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9.2空间的平行直线与异面直线


问题提出

1、在同一平面内,若直线a、b都平 行于直线c,则a、b的位置关系 如何?

c b

a

2、取一块长方形纸板ABCD,E、F分 别为AB、CD上的点,且EF∥AD, 将纸板沿EF折起,观察直线 AD与BC 的位置关系如何?
C

D

/>F

C

D

F

B
A E B

A

E

一、空间的平行直线

1.公理4: 平行于同一条直线的两条直线
互相平行. 即若a//b,b//c,则a//c

(空间平行直线的传递性)

练习1、
1.下面两条直线是异面直线的是(C)

A.不同在一个平面内的两条直线;
B.分别在某两个平面内的两条直线;

C.既不平行又不相交的两条直线;
D.平面内的一条直线和平面外的一条直线

2.若a,b是异面直线,b,c是异面直线, 则a,c的位置关系是 ( ) A.相交、平行或异面 √

C.异面

B.相交或平行 D.平行或异面

例1、已知E、F、G、H分别是空间四
边形四条边AB、BC、CD、DA的中 点,求证:四边形EFGH是平行边形
A

E

H D

B F G C

2.平移:若空间图形F的所有点都沿同一 方向移动相同的距离到F’的位置,则 说 图形在空间作了一次平移

3. 空间四边形: 顺次连结不共面的四点A、 B、C、D,所组成的四边形 A

其中AC、BD叫空间四边形 的对角线
B

D

C

二、空间中两直线的位置关系
a
b

?
平行

b

a

?

a
b

相交
共面直线 异面直线

异面

平行直线 相交直线

空间两条直线

(一)异面直线:不同在任何一个平面内的 两条直线 1、注意:既不平行且不相交 2、画法: 平面衬托法

A

B

(二)异面直线的判定 判定定理:
?

A
B

l

连结平面内一点与平面外一点的直线,和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线

练习1、判断:

(1)没有公共点的两直线叫异面直线 ( ) (2)分别在两个平面内的直线叫异面直线( )

×

×

练习2、说出正方体中各对线段的位置关系 1) AB,CC1 ; 2) A1C,BD1
A1 D1 C1

3) AA1,CB1; 4) A1C1,CB1 5) A1B1,DC; 6) BD1,DC
A D

B1

C
B

(三)异面直线a与b 所成的角
空间中过点O,作直线a1∥a, b1∥b, 则直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面 直线a和b所成的角 b1 a1 b
a2
O

1.平移法
?

a
0,900] ?(0

2.范围: ? 3.两直线所成角为900时, 称两直线垂直
记为:

a?b

练习3、
D

如图,在正方体 A ABCD-A1B1C1D1中, 棱AB与CC1所成的 角为_____度. 90
A1

C B

D1
B1

C1

例2. 设图中的正方体的棱长为a,
①图中哪些棱所在的直线 与BA1成异面直线
D1
A1

C1

B1

②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数 A

D B

C

③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直

例3.

练习3、空间四边形ABCD中,E,F分别是
对角线BD,AC的中点,若BC=AD=2EF, 求直线EF与直线AD所成的角

A
F
E

D

B

G

C

例5、在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分 别是BB1,CC1的 中点,求直线AE与BF所成角的余弦值。
解:
A1 D1 C1 B1

·F ·
B E

D
A

C

例5、在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分 别是BB1,CC1的 中点,求直线AE与BF所成角的余弦值.
解:
A1 D D1 B1 C1

·F ·
B E C

A

例5、在棱长是a的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分 别是BB1,CC1的 中点,求直线AE与BF所成角的余弦值.
解:
A1 D1 C1

·K
D

B1

·F ·
B E

C

A

求异面直线所成角的步骤
1 、平移(作平行线) 2、 找出角θ,证明θ即为所求角

3、 解三角形,求出θ

变式一、M,N为A1B1,BB1的中点,求AM
与CN所成角的余弦值
D1 A1

C1

M

B1


C

D
A

·
B

N

P Q

变式二、求AE与BD1所成角的
余弦值
D1 A1 C1 B3 B1

D
A

·
B

E

C

E ·1 B2

注意
1、平移:
①直接平移, ②中位线平移,③补形平移

2、若用余弦定理求出cosα<0,则异 面直线所成的角为π-α

1 则异面直线所成的角的余弦值为 cos ? ? 5 1
∴异面直线所成的角

1 如:若求出 cos ? ? ? 5

arccos

5


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