kl800.com省心范文网

高三理科数学第二轮概率统计专题


概率统计专题
一. 独立事件与互斥事件

例 1. (四川理 18)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每 车每次租不超过两小时免费,超过两小时的收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) 。甲乙两人 独立来该租车点则车骑游,各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 不超过三小时还车的概率分别为

1 1 , ;两小时以上且 4 2

1 1 , ;两人租车时间都不会超过四小时. 2 4

(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E (? ) .

解: ( 1 )所付费用相同即为 0, 2, 4 元。设付 0 元为

P 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? P2 ? ? ? 4 2 8 ,付 2 元为 2 4 8 ,付 4 元为

P3 ?

1 1 1 5 ? ? P?P 1?P 2 ?P 3 ? 4 4 16,则所付费用相同的概率为 16

(2)设甲,乙两个所付的费用之和为 ? , ? 可为 0, 2, 4, 6,8

P(? ? 0) ? P(? P(? P(? P(?

1 8 1 1 1 1 5 ? 2) ? ? ? ? ? 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 ? 4) ? ? ? ? ? ? ? 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 2 4 16 1 1 1 ? 8) ? ? ? 4 4 16

分布列

?

0

2

4

6
3 16

8
1 16

P

1 5 8 16 5 5 9 1 7 E? ? ? ? ? ? 8 4 8 2 2

5 16

练习:甲和乙参加智力答题活动,活动规则:①答题过程中,若答对则继续答题;若答错则停止答题;②每人最 多答 3 个题;③答对第一题得 10 分,第二题得 20 分,第三题得 30 分,答错得 0 分。已知甲答对每个题的概率 为

3 1 ,乙答对每个题的概率为 . 4 3
(1)求甲恰好得 30 分的概率; (3)求甲恰好比乙多 30 分的概率.
1

(2)设乙的得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望;

解: 1. (1)甲恰好得 30 分,说明甲前两题都答对,而第三题答错,其概率为 (2) 的取值为 0,10, 30,60.







; 的概率分布如下表: 0 10 30 60

(3)设甲恰好比乙多 30 分为事件 A,甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件 B1, 甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件 B2,则 A= 为互斥事件.

.

所以,甲恰好比乙多 30 分的概率为 二、超几何分布 例 2. (2010 广东理数) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该 流水线上 40 件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的 分组区间为(490, 495? , (495, 500? ,??(510, 515? ,由此得 到样本的频率分布直方图,如图 4 所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率.

2

三、N 次独立重复试验与二项分布
例 3. (10 年浙江)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉口落入左 右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到 A,B,C, 则分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随变 量 ? 为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量? 为获得 1 等 奖或 2 等奖的人次,求 P(? ? 2) 及 E? . (Ⅰ)解:由题意得ξ 的分布列为 ξ p 50% 70% 90%

3 16 3 3 7 3 则Ε ξ = ×50%+ ×70%+ 90%= . 8 4 16 16
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为

3 8

7 16

3 3 9 + = . 16 8 16

9 ) 16 9 2 9 1701 2 则 P(η =2)= C3 ( ) (1- )= . 16 16 4096 9 27 E? ? 3 ? ? 16 16
由题意得η ~(3,

3

练习: (2009 北京卷理)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红 灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2min. 3

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期 望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生在第 一 和 第 二 个 路 口 没 有 遇 到 红 灯 , 在 第 三 个 路 口 遇 到 红 灯 ”, 所 以 事 件 A 的 概 率 为

? 1? ? 1? 1 4 . P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 27
(Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯” ( k ? 0,1,2,3,4) ,

?1? ? 2? ∴ P ?? ? 2k ? ? C ? ? ? ? ? 3? ? 3?
4 k

k

4? k

? k ? 0,1, 2,3, 4? ,

∴即 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

6

8

16 32 8 27 81 81 16 32 8 8 1 8 ? 2 ? ? 4 ? ? 6? ? 8? ? . ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? 81 81 27 81 81 3

8 81

1 81

四、 部分排列与全排问题
例 4.某商场“十.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满800 元就能得到一次摸奖机会.摸奖规则 是:在盒子内预先放有 5 个相同的球,其中一个球标号是0,两个球标号都是40,还有两个球没有标号。顾客依 次从盒子里摸球,每次摸一个球(不放回) ,若累计摸到两个没有标号的球就停止摸球,否则将盒子内球摸完才 停止.奖金数为摸出球的标号之和(单位:元) ,已知某顾客得到一次摸奖机会。 (Ⅰ)求该顾客摸三次球被停止的概率; (Ⅱ)设 ? (元)为该顾客摸球停止时所得的奖金数,求 ? 的分布列及数学期望 E? . 解(Ⅰ)记“顾客摸球三次被停止”为事件 A,则 P( A) ?
1 1 2 C2 C3 A2 1 ? ??5分 3 A5 5 2 1 2 A2 C2 A2 1 ? ? 2 3 A5 A5 6

0、 40、 80??6分 P(? ? 0) ? (Ⅱ)??的可能值为:

4

P(? ? 40) ?

1 1 3 2 1 3 3 1 4 1 1 2 C2 A3 1 C2 C2 A3 C3 C2 A4 1 C2 C2 A2 C2 , ? ? P ( ? ? 80) ? ? ? ??9分 3 4 4 5 A5 A5 3 A5 A5 2

?
P

0

40

80

1 6

1 3

1 2

????12分

1 1 1 160 ? E? ? 0? ? 40? ? 80? ? (元) ??13分 6 3 2 3
练习:若盒中装有同一型号的灯泡共 12 只,其中有 9 只合格品,3 只次品. (1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次取到次品的概率; (2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品则用它更换已 坏灯泡, 若是次品则将其报废(不再放回原盒中), 求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数 X 的分布 列和数学期望. C3 1 1 = , C12 4
1

解:(1)每次取到一只次品的概率 P1=

1 9 2 1 2 则有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品的概率 P=C3( ) ·(1- )= .(5 分) 4 4 64 (2)依题知 X 的可能取值为 0、1、2、3.(6 分) 9 3 且 P(X=0)= = , 12 4 3 9 9 P(X=1)= × = , 12 11 44 3 2 9 9 P(X=2)= × × = , 12 11 10 220 3 2 1 9 1 P(X=3)= × × × = .(8 分) 12 11 10 9 220 则 X 的分布列如下表: X P 0 3 4 1 9 44 2 9 220 3 1 220 (10 分) 3 9 9 1 3 EX=0× +1× +2× +3× = .(13 分) 4 44 220 220 10

五.不完全排列组合问题(可重复)
例 5 某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片 区的房源是等可能的.求该市的 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望 解:这是等可能性事件的概率计算问题. (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 申请 A 片区房源的概率为
5
2 C4 ? 22 种,从而恰有 2 人

2 C4 ? 22 8 ? . 4 27 3

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验.

1 P ( A) ? . 3 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则
从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

8 2 1 2 2 2 P4 (2) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 27
(II)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又

3 1 ? , 4 27 3 C 2 (C1C 3 ? C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? 3 2 4 4 4 2 ? (或P(? ? 2) ? 3 4 ? ) 27 27 3 3 P(? ? 1) ?
1 2 1 2 3 C3 C4 C2 4 C4 A3 4 P(? ? 3) ? ? ( 或 P ( ? ? 3) ? ? ). 9 9 34 34

综上知,ξ 有分布列 ξ P 从而有 1 2 3

1 27

14 27

4 9

E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27

练习: (2009 江西卷理)为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡 片,集齐 3 种卡片可获奖,现购买该种食品 5 袋,能获奖的概率为 A.

31 81

B.

33 81

C.

48 81

D.

50 . 81

答案:D 【解析】 P ?

35 ? (3 ? 25 ? 3) 50 ? 故选 D 35 81

六.独立性检验
例 6. 三维设计(二轮)P67(例 4) 练习: 三维设计(二轮)P68

七.古典概型(列举法的应用)
例 7. (2010 安徽理数 21) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出 n 瓶外 观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品 尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为
6

其评分。 现设 n ? 4 ,分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的序号,并令

X ? 1 ? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4 ,
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ)写出 X 的可能值集合; (Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ? 2 , (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。

练习:一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4,5;另一个盒子也装有 4 张大 小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张卡片,其上面的数记为 x;再从另一 盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随机变量?=x+y ,求? 的分布列和数学期望。
7

解析:依题意,可分别取? ? 5 、6、 ???? 11 取,则有

1 1 2 3 ? , p(? ? 6) ? , p(? ? 7) ? 4 ? 4 16 16 16 . 4 3 2 1 p (? ? 8) ? , p(? ? 9) ? , p(? ? 10) ? , p(? ? 11) ? 16 16 16 16 p (? ? 5) ?
? ? 的分布列为

?
p

5

6

7

8

9

10

11

2 3 4 3 16 16 16 16 1 2 3 4 3 2 1 E? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? 11? ? 8 . 16 16 16 16 16 16 16

1 16

2 16

1 16

八.综合问题
例 8. 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作 时间不超过 10 分钟,如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、 丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别

p? , p? , p? ,假设 p? , p? , p? 互不相等,且假定各人能否完成

任务的事件相互独立. (Ⅰ)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序, 任务能被完成的概率是否发生变化? (Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为

q? , q? , q? ,其中 q? , q? , q? 是 p? , p? , p? 的一

个排列,求所需派出人员数目 X 的分布列和均值(数字期望) EX ; (Ⅲ)假定

? ? p? ? p? ? p? ,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)

达到最小。 解:本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下 处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类读者论论思想,应用意识与创新意识. 解: (I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是

(1 ? p1 )(1 ? p2 )(1 ? p3 ) ,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,
并等于

1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 )(1 ? p3 ) ? p1 ? p2 ? p3 ? p1 p2 ? p2 p3 ? p3 p1 ? p1 p2 p3 .
(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 X P 1 2

q1 , q2 , q3 时,随机变量 X 的分布列为
3

q1

(1 ? q1 )q2

(1 ? q1 )(1 ? q2 )

所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX 是

EX ? q1 ? 2(1 ? q1 )q2 ? 3(1 ? q1 )(1 ? q2 ) ? 3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 .
8

(III) (方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,

EX ? 3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 .
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明:对于

p1 , p2 , p3 的任意排列 q1 , q2 , q3 ,都有

3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 ? 3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 , ????????(*)
事实上, ? ? (3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 ) ? (3 ? 2 p1 ? p2 ? p1 p2 )

? 2( p1 ? q1 ) ? ( p 2 ? q 2 ) ? p1 p 2 ? q1q 2 ? 2( p1 ? q1 ) ? ( p 2 ? q 2 ) ? ( p1 ? q1 ) p 2 ? q1 ( p 2 ? q 2 ) ? (2 ? p 2 )( p1 ? q1 ) ? (1 ? q1 )(( p 2 ? q 2 ) ? (1 ? q1 )[( p1 ? p 2 ) ? (q1 ? q 2 )] ? 0.
即(*)成立. (方法二) ( i )可将( II)中所求的 EX 改写为 3 ? (q1 ? q2 ) ? q1q2 ? q1 , 若交换前两人的派出顺序,则变为

3 ? (q1 ? q2 ) ? q1q2 ? q1 , .由此可见,当 q 2 ? q1 时,交换前两人的派出顺序可减小均值.
3 ? 2q1 ? q3 ? q1q3 . (ii) 也可将 (II) 中所求的 EX 改写为 3 ? 2q1 ? q2 ? q1q2 , 或交换后两人的派出顺序, 则变为
由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当 序综合(i) (ii)可知,当

q3 ? q 2 时,交换后两人的派出顺序也可减小均值.

(q1 , q2 , q3 ) ? ( p1 , p2 , p3 ) 时,EX 达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出,

可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的.

练习:为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这 三类工程所含项目的个数分别占总数的.

1 1 1 、 、 ,现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 2 3 6

(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)记 ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求 ? 的分布列及数学期 望。 解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

A1 , B1 , C1 ,i=1,

2,3.由题意知 A 1 A2 A3 相互独立, B 1 B2 B3 相互独立, C1 C2C3 相互独立, A 1, B 1 , C1 (i,j,k=1,2,3,且 i, j,k 互不相同)相互独立,且 P( A 1 )=,P( B 1 )= (1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
9

1 1 ,P( C1 )= 3 6

P=3!P( A 1 B2 C3 )=6P( A 1 )P( B2 )P( C3 )=6 ?

1 1 1 1 ? ? = 2 3 6 6 1 ) ,且 ? =3? 。 3 2 2 ( ) = P( ? =2)=P 3 9

(2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为? ,由己已知,? -B(3,
1 ( ) = 所以 P( ? =0)=P( ? =3)= C3
3

1 3

1 2 1 3 ( ) ,. P( ? =1)=P( ? =2)= C3 27 3

1 ( ) ( ) = ( ? =1)= C3
2

1 3

2 3

4 2 8 0 ( )3 = P( ? =3)=P(? =0)= C3 9, 3 27

故 ? 的分布是

?
P

0

1

2

3

2 9 1 2 4 8 ? 的数学期望 E ? =0 ? +1 ? +2 ? +3 ? =2 27 9 9 27

1 27

4 9

8 27

解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 D1 , i=1,2,3 ,由此已知, D1 ·D, D1 相互独立,且 P( D1 )-( A 1 , C1 )= P( A 1 )+P( C1 )=

1 1 2 + = . 2 6 3
3? K

所以 ? -- B (3, ) ,既 P (? ? K ) ? C3 ( ) ( )
K K

2 3

2 3

1 3

, k ? 0,1, 2,3.

故 ? 的分布列是

?
p

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

10


高三理科数学二轮复习专题资料之概率与统计

高三理科数学二轮复习专题资料之概率与统计_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学,高三二轮复习,高三理科数学二轮复习,二轮复习专题资料,概率统计 ...

2014高考二轮复习概率与统计专题(理科普通班)

高三数学第二轮复习教案 16页 免费 2014高三轮概率统计 暂无评价 18页 1下载...肥东锦弘中学 2014 届高三数学二轮复习专题(理科普通班) 肥东锦弘中学 2014 届...

2012届高三数学专题复习计数原理概率统计(理科)

2012届高三数学专题复习计数原理概率统计(理科)。广西贵港市樟木高中2012届高三数学第二轮专题复习计数原理概率统计(理科)2012 届高三数学专题复习排列组合二项式定理概率...

第二轮概率统计解答题专项训练理科

理科概率与统计解答题(教... 13页 免费 高三数学专项训练:概率... 50页 3...第二轮概率统计解答题专项训练理科 1.(本小题满分 10 分)甲乙两个同学进行...

专题(7)概率统计专题

专题(7)概率统计专题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。精心编写的新课程高中...高2016 届数学(理科)第二轮专题复习 专题(7)概率统计专题 类型一、相互独立...

高三数学第二轮专题复习系列(10)--排列、组合、二项式...

高三数学第二轮专题复习系列(10) -- 排列、组合、二项式定理和概率统计一、知识要点排列概念 两个计数原理 组合概念 组合数性质 排列数公式 组合数公式 应用 排列...

高三理科数学最后冲刺:概率统计专题

概率统计专题习题理科(近... 8页 1下载券 2013届高三理科数学专题... 7页 ...③答对第一题得 10 分,第二题得 20 分,第三题得 30 分,答错得 0 分。...

高三理科数学---《概率统计专题训练》答案

高三理科数学---《概率统计专题训练》答案_数学_高中教育_教育专区。高三理科数学...恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率服从二项分布 ∴从流水线上任取 ...

2016高考理科数学二轮复习专题---概率统计专题训练题(4)

2016高考理科数学二轮复习专题---概率统计专题训练题(4)_数学_高中教育_教育...第 2 页(共 8 页) 概率统计专题训练(4)参考答案与试题解析 一.解答题(共...

2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测七计数原理与概...

2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测七计数原理与概率统计 隐藏>> 专题综合检测...[0,+∞),∴n≤0. 1 ∴所求概率 P=4. (理)(2012· 山东实验中学第三...