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重庆市忠县石宝中学14—15学年上学期高二期末考试理科数学(附答案)


重庆市忠县石宝中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试理科 数学试题

2.(考试金卷)抛物线 y= (A) y=1

1 2 x 的准线方程是 B 4
(B) y=-1 (C) x=-1 (D) x=1

3.(原创)过点 P(-1, 3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 A (A) 2x

+y-1=0 (B) 2x+y-5=0 (C) x+2y-5=0 (D) x-2y+7=0

4.(西师附中高二)已知 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确 命题是 C (A)若 ? ⊥? ,l⊥? ,则 l// ? (C)若 l⊥? ,l∥? ,则 ? ⊥? (B)若 l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l// ? (D)若 ? ⊥? , ? ⊥? ,则 ? ⊥?

5.(金版教程)直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3)2+y2=9 截得的弦长为 C (A) 2 2 (B) 4 (C) 4 2 (D) 2

6.(考试金卷)若圆 C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1 关于点(0, 0)对称,则圆 C 的方程为 B (A) (x-2)2+(y-1)2=1 (B) (x-2)2+(y+1)2=1

(C) (x-1)2+(y+2)2=1(D) (x+1)2+(y-2)2=1 7.(原创)一个几何体的三视图如题(6)图所示, 则该几何体的侧面积为(D) (A) 2 3 (B) 4 3 (C) 4 (D) 8 8.(育才高二)对给出的下列命题:(D) ① ?x ? R, ? x ? 0 ;② ?x ? Q, x ? 5 ;③ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2 2

2 2

2

2 2

2

正视图

侧视图

题(6)图
俯视图

④若 p : ?x ? N , x ≥ 1 ,则 ?p : ?x ? N , x ? 1 .其中是真命题的是
2 2

(A)①③

(B)②④

(C)②③

(D)③④

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9.(西师附中高二)设离心率为 e 的双曲线 C:

x2 y2 - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F, a2 b2

直线 l 过点 F 且斜率为 k.若直线 l 与双曲线左、右支都有交点,则(A) (A) e2-k2>1 (B) k2-e2<1 (C) k2-e2>1 (D) e2-k2<1

10.(巴蜀 13-2 下)若椭圆 a2x2+y2=a2(0<a<1)上离顶点 A(0, a)最远点为(0,-a),则(C)

(A) 0<a<1

(B)

2 <a<1 2

(C)

2 ≤a<1 2

(D) 0<a<

2 2

第Ⅰ 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卡上相应位置上. 11.(育才高二)若直线 x-3y+k=0 与直线 9y=9kx+1 没有公共点,则 k 的值为 12.(西师附中高二)方程|x|+|y|=1 所表示的图形的面积为 2 .

1 3



13.(原创)设正方形 ABCD 的边长为 1.若点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? DC 的最大值为 1 .

14.(考试金卷)正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,长度为定值的线段 EF 在线段 B1D1 上滑动,现 有五个命题如下: ① AC⊥ BE;② EF//平面 A1BD;③ 直线 AE 与 BF 所成角为定值;④ 直线 AE 与平面 BD1 所成角 为定值;⑤ 三棱锥 A—BEF 的体积为定值。其中正确命题序号为 125 15.(原创)设 F 是椭圆 C: .

x2 y2 + =1(a>b>0)的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF a2 b2 1 5 与圆 x2+y2= b2 相切于点 Q.若 PQ = QF ,则椭圆 C 的离心率为 4 3


三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程、演算步骤或推 理过程,并答在答题卡相应位置上. 16.(金版教程)(本题满分 13 分)已知命题 p:“对于任意的 x∈ [1, 2],x2-a≥0 成立”,命题 q:“存在 x∈ R,使得方程 x 2 +2ax+2-a=0 有两个相等的实数根”.若命题“p 且 q”是真命 题,求实数 a 的取值范围. 17.(宁波中学高二)(本题满分 13 分)如图,边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩 形 ABCD 所在的平面,BC=2 2 ,M 为 BC 的中点.
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P

(Ⅰ)证明 AM⊥PM; (Ⅱ)求二面角 P-AM-D 的大小.
D M A B C

18.(考试金卷)(本题满分 13 分)已知圆 C:x +y -2x-4y+m=0,m∈R. (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)若直线 l:x+2y-4=0 与圆 C 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON,求 m 的值.

2

2

19.(原创)(本题满分 12 分) 已知平面内的动点 P 到两定点 M (?2, 0) 、 N (1, 0) 的距离之比为 2 :1 . (Ⅰ)求 P 点的轨迹方程; (Ⅱ)过 M 点作直线,与 P 点的轨迹交于不同两点 A 、 B , O 为坐标原点,求 ?OAB 的 面积的最大值. 20(巴蜀 13-2 下) (本题满分 12 分) 如图, 在五面体 ABCDEF 中, 四边形 ADEF 是正方形, FA⊥面 ABCD,BC∥AD,CD=1,AD= 2 2 ,
F E

?BAD ? ?CDA ? 45 ? .
(1)求证:CD⊥面 ABF; (2)试在棱 DE 上找一点 P 使得二面角 B-AP-D 的正 切值为 5 ,并证明之。
B

A D C 第20题图

x2 y2 + =1(a>b>0)的右焦点与 a2 b2 5 抛物线 C2:y2=4x 的焦点 F 重合,椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P,|PF|= . 3
21.(成都九中高二)(本题满分 12 分)已知椭圆 C1: (Ⅰ )求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)若过点 A(-1, 0)的直线与椭圆 C1 相交于 M,N 两点,求使 FM + FN = FR 成立的动 点 R 的轨迹方程; (Ⅲ)若点 R 满足条件(Ⅱ),点 T 是圆(x-1)2+y2=1 上的动点,求|R

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对① ② 求交集,可得{a|a≤-2 或 a=1}, 综上所求实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 17. (1)证明:如图所示,取 CD 的中点 E,连接 PE,EM,EA, ∵ △ PCD 为正三角形, ∴ PE⊥ CD,PE=PD sin∠ PDE=2sin60° = 3.

∵ 平面 PCD⊥ 平面 ABCD, ∴ PE⊥ 平面 ABCD,而 AM? 平面 ABCD,∴ PE⊥ AM.

18.解: (1)配方得(x-1)2+(y-2)2=5-m,所以 5-m>0,即 m<5, (2)设 M(x1,y1)、N(x2,y2),∵OM⊥ ON,所以 x1x2+y1y2=0, 由?

?
2

x ? 2y ? 4 ? 0
2

?x ? y ? 2x ? 4 y ? m ? 0

得 5x2-16x+m+8=0,

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? y ? k ( x ? 2) ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 4(k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0 ? 2 2 ?( x ? 2) ? y ? 4

20. 法一: (1)过 B 点作 BG//CD,交 AC 于点 G, 易证得 BG⊥AB

? CD ? AB
? FA ? CD

又? FA ? 面ABCD, CD ? 面ABCD

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F E

P A B C 第20题图 O H D

? CD ? 面ABF
(2) 过点 B 作 BH⊥AD,垂足为 H

…………………………………………4 分

过点 H 作 HO⊥AP,垂足为 O,连结 BO

? FA ? 面ABCD ? BH ? AD ? HO ? AP

? 面FADE ? 面ABCD ? BH ? AP ? AP ? OB

? BH ? 面FADE ? AP ? 面OBH

? ?BOH就是二面角B ? AP ? D的平面角 …………………………………………8 分
求得 BH ? AH ?

2 ,即点 H 为 AD 的四等分点 2

设 PD ? t 0 ? t ? 2 2 ,易求得 OH ?

?

?

2t 2 8? t2

? tan ?BGH ?

BH 8 ? 2 ?1 ? 5 ? t ? 2 GH t

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? 2 2 ? x? y?0 设面 ABF 的一个法向量为 m ? ? x, y, z ?, 则有 ? 2 2 ? ? 2 2z ? 0
令 x ? 1 ,则 m ? ?1,?1,0 ?

z
F E

P

? 2 2 ? ? DC ?? , ? ,0 ? ? 2 ? 2 ? ?
? DC ? 面ABF

? DC // m
B

A D C 第20题图

…………………………4 分

x

y

即当点 P 为 DE 的中点时,二面角 B-AP-D 的正切值为 5 ……………………12 分

21. (1)解法 1:抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为 ?1, 0 ? ,准线为 x ? ?1 ,设点 P 的 坐标为 ? x0 , y0 ? ,依据抛物线的定义,由 PF ? ∵ 点 P 在抛物线 C2 上,且在第一象限,
2 ∴ y0 ? 4 x0 ? 4 ?

5 5 2 ,得 1 ? x0 ? , 解得 x0 ? . 3 3 3

?2 2 6? 2 6 2 ,解得 y0 ? . ∴ 点 P 的坐标为 ? , ?3 3 ? ?. 3 3 ? ?

2

x2 y 2 ∵ 点 P 在椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 上, a b

4 8 ? 2 ?1. 2 9a 3b
2

又 c ? 1 ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 1 ,解得 a ? 4, b ? 3 .
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∴ 椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

解法 2 抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为 ?1, 0 ? , 设点 P 的坐标为 x0 , y0 , x0 ? 0, y0 ? 0 . ∵ PF ?

?

?

5 , 3

∴ x0 ? 1

?

?

2

2 ? y0 ?

25 . 9



∵ 点 P 在抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 上, ∴ y0 ? 4 x0 .
2



解① ② 得 x0 ?

2 2 6 , y0 ? . 3 3
?2 2 6? . ?3, 3 ? ? ? ?

∴ 点 P 的坐标为 ?

∵ 点 P 在椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2
2



4 8 ? 2 ?1. 2 9a 3b
2

又 c ? 1 ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? 1 ,解得 a ? 4, b ? 3

∴ 椭圆 C1 的方程为 (2)解法 1:设点 M

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? 、 R ? x, y ? ,

则 FM ? ? x1 ? 1, y1 ? , FN ? ? x2 ? 1, y2 ? , FR ? ? x ? 1, y ? . ∴FM ? FN ? ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? . ∵ FM ? FN ? FR , ∴x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y . ∵M 、 N 在椭圆 C1 上, ∴ ①

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1. 4 3 4 3

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上面两式相减得

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?
4 ? 3

? 0 .②

把① 式代入② 式得

? x ? 1?? x1 ? x2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 0 .
4 3
3 ? x ? 1? y1 ? y2 . ?? x1 ? x2 4y
? x ?1 y ? , ?. ? 2 2?


当 x1 ? x2 时,得

设 FR 的中点为 Q ,则 Q 的坐标为 ? ∵M 、 N 、 Q 、 A 四点共线,

∴k MN

y y ? y2 y 2 . ? ? ? k AQ , 即 1 x1 ? x2 x ? 1 ? 1 x ? 3 2



把④ 式代入③ 式,得

3 ? x ? 1? y ?? , x?3 4y

化简得 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 . 当 x1 ? x2 时,可得点 R 的坐标为 ? ?3, 0 ? , 经检验,点 R ? ?3, 0 ? 在曲线 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 上. ∴ 动点 R 的轨迹方程为 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 . 解法 2:当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? k x ? 1 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

? y ? k ? x ? 1? , ? 2 2 2 2 由? 2 消去 y ,得 3 ? 4k x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . x y2 ? ? 1, ? 3 ?4

?

?

设点 M

? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? 、 R ? x, y ? ,
8k 2 , 3 ? 4k 2

则 x1 ? x2 ? ?

y1 ? y2 ? k ? x1 ? 1? ? k ? x2 ? 1? ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ?
∵FM ? ? x1 ? 1, y1 ? , FN ? ? x2 ? 1, y2 ? , FR ? ? x ? 1, y ? .
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6k . 3 ? 4k 2

∴FM ? FN ? ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? . ∵ FM ? FN ? FR , ∴x1 ? x2 ? 2 ? x ? 1, y1 ? y2 ? y . ∴x ? 1 ? x1 ? x2 ? ?

8k 2 , 3 ? 4k 2



y ?

6k . 3 ? 4k 2
3 ? x ? 1? 4y
, ③



①? ② 得k ? ?

把③ 代入② 化简得 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 .

?

?

(*)

当直线 MN 的斜率不存在时,设直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 依题意, 可得点 R 的坐标为 ? ?3, 0 ? , 经检验,点 R ? ?3, 0 ? 在曲线 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 上. ∴ 动点 R 的轨迹方程为 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 . (3)解 由(2)知点 R x, y 的坐标满足 4 y 2 ? 3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , 即 4 y 2 ? ?3 x 2 ? 4 x ? 3 , 由 y 2 ? 0 ,得 ?3 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 ?3 ? x ? ?1 . ∵ 圆 x ?1 ∴ RF ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

? y 2 ? 1 的圆心为 F ?1,0 ? ,半径 r ? 1 ,
2

? x ? 1?
1 2

? y2 ?
2

? x ? 1?

2

?

3 2 x ? 4x ? 3 4

?

?

?

? x ? 10 ?
max

? 105 .

∴ 当 x ? ?3 时, RF 此时, RT

? 4,

max

? 4 ? 1 ? 5.

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