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第三章


第三章 不等式 章末质量评估
(时间:100 分钟 满分:120 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (2011· 石家庄高二检测)设, a, b, c, d∈R, 且 a>b, c>d, 则下列结论中正确的是 A.ac>bd C.a+c>b+d 解析 ∵a>b,c>d,∴a+c>b+d. 答案 C 1 1 2.不等式 < 的解集是 x 2 A.(-∞,2) C.(0,2) 1 1 1 1 2-x 解析 由 < ,得 - = <0, x 2 x 2 2x 即 x(2-x)<0,解得 x>2 或 x<0,故选 D. 答案 D 3.设 M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则 A.M >N C.M<N 解析 ∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3) =(2a2-4a)-(a2-2a-3)=a2-2a+3 =(a-1)2+2>0. ∴M >N. 答案 A 4.已知点 P(x0,y0)和点 A(1,2)在直线 l:3x+2y-8=0 的异侧,则 A.3x0+2y0>0 C.3x0+2y0<8 B.3x0+2y0<0 D.3x0+2y0>8 ( ). B . M ≥N D.M≤N ( ). B.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞) ( ). B.a-c>b-d a b D. > d c ( ).

解析 设 f(x,y)=3x+2y-8,则由题意,得 f(x0,y0)· f(1,2)<0,得 3x0+2y0-8>0. 答案 D 5.(2011· 江西卷)若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=?x?
? ? ? ? ?,则 A∩B= ? x ≤0 ? ?

x-2

? ?

(

).

A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2}

B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}

解析 ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}. 答案 B 6.方程 x2+(m-2)x+5-m=0 的两根都大于 2,则 m 的取值范围是 A.(-5,-4] C.(-∞,-2) B.(-∞,-4] D.(-∞,-5)∪(-5,-4] ( ).

解析 令 f(x)=x2+(m-2)x+5-m,要使 f(x)=0 的两根都大于 2, Δ=?m-2? -4?5-m?≥0, ? ?f?2?>0, 则? m-2 ? ?- 2 >2, m ≥16, ? ? 解得:?m>-5?-5<m≤-4 ? ?m<-2. 答案 A 7.如果 log3m+log3n≥4,那么 m+n 的最小值为 A.4 B.4 3 C .9 D.18 ( ).
2 2

,故选 A.

解析 ∵log3m+log3n=log3mn≥4, ∴mn≥34,又由已知条件隐含着 m>0,n>0. 故 m+n≥2 mn≥2 34=18,当且仅当 m=n=9 时取到最小值. 所以 m+n 的最小值为 18. 答案 D x+y≥3, ? ? 8.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3. A.6 D.23 解析 作出可行域如图所示:由图可知,z=2x+3y 经过点 A(2,1)时,z 有最小值,z 的最小值为 7. 答案 B
?x+2,x≤0, ? 9.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集是 ?-x+2,x>0. ?

则目标函数 z=2x+3y 的最小值为

(

).

B.7

C .8

( A.[-1,1] C.[-2,1] 解析
?x≤0, ?x>0 ? ? ? f(x)≥x2?? 2 或 2 ?x+2≥x ?-x+2≥x ? ?

).

B.[-2,2] D.[-1,2]

?x≤0, ? ? ?x>0 ?? 2 或? 2 ? ? ?x +x-2≤0 ?x -x-2≤0 ? ? ?x≤0 ?x>0 ?? 或? ?-2≤x≤1 ?-1≤x≤2 ? ?

?-1≤x≤0 或 0<x≤1 ?-1≤x≤1. 答案 A x+y≥2, ? ? 10.(2011· 福建卷)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2 → → 上的一个动点,则OA· OM的取值范围是 A.[-1,0] C.[0,2] B.[0,1] D.[-1,2] ( ).

→ → 解析 作出可行域,如图所示,OA· OM=-x+y. 设 z=-x+y,作 l0:x-y=0,易知,过点(1,1)时 z 有最 小值,zmin=-1+1=0;过点(0,2)时 z 有最大值,zmax=0 +2=2, → → ∴OA· OM的取值范围是[0,2]. 答案 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 1 1 b 11.(2011· 汕头高二检测)若 < <0,已知下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ + a b a a >2;⑤a2>b2;⑥2a>2b. b 其中正确的不等式的序号为________. 1 1 解析 ∵ < <0.∴b<a<0,故③错,又 b<a<0,可得|a|<|b|,a2<b2,故②⑤错. a b 答案 ①④⑥ 12.不等式 x2-2x+3≤a2-2a-1 在 R 上的解集是?,则实数 a 的取值范围是________.

解析 ∵x2-2x-(a2-2a-4)≤0 的解集为?, ∴Δ=4+4(a2-2a-4)<0, ∴a2-2a-3<0, ∴-1<a<3. 答案 (-1,3)

13.已知 0<x<6,则(6-x)· x 的最大值是________. 解析 ∵0<x<6,∴6-x>0. ∴(6-x)· x≤?

?

6-x+x?2 =9. 2 ?

当且仅当 6-x=x,即 x=3 时,取等号. 答案 9
?3x-y≤0, ? 14.若变量 x,y 满足条件? 则 z=x+y 的最大值为________. ?x-3y+5≥0, ?

解析 作出可行域如图所示,作出直线 l:x+y =0,由图可知当 l 平移到 A 点时,z 最大. 解方程组
?3x-y=0, ? ? ?x-3y+5=0, ?

?x=8, 得? 15 ?y= 8 ,

5

5 15 5 15 20 5 ∴A( , ),∴zmax= + = = . 8 8 8 8 8 2 答案 5 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(10 分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3<x<1}. (1)解不等式 2x2+(2-a)x-a>0; (2)b 为何值时,ax2+bx+3≥0 的解集为 R. 解 (1) 由 题 意 , 知 1 - a<0 且 - 3 和 1 是 方 程 (1 - a)x2 - 4x + 6 = 0 的 两 根 , ∴ 1-a<0,

? 4 =-2 a ?1- 6 =-3 ?1- a

,解得 a=3.

∴不等式 2x2+(2-a)x-a>0

3 即为 2x2-x-3>0,解得 x<-1 或 x> . 2 3? ? ∴所求不等式的解集为?x|x<-1或x>2?.
? ?

(2)ax2+bx+3≥0,即为 3x2+bx+3≥0,若此不等式解集为 R,则 b2-4×3×3≤0, ∴-6≤b≤6. x2+7x+10 16.(10 分)(1)求函数 y= (x>-1)的最小值; x+1 (2)已知:x>0,y>0 且 3x+4y=12.求 lg x+lg y 的最大值及相应的 x,y 值. 解 (1)∵x>-1,∴x+1>0. x2+7x+10 ?x+1?2+5?x+1?+4 ∴y= = x+1 x+1 =(x+1)+ 4 +5≥2 x+1 4 ?x+1??x+1?+5=9.

?

?

当且仅当 x+1=

4 ,即 x=1 时,等号成立. x+1

x2+7x+10 ∴当 x=1 时,函数 y= (x>-1)的最小值为 9. x+1 (2)∵x>0,y>0,且 3x+4y=12. 1 1 3x+4y?2 ∴xy= (3x)· (4y)≤ ? =3. 12 12? 2 ? ∴lg x+lg y=lg xy≤lg 3. 3 当且仅当 3x=4y=6,即 x=2,y= 时等号成立. 2 3 ∴当 x=2,y= 时,lg x+lg y 取最大值 lg 3. 2 17.(10 分)(2011· 唐山高二检测)某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3 千元,2 千元.甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 A,B 上加工一件甲 产品所需工时分别为 1 时、2 时,加工一件乙产品所需工时分别为 2 时、1 时,A、B 两 种设备每月有效使用台数分别为 400 和 500.如何安排生产可使月收入最大? 解 设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y 件,约束条件是 x+2y≤400 ? ? ?2x+y≤500 ? ?x≥0,y≥0

,目标函数是 f=3x+2y,要求出适当的 x,y 使 f=3x+2y 取得最大值.

作出可行域,如图. 3 设 3x+2y=a,a 是参数,将它变形为 y=- x 2

a + , 2 3 这是斜率为- ,随 a 变化的一组直线. 2 a 当直线与可行域相交且截距 最大时, 2
? ? ?x+2y=400, ?x=200, 目标函数 f 取得最大值.由? 得? ?2x+y=500 ?y=100. ? ?

因此,甲、乙两种产品的每月产品分别为 200,100 件时,可得最大收入 800 千元. 18.(12 分)一服装厂生产某种风衣,月产量 x(件)与售价 P(元/件)之间的关系为 P=160-2x, 生产 x 件的成本总数 R=500+30x(元),假设生产的风衣当月全部售出,试问该厂的月产 量为多少时,每月获得的利润不少于 1 300 元? 解 设该厂月获得的利润为 y 元,则 y = (160 - 2x)· x - (500 + 30x) =- 2x2 + 130x -

500(0<x<80).由题意,知-2x2+130x-500≥1 300, 解得:20≤x≤45,所以当月产量在 20 至 45 件(包括 20 和 45)之间时,月获得的利润不 少于 1 300 元. 19. (12 分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一 个长方形公园 ABCD ,公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知 休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4 000 平方米, 人行道 的宽分别为 4 米和 10 米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比 式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? 解 (1)设休闲区的宽 B1C1 为 a 米,则其长 A1B1 为 ax 米, 20 10 ∴a2x=4 000?a= , x ∴S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160 20 10 =4 000+(8x+20)· +160 x =80 10?2 x+ A1B1 =x, 求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x)的解析 B1C1

?

5? +4 160(x>1). x? 5 ?x=2.5),即当 x=2.5 时,公园所占 x

(2)S≥1 600+4 160=5 760(米 2)(当且仅当 2 x=

面积最小.此时 a=40,ax=100,即休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米,宽为 40 米.


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