平移 个单位 4 长度,再向上平移1个单位长度,所得图象的 函数解析式是( ) A.y=2cos2x B. y=2sin2x C. y=1+sin(2x+ D. y=cos2x )?
4

?

? ? ? ?

11

将函数y=sin2x的图象向左平移 单位长度, ? ? 得到函数y=sin2(x+ )
? ? ? ? ?



即y=sin(2x+ )=cos2x的图象, 2 再向上平移1个单位长度, 所得图象的函数解析式为 y=1+cos2x=2cos2x,故选A.

?

4

12

平移 6 个单位长度后,与函数y=tan (ωx+ ? 的图象重合,则ω的最小值为( ) D
6

? 2.若将函数 y ? tan(? x ? )(ω>0)的图象向右 4 ?

)

1 A. 6 1 C. 3

1 B. 4 1 D. 2

由平移及周期性得出ωmin=
故选D.

1 . 2

13

? ? 3.已知函数f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最 4 小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移|φ| 个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ 的一个值是( ) ? 3?
2 ? C. 4 A. 8 ? D. 8 B.

14

? ? ?

由已知,周期为
则ω=2,

2? ?= ,

?

则结合平移公式和诱导公式可知平移后是 偶函数, ? sin[2( x ? | ? |) ? ?? ? cos 2 x, ? 所以 4 ? 故选D.

15

题型1:三角函数图像的画法 ? ? 1. 已知函数 y ? 2sin(2 x ? ). 3 ? (1)求它的振幅、周期、初相; ? (1) 的振幅A=2, ? y ? 2sin(2 x ? ) ? 周期 3 2? T? ? ?, ? 初相
?

2 ? ?? . 3

16

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图 象; ? (2) ? 令X ? 2 x ? , ?则 3 ? y ? 2sin(2 x ? ) ? 2sin X . ? 列表,并描点画出图象: 3
?

17

x X
y ? 2sin(2 x ? ) 3

? 6

? 12 ? 0 2

? 3 ?

7? 12 3? 2

5? 6 2?

y=sinx?

0 0

1 2

0 0

1

0 0

2

18

方法1:把y=sinx的图象上所有的点向左平 ? ? 移 个单位长度,得到y=sin(x+ )的图 3 象; 3 ? 再把y=sin(x+ )的图象上所有的点的横坐 ? 标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到 3 1 y=sin(2x+ )的图象; ? 2 )上所有点的纵坐标伸 ? 最后把y=sin(2x+ 3 长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到 ? y=2sin(2x+ )的图象. 3
?

? 3
19

方法2:将y=sinx的图象上所有点的横 1 坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到 2 y=sin2x的图象; 再将y=sin2x的图象上所有的点向左平 ? ? 移 6 个单位长度,得到y=sin2(x+ )= 6 ? sin(2x+ )的图象; 坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到 ? y=2sin(2x+ )的图象.
3

? 再将y=sin(2x+ )的图象上所有点的纵 3

3

20

【点评】:画三角函数的图象一般是采 用五点法画一个周期内的图象.若给出的 函数形式不是一次型三角函数式,则须 先化简.画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 图象时,先以ωx+φ为整体分别取0, ? 然后求得所对应的五个点的坐标, ? 再用描点法画得函数的图象. 3? ,? , , 2? ,
?

2

2

21

作函数y=2sinx(sinx+cosx)在区间[ - , ] 2 2 内的图象.
y ? 2sin 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x - cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x - ) ? 1, x ? [- , ]. 4 2 2

? ?

?

? ?

列表:
2x -

?
4

5? 4

-?
3? 8

x

? 2

? 2 ? 8

? 0 2 ? 3? 8 8

3? 4

? 2

y

2

1 1? 2

1 1? 2

2
22

描点作图:

23

题型2:根据函数图象求解析式 2. 已知下图是某正弦曲线的部分图象, 求该曲线对应的函数解析式.

24

设f(x)=Asin(ωx+φ).
由图知,A=2,

周期 T ? 4( ?
6

?

?

12 2? ? 2, 从而 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ). 所以 ? ? T 6? 12 ? 所以 sin( +? )=1,且 sin(- ? ? ) ? 0. 3 6 ? 故可以取 ? = . 故该曲线对应的函数解析 6 ? 式是 f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6
25

) ? ?,

因为 f ( ? ) ? 2, f (- ? ) ? 0,

?

【点评】:根据“正弦曲线”求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式,一般是根据最高 点和最低点的值求A的值;对称中心、对 称轴之间的距离与周期有关,可用于求ω 的值;再根据特殊点求φ的值.

26

已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其 π 中 A>0,ω>0,0<φ<2)的图象与 x 轴的交点 π 中,相邻两个交点之间的距离为2,且图象 2π 上一个最低点为 M( 3 ,-2). (1)求 f(x)的解析式; π π (2)当 x∈[12,2],求 f(x)的值域.
27

2π 解:(1)由最低点为 M( 3 ,-2)得 A=2. π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2, T π 得 2=2, 2π 2π 即 T=π,ω= T = π =2. 2π 由点 M( 3 ,-2)在图象上, 2π 则 2sin(2× 3 +φ)=-2, 4π 即 sin( 3 +φ)=-1,
28

4π π 11π 故 3 +φ=2kπ-2,所以 φ=2kπ- 6 ,k∈Z. π π π 又 φ∈(0,2),所以 φ=6,故 f(x)=2sin(2x+6).

29

π π π π 7π (2)因为 x∈[12,2],所以 2x+6∈[3, 6 ]. π π π 当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得最大值 2; π 7π π 当 2x+6= 6 ,即 x=2时,f(x)取得最小值-1, 故 f(x)的值域为[-1,2].

30

1.在中学阶段,对各类函数的研究都离不 开图象.很多函数的性质都是通过观察图象 而得到的. ? 2. 作函数的图象时,首先要确定函数的 定义域.“五点法”作图的关键是五个特殊 点的选定.
?

31

3. 给出图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B的 难点在于φ的确定,本质为待定系数法, 基本方法是: ? (1)“五点法”,运用“五点”中的一点 确定. ? (2)图象变换法,即已知图象是由哪个函 数的图象经过变换得到的,通常可由零 点或最值点确定φ.
?

32


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