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交大附中2014版高考数学第一轮复习训练:导数及其应用(word版含答案)


上海交通大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练:导数 及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

x3

? x 2 ? 1(0 ? x ? 2) 图象上任意点处切线的斜率为 k ,则 k 的最小值是( 1.若函数 y ? 3
A. ? 1 【答案】A 2.曲线 y ? B. 0 C.

)

1

D.

1 2

x 在点(1,1)处的切线方程为( 2x ? 1 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0

)

【答案】B 3.曲线 f ( x) ? x ln x 在点 P(1,0)处的切线 l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 C. ( x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 2
2 2 A. ( x ? ) ? ( y ? ) ?

2 2 B. ( x ? ) ? ( y ? ) ?

1 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 D. ( x ? ) ? ( y ? ) ?

【答案】C 3 4.曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x,则点 P0 的坐标是( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) D.(-1,-4) 【答案】B

?x 2 ? 5.设 f ( x) ? ? ?2 ? x ?
A.

x ? [0,1]
,则

x ? [1,2]
B.

?

2

0

f ( x)dx 的值为(
5 6

)

3 4

4 5

C.

D.

7 6
)

【答案】C 2 6.设函数 f′(x)=x +3x-4,则 y=f(x+1)的单调递减区间为( A. (-4,1) B. (-5,0)

,? C. (? ?

3 2



,? D. (? ?
) D.不等于零

5 2



【答案】B 7.在平均变化率的定义中,自变量 x 在 x0 处的增量 ? x( A.大于零 B.小于零 C.等于零 【答案】D

8.函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为( A. ( ?1,1) 【答案】B B. ( ?1,+ ? ) C. ( ? ? , ?1 ) D. ( ? ? ,+ ? )

)

e 9.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,又知 ( x ln x) ' ? ln x ? 1 ,且 S10 ? ?1 ln xdx , S20 ? 17 ,则 S30 为 (

)

A.33 【答案】C
3

B.46

C.48

D.50 )

10.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为( A.( 1 , 0 ) B.( 2 , 8 )

C.( 1 , 0 )或(-1, -4) 【答案】C

D.( 2 , 8 )和或(-1, -4)

11.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( A. 4 【答案】A 12.曲线 y ? x 2 ? 11在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A.-9 【答案】C B.-3 C.9 D.15 ) ) B. ?

1 4

C. 2

D. ?

1 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 an =____________
2 2

1 2 14.函数 y ? x 2 ? x 3 的单调增区间为 2 【答案】 (0, ) 3
n ?5 【答案】 ( )
2

.

15.曲线 y=3x 与 x 轴及直线 x=1 所围成的图形的面积为 【答案】1 16. lim
?x ?0



f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ?x



【答案】 ? f ?( x0 ) 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙 厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每 千米 3 a 元和 5 a 元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省?

【答案】解法一:根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设 C 点距 D 点 x km, 则 ∵ BD=40,AC=50- x ,∴BC= BD2 ? CD2 ? x 2 ? 402 又设总的水管费用为 y 元,依题意有: y =3 a (50-x)+5 a y′=-3 a +
5ax x ? 40 2
2

x 2 ? 402 (0 ? x ? 50)

,令 y′=0,解得 x =30

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在 x =30(km)处取得最小值,此时 AC=50- x =20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省. 解法二:设∠BCD= ? ,则 BC=

40 ? ,CD= 40 cot? , (0 ? ? ? ) , AC ? 50 ? 40 cot? 2 sin? 5 ? 3cos? 40 =150 a +40 a · sin ? sin?

设总的水管费用为 f(θ ),依题意,有
f (θ )=3 a (50-40·cotθ )+5 a ?

∴ f ? (θ )=40 a ?

(5 ? 3cos ? )? ? sin ? ? (5 ? 3cos ? ) ? (sin ? )? 3 ? 5cos ? ? 40a ? sin 2 ? sin 2 ?

令 f ? (θ )=0,得 cosθ =

3 5 3 4 3 时,函数取得最小值,此时 sinθ = ,∴cotθ = , 5 5 4

根据问题的实际意义,当 cosθ =

∴AC=50-40cotθ =20(km),即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省. 1 2 18. 已知函数 f(x)=ax +blnx 在 x=1 处有极值 . 2 (I)求 a,b 的值; (II)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间. b 1 2 【答案】(1)因为函数 f(x)=ax +blnx,所以 f′(x)=2ax+ .又函数 f(x)在 x=1 处有极值 , x 2 f′1=0, ? ? 所以? 1 f1= . ? 2 ? 2a+b=0, ? ? 即? 1 a= , ? ? 2 1 ? ?a= , 解得? 2 ? ?b=-1.

1 2 1 x+1x-1 (2)由(1)可知 f(x)= x -lnx,其定义域是(0,+∞),且 f′(x)=x- = . 2 x x 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以函数 y=f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞). 19. 设a?R , 向量 m ? (a,1) , 函数 y ? f ( x) 的图象经过坐标原点, f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数. 已知 A(?1, f ?( ?1)) ,

B( x, x 2 ) , f ?( x) ? AB ? m .
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

a x2 ( x ? 1) 2 ? 在区间 ? ?1,1? 上有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围; 2 4 (Ⅲ)若 a ? 2 ,设数列 {an } 满足 a1 ? 3, 4an ? 2 f ?( an?1 ) ? 3( n ? N*且n ? 2) .
(Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? 求证: an ? 2
2n?1

? 1? n ? N* ? .

【答案】 (I)∵ AB ? ( x ? 1,x 2 ? f ?(?1)) , ∴ f ?( x) ? AB ? m = a ( x ? 1) ? x 2 ? f ?(?1) . 令 x ? 1 ,则 f ?(?1) ? a( x ? 1) ? (?1) 2 ? f ?(?1) ,解得 f ?(?1) ?
1 . 2 ∵ y ? f ( x) 的图象过原点, 1 . 2

∴ f ?( x) ? x 2 ? ax ? a ?

∴ f ( x) ?

1 3 a 2 1 x ? x ? (a ? ) x . 3 2 2
2 3 1 2 x ? x ?x. 3 2

(II)原方程可以整理为 a ? 令 g ( x) ?

2 3 1 2 x ? x ? x ,则 g ?( x) ? 2 x 2 ? x ? 1 . 3 2
1 , 2

由 g ?( x) ? 0 有 x ? ?1 或 x ? 且当 x ? ?1 或 x ?

1 1 时 g ?( x) ? 0 ,当 ? 1 ? x ? 时 g ?( x) ? 0 . 2 2

∴ 在 x ? [?1,1] 时, g ( x) 在 ? ?1, ? 上是减函数,在 ? ,1? 上是增函数, 2 2

? ?

?? ?

?? ? ? ?

1 7 ∴ 在 ? ?1,1? 上 g ( x) . min ? g ( ) ? ? 2 24

又 g (?1) ?

5 1 ? g (1) ? , 6 6 7 1 ?a? . 24 6

∴ 要使原方程在 ? ?1,1? 上有两个不相等的实数根,则须使 ? 即 a 的取值范围为 ? ?

? 7 1? , ?. ? 24 6 ?
3 . 2

(III) a ? 2 时, f ?( x) ? x 2 ? 2 x ?

3 2 2 变形得 ? an?1 ? 1? ? 2an ? 1 ? 2 ? an ? 1? ,

2 2 ∴ 4an ? 2(an ?1 ? 2an ?1 ? ) ? 3 ),整理得 2an ? an ?1 ? 2an ?1 ( n ? 2 ).

2 令 cn ? an ? 1 ,则 c1 ? 4 , 2cn ? cn ?1 ( n ? 2 ) . 2 两边同取对数有 log 2 (2cn ) ? log 2 cn ?1 ,即 1 ? log 2 cn ? 2 log 2 cn ?1 .

令 d n ? log 2 cn ,则 d1 ? 2 ,且 1 ? d n ? 2d n?1 , ∴ d n -1>2( d n ?1 -1)( n ? 2 ), ∴ d n -1>2( d n ?1 -1) >2 ( d n ? 2 -1)>……> 2 n ?1 ( d1 -1)= 2 n ?1 ,
2

∴ d n >1+ 2 n ?1 > 2 n ?1 ,∴ cn = 2 ∴ an ? 2 ∴ an ? 2
2n?1

dn

? 22 ,

n ?1

? 1 ( n ? 2 ).
1?1

当 n ? 1 时, a1 =3> 2 2 -1=1,即不等式也成立,
2n?1

? 1? n ? N* ? .

20.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) , (Ⅰ)若 a ? ?1, 求曲线 y ? f ( x) 在 x ?

1 处的切线的斜率; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; 2

(Ⅲ)设 g ( x) ? 2 x ? 2, 若存在 x1 ? (0,??), 对于任意 x2 ? [0,1], 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ), 求 a 的范围。

f ( x) ? ax ? ln x(a ? R ) ? x ? (0,??)
【答案】

f ' ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x
1 2

' (Ⅰ)若 a ? ?1, k ? f ( ) ? ?1 ? 2 ? 1

(Ⅱ)当 a ? 0, f ' ( x) ? 0,? f ( x)在( 0, ? ?)为增函数
' 当 a ? 0, 令 f ( x) ? 0 ? 0 ? x ? ?

1 1 , f ' ( x) ? 0 ? x ? ? , a a

0, ? ?) 综上: a ? 0, f ( x)的单调增区间为(
1 1 a ? 0, f ( x)的单调增区间为( 0, - ) , 减区间为( ? ,?? ) a a (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时,一定符合题意; 1 1 - ) , 减区间为( ? ,?? ) 当 a ? 0, f ( x)的单调增区间为( 0, a a 1 1 ? f ( x) max ? f (? ) ? ?1 ? ln(? ) a a 1 1 由题意知,只需满足? f ( x) max ? g ( x) max ? g (1) ? 0 ? ?1 ? ln( ? ) ? 0 ? ? ? a ? 0 a e 1 综上: a ? ? e

21.已知函数 f ? x ? ?

1 ? x ? ax e 。 1? x

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围 ax +2-a -ax 【答案】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对 f(x)求导数得 f '(x)= . 2 e (1-x) 2x -2x (ⅰ)当 a=2 时, f '(x)= , f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于 0, 所以 f(x)在(-∞,1), (1,+ 2 e (1-x) ∞).为增函数. (ⅱ)当 0<a<2 时, f '(x)> 0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数. a-2 (ⅲ)当 a>2 时, 0< <1, 令 f '(x)= 0 ,解得 x1= - a 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: a-2 , x2= a a-2 . a
2 2

f(x)在(-∞, -

a-2 ), ( a 1 2

a-2 ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(- a

a-2 , a

a-2 )为减函数. a

(Ⅱ)(ⅰ)当 0<a≤2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1. (ⅱ)当 a>2 时, 取 x0= a-2 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1 a

1+x -ax (ⅲ)当 a≤0 时, 对任意 x∈(0,1),恒有 >1 且 e ≥1,得 1-x f(x)= 1+x -ax 1+x e ≥ >1. 综上当且仅当 a∈(-∞,2]时,对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>1 1-x 1-x

22.函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ? 2 x, b ? R (I)当 b ?

3 时,求函数 f ( x) 的极值; 2

(II)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,若 b ? 2 , 求证:对任意 x1 , x2 ? (?1,??) ,且 x1 ? x 2 ,都有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) . 【答案】 (1)当 b ?

3 3 2 时, f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ? 2 x, 2 2

函数定义域为( ? 1,?? )且 令 2x ?

3 1 1 ? 2 ? 0 ,解得 x1 ? ? 或 x 2 ? 2( x ? 1) 2 2

当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 1 5 3 时, f ( x) 极大值 ? f (? ) ? ? ln 2 , 2 2 4 2 1 1 3 3 3 当 x ? 时, f ( x) 极小值 ? f ( ) ? ? ? ln ; 2 2 4 2 2
所以当 x ? ? (2)因为 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) ? 2x , 所以 f ' ( x) ? 2 x ?

b 2x 2 ? b ? 2 ?2? ( x ? ?1) , x ?1 x ?1

因为 b ? 2 ,所以 f ' ( x) ? 0 (当且仅当 b ? 2, x ? 0 时等号成立) , 所以 f ( x) 在区间 (?1,??) 上是增函数, 从而对任意 x1 , x2 ? (?1,??) ,当 x1 ? x 2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 即 g ( x1 ) ? 2 x1 ? g ( x2 ) ? 2 x2 ,所以 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 2( x1 ? x2 ) .


上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练:导数及其应用

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