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直线与圆锥曲线位置关系(教师版)


高二专题复习五

第 5 讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、知识梳理: 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断 (1)代数法:把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y,整理得到关于 x 的方程 Ax2+Bx+ C=0.若圆锥曲线是双曲线或是抛物线, 当 A=0 时, 表示直线与双曲线的渐近线或抛物线的 轴平行;当 A≠0 时,记该一元二次方程根的判别式为 Δ,①若 Δ>

0,则直线与圆锥曲线 __________;②若 Δ=0,则直线与圆锥曲线__________;③若 Δ<0,则直线与圆锥曲线 __________. (2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质可判断直线与 圆锥曲线的位置关系. 2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由 ?

? F ( x, y ) ? 0 ,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0) ,Δ=b2 -4ac。 ? y ? kx ? n

则弦长公式为: d= 1 ? k 2 x1 ? x2 = 1 ? k 2 = 1?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2 ? y1 ? y 2 ?2 ? 4 y1 y 2


1 1 y1 ? y2 = 1 ? 2 2 k k

2 2 2 2 d= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 ) = (1 ? k )( x1 ? x2 ) =

1? k 2 ? Δ (1 ? k 2 ) Δ = 。 a a2

3.中点弦问题:求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法: ⑴.点差法:将弦的两个端点坐标代入曲线方程,两式相减,即可确定弦的斜率,然后由点 斜式得出弦的方程; ⑵.设弦的点斜式方程,将弦的方程与曲线方程联立,消元后得到关于 x(或 y)的一元二次 方程,用根与系数的关系求出中点坐标,从而确定弦的斜率 k,然后写出弦的方程; ⑶ . 设 弦 的 两 个 端 点 分 别 为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ? , 则 这 两 点 坐 标 分 别 满 足 曲 线 方 程 , 又

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ? ? 为弦的中点,从而得到四个方程,由这四个方程可以解出两个端点,从 2 ? ? 2
而求出弦的方程。 4.若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题,一般利用圆锥曲线的定义去解决. 二、基础检测: 1.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
1

).

高二专题复习五

C 解析:与抛物线相切有 2 条,与对称轴平行有 1 条,共 3 条 2.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ). 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 A 解析:由抛物线 y2=4x 知直线 l2 为其准线,焦点为 F(1,0). 由抛物线的定义可知动点 P 到直线 l2 的距离与 P 到焦点 F(1,0)的距离相等,所以 P 到 直线 l1 的距离与 P 到焦点 F(1,0)的距离之和的最小值为焦点 F(1,0)到直线 l1 的距离(如图), |4×1-0+6| 则 d= =2. 32+42 3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ). A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 p p ? B 解析:过焦点 F? ?2,0?且斜率为 1 的直线方程为 y=x-2,与抛物线方程联立可得 y2-2py-p2=0,所以 y1+y2=2p=4.所以 p=2,故准线方程为 x=-1. 4.已 知 F 为抛物线 y2=8x 的焦点,过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点, 则||FA|-|FB||的值为( ). A.4 2 B.8 C.8 2 D.16 ?y=x-2, ? C 解析:依题意知 F(2,0),所以直线的方程为 y=x-2.联立方程,得? 2 ?y =8x, ? 2 消去 y,得 x -12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=4,x1+x2=12, 则||AF|-|BF||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= 144-16=8 2. x2 5.已知斜率为 1 的直线过椭圆 +y2=1 的右焦点交椭圆于 A,B 两点,则弦 AB 的长 4 为__________.

? ?y=x- 3, 8 解析:右焦点( 3,0),直线 AB 的方程为 y=x- 3,由?x2 2 5 ? ? 4 +y =1,
得 5x2 - 8 3 x + 8 = 0. 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,则 x1 + x2 = 8 ?2 8? 8 3 (1+k2)?? ??5 ? -4×5?=5. 6.已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( ). A.1 B.3 C.-4 D.-8 C 解析:如图所示,由已知可设 P(4,y1),Q(-2,y2), 8 3 8 , x1x2 = , |AB| = 5 5

?42=2y1, ? ∵点 P,Q 在抛物线 x2=2y 上,∴? 2 ? ?(-2) =2y2. 2

① ②

?y1=8, ? ∴? ∴P(4,8), ? ?y2=2.

高二专题复习五

1 Q(-2,2).又∵抛物线可化为 y= x2,∴y′=x,∴过点 P 的切线斜率为 y′|x=4 =4, 2 ∴过点 P 的切线为 y-8=4(x-4), 即 y=4x-8. 又∵过点 Q 的切线斜率为 y′|x=-2 =-2,∴过点 Q 的切线为 y-2=-2(x+2),即 y=-2x-2. ?y=4x-8, ? 联立? 解得 x=1,y=-4,∴点 A 的纵坐标为-4. ? ?y=-2x-2,
[来源:学§科§网 Z§ X§X§K]

三、典例导悟:

x2 y2 7.求证:不论 m 取何值,直线 l:mx-y-m+1=0 与椭圆 + =1 总有交点. 16 9 直线 l 的方程可化为 m(x-1)+(-y+1)=0, 故直线 l 恒过 x-1=0 和-y+1=0 的交点 A(1,1). x2 y2 又点 A 在椭圆 + =1 内部, 16 9 ∴直线 l 与椭圆总有交点. 8.已知抛物线方程为 y 2 ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) , 直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被

抛物线截得的弦长为 3,求 p 的值。 解析:设 l 与抛物线交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式|AB|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 |, 则有( y1 ? y2 )2 ? 9 . 2
k 2

由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ?
? y 2 ? 2 p( x ? 1). ?

?

p

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y2 ? ?2 p, y1 y2 ? ? p 2 .
2

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ? 3 .
4

9.已知双曲线方程 2 x ? y =2。⑴求以 A ?2,1? 为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
2 2

⑵过点 ?1,1?能否作直线 L, 使 L 与双曲线交于 Q1 ,Q2 两点, 且 Q1 ,Q2 两点的中点为 ?1,1?? 如果存在,求出直线 L 的方程;如果不存在,说明理由。

10.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程;
3

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(2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距 离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程; x2 y2 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且可知左焦点为 F′(-2,0), a b ? ?c=2, 从而有? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ?
? ?c=2, x2 y2 解得? 又 a2=b2+c2,所以 b2=12.故椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 ?a=4. ? 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y= x+t. 2 3 y= x+t, 2 由 2 得 3x2+3tx+t2-12=0. 2 x y + =1, 16 12

? ? ?

因为直线 l 与椭圆 C 有公共 点,所以 Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0.解得-4 3≤t≤4 3. |t| 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得 =4,从而 t=±2 13. 9 +1 4 由于±2 13 ? [-4 3,4 3],所以符合题意的直线 l 不存在. 3? 11.已知椭圆 C 经过点 A? ?1,2?,两个焦点为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. x2 y2 1 9 解:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为 2 2+ 2=1.因为 A 在椭圆上,所以 2+ 1+b b 1+b 4b =1, 3 x2 y2 解得 b 2=3,b2=- (舍去).所以椭圆方程为 + =1. 4 4 3 3 x2 y2 (2)设直线 AE 的方程为 y=k(x-1)+ ,代入 + =1,得 2 4 3 3 ?2 (3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4? ?2-k? -12=0. ?3-k?2-12 4 ?2 ? 3 1, ?在椭圆上,所以 xE= 设 E(xE,yE),F(xF,yF),因为点 A? , ? 2? 3+4k2 3 yE=kxE+ -k. 2 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代替 k,可得 3 ?2 4? ?2+k? -12 3 xF= ,yF=-kxF+ +k.所以直线 EF 的斜率 2 2 3+4k yF-yE -k(xE+xF)+2k 1 1 kEF= = = ,即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2 2 xF-xE xF-xE 方法提炼 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 (1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的 一些问题; ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的 一些问题.
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高二专题复习五

(2)求最值常见的解法有两种:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及 意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数 关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值. 提醒:求最值问题时,一定要注意特殊情况的讨论,如直线斜率不存在的情况,二次三 项式最高次项的系数的讨论等. 12.如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1, F2,线段 OF1,OF2 的中点分别为 B1,B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 B1 作直线交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2⊥QB2,求△PB2Q 的面积. x2 y2 规范解答:(1)设所求椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),右焦点为 F2(c,0). 因△AB1B2 是直角三角形且|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2 为直角, c 从而 | OA|=|OB2|,即 b= .结合 c2=a2-b2 得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2,所以 2 c 2 离心率 e= = 5. a 5 1 c 在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2,故 S?AB1B2 = · |B B |· |OA|=|OB2|· |OA|= · b=b2, 2 1 2 2 x2 y2 由题设条 S?AB1B2 =4 得 b2=4, 从而 a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为 + =1.(5 20 4 分) (2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意,直线 PQ 的倾斜角不为 0,故可设直线 PQ 的方 程为 x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*) -16 4m 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), 则 y1, y2 是上面方程的两 根, 因此 y1+y2= 2 , y1· y2= 2 . m +5 m +5 又 B2 P =(x1-2,y1), B2Q =(x2-2,y2),

???? ?

???? ?

???? ? ???? ? -16(m2+1) 16m2 16m2-64 y2)+16= - 2 +16=- 2 .由 PB2⊥QB2,知 B2 P · =0, B Q 2 2 m +5 m +5 m +5 即 16m2-64=0,解得 m=±2.当 m=2 时,方程(*)化为 9y2-8y-16=0, 4+4 10 4-4 10 8 1 16 故 y1= ,y2= ,|y1-y2|= 10,△PB2Q 的面积 S= |B1B2|· |y1-y2|= 9 9 9 2 9 10. 16 当 m=-2 时,同理可得(或由对称性可得)△PB2Q 的面积 S= 10. 9 16 综上所述,△PB2Q 的面积为 10.(12 分) 9 答题指导:解决直线与圆锥曲线的综合问题时,要注意以下几点: 1.快速寻求出 a,b,c,确定圆锥曲线方程; 2.充分利用韦达定理进行巧妙处理; 3.涉及平面向量运算时,一定要注意平面几何性质的运用,例如垂直、中点等.

所以 B2 P · B2Q =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+

???? ? ???? ?

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