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2.2012湖南高考数学文科


2012 湖南文科数学
一、选择题. 本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求

的.
1 .设集合 M={-1,0,1},N={x|x =x},则 M∩N=
2

( C.{1} C. 1- i D.{0} ( D. 1+ i (

>) )

A.{-1,0,1} A. -1-i
3 .命题“若 α =

B.{0,1} B. -1+i

) ( i 为虚数单位)的共轭复数是 2 .复数 z =i(i+1

? ,则 tanα =1”的逆否命题是[中%国教&*^育出版@网] 4 ? ? A.若 α ≠ ,则 tanα ≠1 B.若 α = ,则 tanα ≠1 4 4 ? ? C.若 tanα ≠1,则 α ≠ D.若 tanα ≠1,则 α = 4 4



4 .某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 是 ...

5 . 设 某 大 学 的 女 生 体 重 y( 单 位 :kg) 与 身 高 x( 单 位 :cm) 具 有 线 性 相 关 关 系 , 根 据 一 组 样 本 数 据

(xi,yi)(i=1,2,,n), 用 最 小 二 乘 法 建 立 的 回 归 方 程 为 y =0.85x-85.71, 则 下 列 结 论 中 不 .正 .确 .的 是 ( A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg )

x2 y 2 6 .已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为() a b
A.

x2 y2 =1 20 5

B.

x2 y 2 =1 5 20

C.

x2 y 2 =1 80 20

D.

x2 y2 =1[ 20 80

7 .设 a>b>1,c<0 ,给出下列三个结论:[www.z、zste&*p~.c@om]



c c > a b

;② a < b

c

c

; ③ logb (a ? c) ? log a (b ? c) , ( D.① ②③ ) C.② ③
第 1 页,共 10 页

其中所有的正确结论的序号是 __ .[中*国教育@^出~版网、] A.① B.① ②

8 .在△ABC 中,AC=

7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于
B.





A.

3 2

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

9 .设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x)的导函数,当

x ??0, ? ? 时 ,0<f(x)<1; 当 x∈(0,π ) 且 x≠

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 , 则 函 数 y=f(x)-sinx 在 2 2

[-2π ,2π ] 上的零点个数为 ( ) A.2 B.4 C.5 D.8 二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题.每小题 5 分共 30 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线 上 .)
10 . 在极坐标系中 , 曲线 C1 :

? ( 2 cos? ? sin ? ) ? 1 与曲线 C2 : ? ? a (a ? 0) 的一个交点在极轴上 , 则

a =_______.
11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为 29℃~63℃.精确度要求

±1℃.用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. 2 12.不等式 x -5x+6≤0 的解集为______. 13. 图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为

0 8 9
_________. 1 0

3 5

图2
(注:方差

s2 ?

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? n

? ( xn ? x )2 ? ? ,其中 x 为 x1,x2,,xn 的平均数)[来

14.如果执行如图 3 所示的程序框图,输入 x ? 4.5 ,则输出的数 i = ____.

开始 输入 x

i =1

x=x-1

i = i+1


x<1?

是 输出 i

结束

第 2 页,共 10 页

15.如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥BD,垂足为 P, AP ? 3 且 AP

AC = _____.

16. 对于 n ? N ,将 n 表示为 n ? ak ? 2

?

k

? ak ?1 ? 2k ?1 ?

? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,当 i ? k 时 ai ? 1 ,当 0 ? i ? k ? 1

时 ai 为 0 或 1,定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1 ,a2,,ak 中等于 1 的个数为奇数时,bn=1;否则

bn=0.[中国教、*育&出版^网@] (1)b2+b4+b6+b8=__; (2)记 cm 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间的项数,则 cm 的最大值是___.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购

物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/ 人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率)
18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

第 3 页,共 10 页

19. (本小题满分 12 分)如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.

(Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

[中国^教*~育出、版%
20. (本小题满分 13 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,

将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同 .公司要求企业 从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资 金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1 , a2 ,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m ( m ≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).
21 . (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xOy 中 ,已知中心在原点 ,离心率为

1 的椭圆 E 的一个焦点为圆 2

C:x +y -4x+2=0 的圆心.[中国教育出%版网^@*&] (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为

2

2

1 的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐 2

标. x 22. (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=e - a x,其中 a >0.[@、中国^教育出版&网~] (1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合;[z (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为 k,证明:存在 x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 恒成立。

第 4 页,共 10 页

2012 湖南文参考答案 一、选择题 1. 2. 3.

B A C

D 5. D 6. A
4.

. D 8. . B 9. B
7.

【解析】由当 x∈(0,π ) 且 x≠

? ? 时 , ( x ? ) f ?( x) ? 0 ,知 2 2

? ?? ?? ? x ? ?0, ?时,f ?( x) ? 0, f ( x)为减函数; x ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)为增函数 ? 2? ?2 ?
又 x ??0, ? ? 时,0<f(x)<1,在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,在同一坐标系中作出

y ? sin x 和 y ? f ( x) 草图像如下,由图知 y=f(x)-sinx 在[-2π ,2π ] 上的零点个数为 4 个.
y

1

y ? f ( x)
?2?

o
?1

2?

x

y ? sin x

二、填空题 10.

2 2

11. 7 12.

? x 2 ? x ? 3?

6.8 14. 4 15. 18
13.

【解析】设 AC

BD ? O ,则 AC ? 2( AB ? BO) , AP AC = AP 2( AB ? BO) ?
第 5 页,共 10 页

2 AP AB ? 2 AP BO ? 2 AP AB ? 2 AP( AP ? PB) ? 2 AP ? 18 .
16. (1)3;(2)2.

2

(1)观察知 1 ? a0 ? 20 , a0 ? 1, b1 ? 1 ; 2 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , a1 ? 1, a0 ? 0, b2 ? 1 ; 一次类推 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1;

5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ?1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ? 1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 , b7 ? 1, b8 ? 1 ,
b2+b4+b6+b8=3; (2)由(1)知 cm 的最大值为2.
三、解答题 17. (Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35,? x ? 15, y ? 20 , 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成

个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物 的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:

1?15 ? 1.5 ? 30 ? 2 ? 25 ? 2.5 ? 20 ? 3 ?10 ? 1.9 (分钟). 100
(Ⅱ)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”, A1 , A2 , A3 分别表示事件“该顾客一次 购物的结算时间为 1 分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”, “该顾客一次购物的结算时 间为 2 分钟”.将频率视为概率,得

P( A1 ) ?

15 3 30 3 25 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? . 100 20 100 10 100 4

A ? A1

A2

A3 , 且A1 , A2 , A3 是互斥事件, A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

? P( A) ? P( A1

3 3 1 7 ? ? ? . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10

18.

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ?2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又 0 ? ? ? ,? 即? = . 2 6 6 3 6 6
【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

(0,1) 又点 在函数图像上,所以 A sin

?

? 1, A ? 2 ,故函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6 6

?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ?

第 6 页,共 10 页

? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?
19.

[中国^教*~育出、版% 【解析】(Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD , 所以 PA ? BD . 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 . 由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO . 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

AOD, BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

1 S ? ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2
在等腰三角形 AOD 中, OD ?

2 , AD ? 2 2, 2

所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

PD2 ? AD2 ? 4.
1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?

20. (Ⅰ)由题意得 a1

? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,
3 a1 ? d , 2
第 7 页,共 10 页

a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ?

3 an ? d . 2

3 an ?1 ? d 2

3 3 ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2 ?

3 ? 3 3 ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? 2 ? 2 2 3 2

3 ? ? ( )n?2 ? . 2 ? ? 3 ? 2 ? ?

整理得 an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( ) n?1 ? 1?

3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 n ?1 由题意, an ? 4000,? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2

? 3 n ? ( ) ? 2? ?1000 ? 1000(3n ? 2n?1 ) 2 ? 解得 d ? ? . ? n n 3 n 3 ? 2 ( ) ?1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

1000(3n ? 2n ?1 ) 时,经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为 4000 元. 3n ? 2n

21. (Ⅰ)由 x

2

? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 .故圆 C 的圆心为点
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 其焦距为 2c ,由题设知 a 2 b2

(2,0), 从而可设椭圆 E 的方程为
c ? 2, e ?

c 1 ? ,? a ? 2c ? 4, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12. 故椭圆 E 的方程为: a 2

x2 y 2 ? ? 1. 16 12
(Ⅱ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , l1 , l2 的 斜 分 率 分 别 为 k1 , k2 . 则 l1 , l2 的 方 程 分 别 为

1 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ), 且 k1k 2 ? . 由 l1 与圆 c : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相切,得 2

2k1 ? y0 ? k1 x0 k12 ? 1


? 2,

2 2 2 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k1 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0.

第 8 页,共 10 页

同理可得

2 2 2 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k2 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0 .

0 2 2 从而 k1 , k2 是方程 ? ?(2 ? x0 ) ? 2 ? ? k ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是

? (2 ? x0 ) 2 ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ?? ? 8 ? ?(2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? ? 0, ?
且 k1k2 ?
2 y0 ?2 ? 2. (2 ? x2 )2 ? 2



2 2 ? x0 y0 ? ? 1, ? 10 ? 16 12 2 由? 得 5x0 ? 8x0 ? 36 ? 0. 解得 x0 ? 2, 或 x0 ? . 2 5 ? y0 ? 2 ? 1 2 ? ? (2 ? x0 ) ? 2 2

由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3; 由 x0 ?

18 57 得 y0 ? ? , 它们满足①式,故点 P 的坐标为 5 5

18 57 18 57 (?2,3) ,或 (?2, ?3) ,或 ( , ) ,或 ( , ? ). 5 5 5 5

22.解:

f ?( x) ? e x ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a .

当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增,故当 x ? ln a 时, f ( x ) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a. 于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

a ? a ln a ? 1.
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 ? ? a. x2 ? x1 x2 ? x1 e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1
第 9 页,共 10 页

x 令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e ?

? ( x1 ) ? ?

e x1 ?e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? ?, x2 ? x1 ?

e x2 ? ? ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? ? ?. x2 ? x1
令 F (t ) ? et ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? et ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增.
t 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.

从而 e

x2 ? x1

? ( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , e

x1 ? x2

e x1 e x2 ? 0, ? 0, ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又 x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.

第 10 页,共 10 页


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