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2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案18.doc


第二章 函数与导数第 9 课时 指数函数、对数函数及幂函数(3) (对 应学生用书(文)、(理)24~25 页)

考情分析

考点新知

① 对数函数在高考中的考查主要 ① 理解对数函数的概念;理解对 是图象和性质, 同时考查数学思想 方法, 以考查分类讨论及运算能力 数函数的单调性;掌握对数函 数图象通过的特殊点.

为主;考查形式主要是填空题,同 ② 知道对数函数是一类重要的函 时也有综合性较强的解答题出现, 数模型.

目的是结合其他章节的知识, 综合 ③ 了解指数函数 y=ax 与对数函 进行考查. ② 幂函数的考查较为基础,以常 数 y=logax 的相互关系(a>0,a≠ 1).

见的 5 种幂函数为载体,考查求 ④ 了解幂函数的概念,结合函数 值、单调性、奇偶性、最值等问题 是高考命题的出发点. y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y =x-2 的图象,了解它们的变化情 况.

1. (必修 1P112 测试 8 改编)已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),若 f(2)>f(3),则实数 a 的取值范围是________.

答案:(0,1) 解析:因为 f(2)>f(3),所以 f(x)=logax 单调递减,则 a∈(0,1). 1? ? 2. (必修 1P89 练习 3 改编)若幂函数 y=f(x)的图象经过点?9,3?,
? ?

则 f(25)=________. 1 答案:5 1 1 1 解析:设 f(x)=xα,则3=9α,∴ α=-2,即 f(x)=x-2,f(25) 1 =5. 3. ( 必修 1P111 习题 15 改编 ) 函数 f(x) = ln “奇”或“偶”)函数. 答案:奇
?1-x?-1 1+x 1-x ? =-ln 解析:因为 f(-x)=ln =ln? =-f(x),所以 1-x 1+x ?1+x?

1-x 是 ________( 填 1+x

f(x)是奇函数. 4. (必修 1P87 习题 13 改编)不等式 lg(x-1)<1 的解集为________. 答案:(1,11) 解析:由 0<x-1<10,∴ 1<x<11. 5. (必修 1P87 习题 14 改编)对于任意的 x1、x2∈(0,+∞),若函 数 f(x) = lgx , 则
?x1+x2? f(x1)+f(x2) ? ?的大小关系是 与 f 2 ? 2 ?

______________________.

f(x1)+f(x2) ?x1+x2? ? 答案: ≤f? 2 ? 2 ? 解析:(解法 1)作差运算;
?x1+x2? f(x1)+f(x2) ? ?的几何意义,通过函数 (解法 2)寻找 与 f 2 ? 2 ?

f(x)=lgx 图象可得.

1. 对数函数的定义 一般地,我们把函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 2. 对数函数的图象与性质

a>1 图

0<a<1



(1) 定义域:(0,+∞) (2) 值域:R 性 (3) 过点(1,0),即 x=1 时,y=0 质 (4) 当 x>1 时, f(x)>0; (4) 当 x>1 时, f(x)<0; 当 0<x<1 时,f(x)<0 当 0<x<1 时,f(x)>0

(5) 是(0, +∞)上的增 (5) 是(0, +∞)上的减 函数 函数

3. 幂函数的定义 形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常 数. 4. 幂函数的图象

5. 幂函数的性质

函数特 y=x 征性质

y=x2

y=x3

y=x

1 2

y=x-1

{x|x∈R 定义域 R R R {x|x≥0} 且 x≠0} {y|y∈R 值域 奇偶性 R 奇 {y|y≥0} 偶 (-∞,0] (-∞,0) 减, 单调性 增 [0,+∞) ∞)减 增 定点 (1,1) 增 增 减, (0, + R 奇 {y|y≥0} 且 y≠0} 非奇非偶 奇

[备课札记]

题型 1 对数函数的概念与性质 例 1 (1) 设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与 1 最小值之差是2,则 a=________; (2) 若 a=log0.40.3,b=log54,c=log20.8,用小于号“<”将 a、b、

c 连结起来________;
? 2 ? (3) 设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围 ? ?

是________; (4) 已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m、n 满足 m<n 且 f(m)=f(n), 若 f(x)在区间[m2,n]上的最大值为 2,则 m、n 的值分别为________. 答案:(1) 4 (2) c<b<a (3) -1<x<0 1 (4) 2,2

解析:(1) ∵ a>1,∴ 函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上是增函 1 数,∴ loga2a-logaa=2,∴ a=4.

(2) 由于 a>1,0<b<1,c<0,所以 c<b<a. 1+x ? ?1-x>0, 1+x (3) 由 f(-x)+f(x)=0, 得 a=-1, 则由 lg <0, 得? 1-x 1+x ? ?1-x<1, 解得-1<x<0. (4) 结合函数 f(x)=|log2x|的图象,易知 0<m<1,n>1,且 mn=1, 1 所以 f(m2)=|log2m2|=2,解得 m=2, 所以 n=2. 变式训练 2 (1) 设 loga3<1,则实数 a 的取值范围是________; (2) 已知函数 f(x)=lg(x2+t)的值域为 R,则实数 t 的取值范围是

________; (3) 若函数 f(x)=loga|x+1|在(-1,0)上有 f(x)>0,则函数 f(x)的 单调减区间是________; (4) 若函数 f(x)=log1(x2-2ax+3)在(-∞,1]内为增函数,则实
2

数 a 的取值范围是________. 2 答案:(1) 0<a<3或 a>1 (2) a≤0 (3) (-1,+∞) 2) 解析:(1) 分 a>1 与 a<1 两种情形进行讨论. (2) 值域为 R 等价于 x2+a 可以取一切正实数. (3) 函数 f(x)的图象是由 y=loga|x|的图象向左平移 1 个单位得到, ∴ 0<a<1.
? ?a≥1, (4) 令 g(x)=x -2ax+3,则? 解得 1≤a<2. ?g(1)>0, ?
2

(4) [1,

题型 2 幂函数的概念与性质 例 2 已知幂函数 y=x3m-9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称, 且在(0, +∞)上是减函数. (1) 求 m 的值; m m (2) 求满足不等式(a+1)- 3 <(3-2a)- 3 的实数 a 的取值范围. 解:(1) 因为函数 y=x3m-9 在(0,+∞)上是减函数,所以 3m- 9<0,所以 m<3. 因为 m∈N*,所以 m=1 或 2.

又函数图象关于 y 轴对称,所以 3m-9 是偶数,所以 m=1. m m 1 1 (2) 不等式(a+1)- 3 <(3-2a)- 3 即为(a+1)-3<(3-2a)-3. 1 结合函数 y=x-3的图象和性质知: a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 2 3 解得 a<-1 或3<a<2, 2 3 即实数 a 的取值范围是 a<-1 或3<a<2. 备选变式(教师专享) 1? ? 已知幂函数 y=f(x)经过点?2,8?.
? ?

(1) 试求函数解析式; (2) 判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间. 1 解:(1)由题意,得 f(2)=2a=8? a=-3, 故函数解析式为 f(x)=x-3. (2)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 因为 f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),故该幂函数为奇函数. 其单调减区间为(-∞,0),(0,+∞). 题型 3 指数函数、对数函数的综合问题 例 3 已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1) 求 k 的值;

4 ? ? 2x-3a?, (2) 设 g(x)=log4?a· 若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一
? ?

个公共点,求实数 a 的取值范围. 解:(1) 由函数 f(x)是偶函数,可知 f(x)=f(-x), ∴ log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx. 4x+1 log4 -x =-2kx,即 x=-2kx 对一切 x∈R 恒成立, 4 +1 1 ∴ k=-2. (2) 函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程 log4(4x 4 ? ? 1 1 2x-3a?有且只有一个实根, +1)-2x=log4?a· 化简得方程 2x+2x=a· 2x
? ?

4 4 -3a 有且只有一个实根.令 t=2x>0,则方程(a-1)t2-3at-1=0 有 且只有一个正根. 3 3 ①a=1 ? t=-4,不合题意;②a≠1 时,Δ=0 ? a=4或-3. 3 1 若 a=4? t=-2,不合题意,若 a=-3 ? t=2;③a≠1 时,Δ>0, -1 一个正根与一个负根,即 <0 ? a>1. a-1 综上,实数 a 的取值范围是{-3}∪(1,+∞). 备选变式(教师专享) 已知函数 f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1) 求函数 y=f(x)的定义域; (2) 在函数 y=f(x)的图象上是否存在不同的两点, 使过此两点的

直线平行于 x 轴; (3) 当 a、b 满足什么关系时,f(x)在区间(1,+∞)上恒取正值.
? a? a 解:(1) 由 ax-bx>0,得?b?x>1,因为 a>1>b>0,所以b>1,所以 ? ?

x>0,即函数 f(x)的定义域为(0,+∞). (2) 设 x1>x2>0, 因为 a>1>b>0, 所以 ax1>ax2, bx1<bx2, 则-bx1> -bx2,所以 ax1-bx1>ax2-bx2>0,于是 lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2), 即 f(x1)>f(x2),因此函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.假设函数 y =f(x)的图象上存在不同的两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),使得直线 AB 平行于 x 轴,即 x1≠x2,y1=y2,这与 f(x)是增函数矛盾.故函数 y =f(x)的图象上不存在不同的两点,使过此两点的直线平行于 x 轴. (3) 由(2)知,f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,所以当 x∈(1,+ ∞)时,f(x)>f(1),故只需 f(1)≥0,即 lg(a-b)≥0,即 a-b≥1,所以 当 a≥b+1 时,f(x)在区间(1,+∞)上恒取正值.

1. (2013· 南师大模拟 )已知函数 f(x)=log2x-2log2(x+c),其中 c>0, 若对任意 x∈(0, +∞), 都有 f(x)≤1, 则 c 的取值范围是________. 1 答案:c≥8

?c>0, 解析:由题意,? 在 x∈(0,+∞)上恒成立,所以 c x 2≤2 ?(x+c)
1 ≥8. 2. (2013· 辽宁)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 f(lg2)+
? 1? f?lg2?=________. ? ?

答案:2 解析: f(x) + f( - x) = ln( 1+9x2 - 3x) + ln( 1+9x2 + 3x) + 2 =
? 1? ln(1+9x2-9x2)+2=2,所以 f(lg2)+f?lg2?=f(lg2)+f(-lg2)=2. ? ?

3. (2013· 江西检测)已知 x +(log10.5) <(-y) +(log10.5)x, 则实数
3 3

1 3

-y

1 3

x、y 的关系为________. 答案:x+y<0 解析:由 x3+(log10.5)-y<(-y)3+(log10.5)x,得 x3-(log10.5)x<(-
3 1 3 1 3 3 3 1 1 1

y) -(log10.5)-y.设 f(x)=x -(log10.5)x,则 f(x)<f(-y),由于 0<log1
3 3 3

0.5<1,所以函数 f(x)是 R 上的增函数,所以 x<-y,即 x+y<0.
2 -x ? ?2 ,x<2, 4. (2013· 南通密卷)已知 f(x)=? 若对任意的 ? ?log3(x+1),x≥2,

x∈R,af2(x)≥f(x)-1 成立,则实数 a 的最小值为________. 1 答案:4 f(x)-1 解析: 易得? x∈R, f(x)>0, 由 af2(x)≥f(x)-1, 得 a≥ 2 f (x)

1?2 1 1 1 1 ? 1 = -2 =4-?f(x)-2? ≤4(当且仅当 f(x)=2 时等号成 f(x) f (x) ? ? 1 立),所以实数 a 的最小值为4.

1 1. 若函数 f(x)=log2|ax-1|(a>0),当 x≠2时,有 f(x)=f(1-x), 则 a=________. 答案:2 1 解析:由 f(x)=f(1-x),知函数 f(x)的图象关于 x=2对称, 1? ? 1 1 而 f(x)=log2?x-a ?+log2|a|,从而a =2,所以 a=2.
? ?
2

2. 已知函数 f(x)=x3,x∈[-1,8],函数 g(x)=ax+2,x∈[-1, 8],若存在 x∈[-1,8],使 f(x)=g(x)成立,则实数 a 的取值范围是 ________. 1? ? 答案:?-∞,4?∪[1,+∞)
? ?
2

解析:分别作出函数 f(x)=x3,x∈[-1,8]与函数 g(x)=ax+2, x∈[-1,8]的图象.当直线经过点(-1,1)时,a=1;当直线经过点 1 1 (8,4)时,a=4.结合图象有 a≤4或 a≥1. 3. 已知函数 f(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取 值范围是________. 答案:(3,+∞)

1 解析:因为 f(a)=f(b),即|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)或 b=a, 2 2 得 a+2b=a+a.又 0<a<b,所以 0<a<1<b.令 f(a)=a+a ,则 f′(a)=1- 2 a2<0,所以 f(a)在 a∈(0,1)上为减函数,得 f(a)>f(1) =1+2=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 8 (m>0),l1 与函数 y= 4. 已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y= 2m+1 |log2x|的图象从左至右相交于点 A、 B, l2 与函数 y=|log2x|的图象从左 至右相交于点 C、D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a、 b b.当 m 变化时,求a的最小值.
8 ?1?m ?1?2m8 m +1 2m+1 解:由题意得 xA=?2? ,xB=2 ,xC=?2? ,xD=2 ,所以 a ? ? ? ? 8 ??1? ?1? 8 ? b m 2m+1? = |xA - xC| = ??2?m-?2?2m+1? , b = |xB - xD| = ? ?2 - 2 ? , 即 a =

?? ?

? ?

?

? ? ?2 ?

? 2m-22m+1 ?=22m8+1·2m=2 8 +m. 8 -m 2m+1 ? -2- 2m+1?
因 为 8 1 8 1 + m = 2 (2m + 1) + - 2 ≥ 2m+1 2m+1

8

2

1 8 1 7 1 ( 2m + 1 ) × - = ,当且仅当 2 2(2m+1)= 2m+1 2 2
7 8 3 b ,即 m=2时取等号.所以,a的最小值为 22=8 2. 2m+1

1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件,是 求解有关指数、对数问题时必须予以重视的,如果底数含有参数,一 般需分类讨论. 2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1) 确定定义域; (2) 把复合函数分解为几个初等函数; (3) 确定各个基本初等函数的单调区间; (4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性. 请使用课时训练(B)第9课时(见活页).


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