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排列组合和二项式定理(第11课)组合(5)




题:

10.3 组合 (五)

教学目的: 1 对排列组合的知识有一个系统的了解,从而进一步掌握; 2.能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题; 3.提高合理选用知识分析问题、解决问题的能力 教学重点:排列、组合综合问题 教学难点:排列、组合综合问题 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体

、实物投影仪 内容分析: 学生易于辨别组合、全排列问题,而排列问题就是先组合后全排列.在求解 排列、组合问题时,可引导学生找出两定义的关系后,按以下两步思考:首先 要考虑如何选出符合题意要求的元素来,选出元素后再去考虑是否要对元素进 行排队,即第一步仅从组合的角度考虑,第二步则考虑元素是否需全排列,如 果不需要,是组合问题;否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景,解题思路 通常是依据具体做事的过程,用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、 组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发,正确领会问题的实质, 抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察, 有些同学之所以学习中感 到抽象,不知如何思考,并不是因为数学知识跟不上,而是因为平时做事、考 虑问题就缺乏条理性,或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常 理或常规的做法).要解决这个问题,需要师生一道在分析问题时要根据实际情 况,怎么做事就怎么分析,若能借助适当的工具,模拟做事的过程,则更能说 明问题.久而久之,学生的逻辑思维能力将会大大提高. 排列、组合问题解题方法比较灵活,问题思考的角度不同,就会得到不同 的解法.若选择的切入角度得当,则问题求解简便,否则会变得复杂难解.教学 中既要注意比较不同解法的优劣,更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行 认识思考,才能得到最优方法 教学过程: 一、复习引入: 1 分类计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法
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中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类 办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不
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同的方法

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2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的 方法,那么完成这件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法
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3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 ..... 元素的一个排列 .... 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排
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m 列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示

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m 5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ( m, n ? N ? , m ? n )

6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1 .
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m 7.排列数的另一个计算公式: An =

n! (n ? m)!

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8 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一
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组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
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9.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的
m 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示. ...

m 10.组合数公式: Cn ?

Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m Am m!

或 C n?
m

n! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)!
m n ?m

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11 组合数的性质 1: Cn ? Cn
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0 .规定: Cn ? 1 ;

m m 12.组合数的性质 2: Cn?1 = C n + Cn ?1 m

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二、讲解范例: 例 1.某考生打算从 7 所重点大学中选 3 所填在第一档次的 3 个志愿栏内,其中

A 校定为第一志愿;再从 5 所一般大学中选 3 所填在第二档次的三个志愿栏内, 其中 B 、 C 两校必选,且 B 在 C 前 问:此考生共有多少种不同的填表方法? 解:先填第一档次的三个志愿栏:因 A 校定为第一档次的第一志愿,故第一档
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2 2 次的二、三志愿有 A6 种填法;再填第二档次的三个志愿栏: B 、 C 两校有 C3 1 种填法, 剩余的一个志愿栏有 A3 种填法 由分步计数原理知,此考生不同的填表
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2 2 1 方法共有 A6 C3 A3 ? 270 (种)

A
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例 2.如图是由 12 个小正方形组成的 3 ? 4 矩形网格, 一质点沿网格线从点 A 到点 B 的不同路径之中, 最短路 B 径有 条 解: 总揽全局:把质点沿网格线从点 A 到点 B 的最短路径分为七步,其中四步 向右,三步向上,不同走法的区别在于哪三步向上,
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3 因此,本题的结论是: C7 ? 35 .

例 3.圆周上有 12 个不同的点,过其中任意两点作弦,这些弦在圆内的交点个 数最多是多少? 解:要使交点个数最多,则只需所有的交点都不重合 显然,并不是每两条弦都 在圆内有交点,但如果两条弦相交,则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点 的四边形的对角线的交点,也就是说,弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的 四边形是一一对应的
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4 因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数,即 C12 ? 495 个

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变式:本题构造了四边形以求得满足条件的交点,类似的,前面讲过一个问题: 以一个正方体的 8 个顶点连成的异面直线共有 对
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4 解:以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 C8 ?12 =58 个,每个四面体的

四条棱可以组成 3 对异面直线,因此以一个正方体的 8 个顶点连成的异面直线 共有 3×58=174 对
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3 1 2 2 另解: 3 ? 2C4 C4 ? C4 C4 ? 10 ? ? 174 对

?

?

??

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例 4.有 10 只不同的试验产品,其中有 4 只次品, 6 只正品,现每次取一只测 试,直到 4 只次品全测出为止,求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的 不同情形有多少种? 解:本题实质是,前五次测试中有 1 只正品 4 只次品,且第五次测试的是次品 思路一:设想有五个位置,先从 6 只正品中任选 1 只,放在前四个位置的任
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一个上, C6C4 种方法; 有 1 1 再把 4 只次品在剩下的四个位置上任意排列, A4 种 有 4

1 1 4 排法 故不同的情形共有 C6C4 A4 ? 576 种
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思路二:设想有五个位置,先从 4 只次品中任选1 只,放在第五个位置上,
1 有 C4 种方法;再从 6 只正品中任选 1 只,和剩下的 3 只次品一起在前四个位置 1 4 1 1 4 上任意排列,有 C6 A4 种方法 故不同的情形共有 C4C6 A4 ? 576 种
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例 5.在一次象棋比赛中,进行单循环比赛 其中有 2 人,他们各赛了 3 场后, 因故退出了比赛,这样,这次比赛共进行了 83 场,问:比赛开始时参赛者有多 少人? 解:需要考虑两种情况:第一种,因故退出比赛的两人之间没有进行比赛,则
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2 Cn?2 ? 6 ? 83 ,此方程无正整数解;第二种,因故退出比赛的两人之间进行了 2 比赛,则 Cn?2 ? 6 ?1 ? 83 ,解得 n ? 15 ,所以,比赛开始时参赛者有 15 人

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三、课堂练习: 1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们 有网线相联,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可 B 以通过的最大信息量,现从结点 A 向结点 B 传递信息,信息 可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息 量为 ( )

5 3 4 7 6 8 6 12 6 12 A

A . 26

B . 24

C . 20

D . 19

2.学校召开学生代表大会,高二年级的 3 个班共选 6 名代表,每班至少 1 名, 代表的名额分配方案种数是 ( )

A . 64

B . 20

C . 18

D . 10

3.3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每所学校分配 1 名医生 和 2 名护士,不同的分配方法共有( )

A . 90

B . 180

C . 270

D . 540

4.公共汽车上有 4 位乘客,汽车沿途停靠 6 个站,那么这 4 位乘客不同的下车 方式共有 种;如果其中任何两人都不在同一站下车,那么这 4 位乘客不 同的下车方式共有 种
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5. 4 名男生和 3 名女生排成一行,按下列要求各有多少种排法: (1)男生必须排在一起 ; (2)女生互不相邻 ; (3)男女生相间 ; (4)女生按指定顺序排列 . 6.有排成一行的 7 个空位置, 3 位女生去坐,要求任何两个女生之间都要有空 位,共有 种不同的坐法 7.赛艇运动员 10 人,3 人会划右舷,2 人会划左舷,其余 5 人两舷都能划,现 要从中挑选 6 人上艇,平均分配在两舷上划桨,共有 种选法
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8. A, B, C , D, E 5 位同学进行网页设计比赛,决出了第 1 至第 5 名的名次 A 、
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B 两位同学去询问名次,主考官对 A 说: “很遗憾,你和 B 都未拿到冠军” ;对 B 说: “你当然不会是最差的 ”从这个回答分析, 5 位同学的名次排列共可能
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有 种不同的情况 9.学校餐厅供应客饭,每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种 不同的品种,现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜,若要保证每位学生有 200 种以 上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜种 10.有 10 只不同的试验产品,其中有 4 只次品,6 只正品,现每次取一只测试, 直到测出 1 只次品为止, 求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种 11.圆周上有 12 个等分点,以其中 3 个点为顶点的直角三角形的个数为 个
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答案:1. D 2. D
4 4 5.⑴ A4 A4 ? 576 3 6. A5 ? 60 3 8. 3 ? 3 ? A3 ? 54

3. D 4. 6 ? 1296 ,
4

4 4 C6 A4 ? 360 4 ⑷ A7 ? 840

4 3 ⑵ A4 A5 ? 1440

3 4 ⑶ A3 A4 ? 144

3 3 3 2 2 3 1 3 3 7. C3 C7 ? 5C6 C3 ? C5 C5 C3 ? C5 C4 ? 675 2 2 9. C5 Cx ? 200 ? xmin ? 7 1 1 11. C6C10 ? 60

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4 4 1 10. C6 C4 C4 ? 1440

四、小结 :1.解决有关计数的应用题时,要仔细分析事件的发生、发展过程, 弄清问题究竟是排列问题还是组合问题,还是应直接利用分类计数原理或分步 计数原理解决 一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起,要准确分清, 容易产生的错误是遗漏和重复计数; 2.解决计数问题的常用策略有: (1)特殊元素优先安排; (2)排列组合混合题 要先选(组合)后排; (3)相邻问题捆绑处理(先整体后局部)(4)不相邻问 ; 题插空处理; (5)顺序一定问题除法处理; (6)正难则反,合理转化 五、课后作业:
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六、板书设计(略) 七、课后记:
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