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第三课时 一元二次方程的根的判别式


一元二次方程的根的判别式 1、 2、 一元二次方程的根的判别式△=b 2

-4ac

一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

当△>0 时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0 时,方程有两个相等的实数根; 当△<0 时,方程没有实数根。 例1、 不解方程,判别下列方程的根的情况 (1) ?3x ? 5x ? 2 ? 0
2

(2) 4 x ? 1 ? 4 x
2

(3) 2 x ? 3x ? 4 ? 0
2

(4) 4( x2 ? 1) ? 7 x ? 0

例2、 已知关于 x 的方程

1 2 x ? (m ? 2) x ? m 2 ? 0 ,(1)有两个不相等的实数根,求 m 的 4

范围; (2)有两个相等的实数根,求 m 的值; (3)无实数根,求 m 的范围。

例 3、已知 (1 ? k ) x ? 2 x ?1 ? 0 是关于 x 的一元二次方程,且有两个不相等的实数根,求 k
2

的最大整数值。

练习:1、不解方程,判别下列方程的根的情况 (1) 2 x ? 4 x ? 35 ? 0
2

(2) 4m(m ? 1) ? 1 ? 0

2、关于 x 的一元二次方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k ?1 ? 0 根的情况是( A、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 B、有两个相等的实数根 D、无法判断



3、当 a 取何值时,方程 (a ?1) x2 ? 2x ?1 ? 0 ,(1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相 等的实数根; (3)没有实数根。

4、一个三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是一元二次方程 x ? 16 x ? 60 ? 0 的一
2

个实数根,求该三角形的面积。

5、 已知方程 x ? x ? k ? 0 有一根为 3,试求方程的另一根及 k 的值。
2

一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根与系数的关系:若 x1 , x2 为方程的两个根, 则 x1 ? x2 ? ___________ x1 ? x2 ? __________ 以两个数 x1 、 (二次项系数为 1) 是: x2 为根的一元二次方程 x2 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1x2 ? 0 例1、 已知方程 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 有两个根 x1 、 x2 ,求:
2

(1) x12 x2 ? x1 x2 2

(2)

1 1 ? x1 x2

例2、 已知方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个根为 a,b,求:
2

(1) a ? b
2

2

(2) a ? b

例 3、已知方程 5x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值。
2

例 4、已知关于 x 的方程: x ? (m ? 2) x ?
2

1 2 m ? 2 ? 0 (1)当 m 取何值时,方程有两个 4
2 2

相等的实数根; (2)设方程的两个实数根为 x1 、 x2 ,且满足 x1 ? x2 ? 18 ,求 m 的值。

练习: 1、 方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根为 x1 、 x2 ,则 x1 ? x2 ? ______ x1 ? x2 ? ________。
2

2、 方程 x ? 2 x ? 3 的两个根为 x1 、 x2 ,则 x1 ? x2 ? ______ x1 ? x2 ? ________。
2

3、 已知关于 x 的方程 x ? ax ? b ? 0 的两个根分别为 ?1 和 3,则 ab=____________.
2

4、已知 x1 、 x2 是方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的两个根,则
2

1 1 ? =______________. x1 x2

5、以 ?5 和 3 为根的一元二次方程是_____________________________. 6、已知:方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 的两个根为 x1 、 x2 ,求:
2

(1) x12 ? x22

(2) x1 ? x2

6、 已知关于 x 的方程 x ? 4 x ? k ? 0 的两个根之差为 6,求 k 的值。
2

7、若方程 x ? ax ? 2a ? 0 的两实数根为 x1 、 x2 ,且满足 x12 ? x22 =12,求实数 a 的值.
2


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