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河北省唐山市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试数学(文)


河北省唐山市 2012-2013 学年度高三年级第二次模拟考试数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 ,有且 只有一项符合题目要求。 1.设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | 0 ? x ? 3}, 则A ? B ? A.[0,2] B.[1,2] C.[0,3] D.[

—1,3] 2.自然数 m 满足: lg m ? 6.32, 则m 是 A.4 位数 B.5 位数 C.6 位数 D.7 位数 3. a 、 b 是两个单位向量,且 (2a ? b ) ? b ,则 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 4.函数 y ? sin(2 x ? A. (

?

?

?

?

?

?

?

?

? 2?
6 , 3

6

) 的一个递减区间为
B. ( ?

)

? ?

, ) 3 6

C. ( ?

? ?

, ) 2 2

D. (

? 3?
2 , 2

)

5.直线 l 是曲线 y ? ? A. ?

6. 过表面积为 4 ? 的球面上一点 M 作两两互相垂直的三条弦 MA、 MC, MA2+MB2+MC2= MB、 则 A.1 B.2 C.3 D.4 7.圆 x2 ? y 2 ? 50与圆x2 ? y 2 ?12x ? 6 y ? 40 ? 0 的公共弦长为 A. 5 B. 6
2

? ? 5? ? , ? ?2 6 ?

1 3 x ? 3x 的切线,它的倾斜角 a 的取值范围是 3 ? 2? ? ? ? 2? ? ?? ? ? B. ? C. ? , D. ? , ? ,? ? ? ? 3 ? ?2 3 ? ?3 2?

C.2 5

D.2 6

8 . 已 知 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 {x | ?2 ? x ? 1} , 则 不 等 式 样

cx 2 ? bx ? a ? c(2 x ? 1) ? b 的解集为
A.{x | ?2 ? x ? 1} B.{x | ?1 ? x ? 2} C.{x | x ?

1 或x ? 2} 2

D.{x |

1 ? x ? 2} 2

9.从 0,1,2,3,4,5,6 中任取 3 个数字组成没有重复数字的 3 位数,基中能被 5 整除的 数共有 A.30 个 B.50 个 C.55 个 D.90 个 10.F1、F2 是双曲线的两个焦点,双曲线上存在点 P,满足 ?F PF2 ? 60? ,且|PF1|=2|PF2|, 1 则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 2 D.2 3

11.定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x ? 1) ? ? f ( x), 当0 ? x ? 1时, f ( x) ? ? | x ?

1 1 |? ,则 2 2

5 99 f ( )? f ( ) ? 2 2
A.1
2

B.0

C.

1 2

D.—

1 2

12.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若|AB|=6,则段线 AB 中点 的横坐标为

A.1 B.2 C.3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

D.4

2 5 。 x 14.数列 {an } a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 2an?1 ? an , 则a5 = 中
13.在 (1 ? x )(1 ? ) 的展开式中,常数项为
2



? x ? y ? 5 ? 0, ? 则z ? 2 x ? y 的最大值等于 15.已知 x, y满足 ? x ? y ? 0, ? x ? 3, ?



16.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是上底面 A1B1C1D1 的中心,则异面直线 OC 与 BC1 所成角的余弦值为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)在△ABC 中, tan (I)求∠C 的大小;

A? B ? 2sin C. 2

(II)若 AB=1,求△ABC 周长的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=BC=2,AA1=4,M、N 分 别为 CC1、A1C2 的中点。 (I)求证:AM⊥平面 B1MN; (II)求二面角 M—AB1—A1 的大小。

19. (本小题满分 12 分)在一次测量中,误差在±1%之内称为合格测量,否则为不合格测量。 某学生在一次测量合格与不时是等可能的。 (I)求该学生在 5 次测量中合格测量次数 不多于 2 的概率; (II)若连续 2 次出现不合格测量,则被停止其测量, 求该生恰在第 4 次测理后被停止的概率。

20. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前n项和Sn ? n2 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 an ? 2n bn , 求数列 bn } { 的前n项和Tn .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ?12x, f ( x)的导函数f ?( x). (I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)若 f ?(1) ? ?6, 求函数f ( x) 在[—1,3]上的最大值 和最小值。

22. (本小题满分 12 分)

A、B 是椭圆 x ?
2

积等于 ? 2 , OC ? OA ? OB. (I)求证:点 C 在另一个椭圆上;

??? ?

??? ??? ? ?

y2 ? 1上的点,O 为原点,OA 与 OB 斜率的乘 2

(II)求四边形 OACB 的面积。

河北省唐山市 2009-2010 学年度高三年级第二次模拟考试数学试题(文科) 参考答案
一、选择题 ADCAC DCDCB AB 14.29; 15.9 ; 16.

二、填空题:13.41; 三、解答题 17.解: (I)由 tan

3 。 6

A? B A? B ? C C ? 2sin C 及 ? ? , 得 cos ? 2sin C , 2 2 2 2 2

C cos C 2 ? 4 s i n c C s ,………………3 分 ? o C 2 2 sin 2 C ? C C ?0 ? ? , c o s ? 0 , s i n? 0, 2 2 2 2 C 1 C 1 C ? ? ? sin 2 ? ,sin ? , ? , C ? . ………………5 分 2 4 2 2 2 6 3 AB BC CA 2 3 ? ? ? , ?ABC 的周长 (II)由正弦定理,得 sin C sin A sin B 3 2 3 2 3 ?2 y ? A B? B C C A ? s i n A ? ? 1 ? s i n ( ? A) 3 3 3 2 3 3 ? 1? sin ? cos A A? Ai n s 3 3 ? ? 1 ? 3 s i A ? c o s ? ? 2 A i n (, ………………8 分 n A 1 s ? ) 6 ? ? 5? 1 ? ? ? A? ? ,? ? sin( A ? ) ? 1 , 6 6 6 2 6 所以,△ABC 周长的取值范围是 ? 2,3?. ………………10 分
18.解法一: (I)∵ABC—A1B1C1 是直三棱柱,∴平面 A1B1C1⊥平面 A1ACC1; ∵AB=BC,进而 A1B1=B1C1,N 为 A1C1 的中点, ∴B1N⊥平面 A1ACC1, ∵AM ? 平面 A1ACC1, ∴B1N⊥AM,即 AM⊥B1N。 在侧面 A1ACC1 中,C1M=CM=2,C1N= 2 ,AC=2 2 , ? Rt ?MC1 N ∽Rt△ACM,

??C1MN ? ?CMA ? 90? , ? AM ? MN . ? B1N ? MN ? N ,? AM ? 平面 B1MN。 ………………5 分

(II)取 BB1 的中点为 D,连结 MD,则 MD⊥平面 A1AB1,作 DE⊥AB1,垂足为 E,连 结 ME,则 ME⊥AB1,∠MED 为二面角 M—AB1—A1 的补角。…………8 分

在Rt ?ABB1中, DE ? ? tan ?MED ?
故 二 面 角

1 AB ? BB1 2 ? ? , 2 AB1 5

MD ? 5, DE ∠MED= arctan 5, ……………11 分
M-AB1-A1 的 大 小 为

? ? a r c t a ………12 分 n 5 .
解法二: (I)分别以 BA、BB1、BC 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 B—xyz,

则A(2, 0, 0), M (0, 2, 2), B1 (0, 4, 0), N (1, 4,1), ???? ? ???? ? ????? ? AM ? (?2, 2, 2), B1 N ? (1, 0,1), B1M ? (0, ?2, 2), ???? ???? ???? ????? ? ? ? ? AM ? B1 N ? AM ? B1M ? 0, ? AM ? B1 N , AM ? B1M , 又B1 N ? B1M ? B1 ,
∴AM⊥平面 B1MN ………………5 分 (II) m ? (0,0,1) 为面 A1AB1 的法向量。

???? ? ???? ? AM ? (?2, 2, 2), AB1 ? (?2, 4, 0)

设面 MAB1 的法向量为 n ? ( x, y, z), 则n ? AM ? n ? AB1 ? 0,

???? ?

????

??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?? 取n ? (2,1,1). ??2 x ? 4 y ? 0,

? cos ? m, n ??

m?n 6 ? , | m || n | 6

………………11 分

故二面角 M—AB1—A1 的大小为 ? ? arctan

6 . ………………12 分 6

19.解: (I)该学生在 5 次概率中合格测量次数不多于 2 次的概率

1 P ? P5( 0 )? P3 ( 1? P5 ( 2 )6C5 ) ? 1 2

6

1 1 ( ) 5 ( ? )1 3 C 2 2

2

1 11 ( )2 ? C) ( 3 2 2

3

1 3 1 ( ) ………6 分 . ?( ) 2 2

(II)该学生在前 2 次测量合格,第 3 次和第 4 次不合格的概率为

1 1 1 1 ( ) 2 ( ) 2 , 前 4 次测量仅有第 2 次合格 ( )1 ( )3 , 则该生恰在第次测量后被停止的概率 2 2 2 2 1 1 1 1 1 P2 ? ( )2 ( 2 ? ( 1 ) ( 3 ? ) ) . ………………12 分 2 2 2 2 8
20.解: (I)当 n ? 1 , a1 ? S1 ? 1, 时

当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? h2 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1, 且对n=1成成立. ?an ? 2n ? 1 . ………………4 分 2n ? 1 n , (II)由 an ? 2 bn ? 2n ? 1, 得bn ? 2n 1 3 5 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , ① 2 2 2 2 3 5 2n ? 1 2Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 , ② 2 2 2
②—①,得

Tn ? 1 ? 1 ?

1 1 1 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 ? ? ? n?2 ? n ? 3 ? . 2 2 2 2 2n
2 2

………………12 分

21.解: (I) f ?( x) ? 3ax ?12 ? 3(ax ? 4). 当 a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(??, ??) 单调递减; …………3 分 当 a ? 0时,当x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?
+

2 ) a

?
0

2 a

(?


2 2 , ) a a
0

2 a
极小值

(
+

2 , ??) a

极大值

此时, f ( x)在(??, ? 在 (?

2 2 ), ( , ??) 单调递增, 6 a

2 2 , ) 单调递减; ………………6 分 a a (II)由 f ?(1) ? 3a ? 12 ? ?6, 得a ? 2. ………………8 分
由(I)知, f ( x)在(?1, 2)单调递减,在( 2,3)单调递增。 因 f (?1) ? 10, f ( 2) ? ?8 2, f (3) ? 18 , ………………10 分 故 f ( x ) 在[—1,3]上的最大值为 18,最小值为 ?8 2. ………………12 分

22.解: (I)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x, y ), 则x1 ?
2

y12 y2 2 ? 1, x2 ? 2 ? 1, 2 2

且 kOA ? kOB ?

y1 y2 ? ? ?2,即2 x1 x2 ? y1 y2 ? 0, ………………2 分 x1 x2 ???? ??? ??? ? ? OC ? OA ? OB, 即( x, y ) ? ( x1 , y 1) ? ( x ,2 y ), 2

于是x ? x1 ? x 2, y ? y 1 y , 1 ? ( y1 ? y2 ) 2 2 2 2 y y y2 y2 2 2 ? x12 ? 1 ? x2 ? 2 ? x12 ? 1 ? x2 ? 2 ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? 2, 2 2 2 2 2 2 ???? x y ? 1 上。 ………………5 分 于是, AC在椭圆 ? 2 4 2 (II)设直线 OA 的斜率为 k,则直线 OB 的斜率为 ? , k 2 ? 2 y ? 1, 2 k2 ?x ? 2 点 A 坐标方程组 ? 的解, 得x12 ? 2 ,同理x2 ? 2 , 2 k ?2 k ?2 ? y ? kx ? ? x 2 ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ?

?| x1 ? x2 |?

2|k| . k2 ? 2

………………8 分

2 k2 ? 4 | OA |? 1 ? k 2 | x1 |,| OB |? 1 ? ( ? ) 2 | x2 |? | x2 |, k |k| 2 k ? (? ) 2 k2 ? 2 k |? k ? 2 ? sin ?AOB ? tan ?AOB ?| , 2 |k| (k 2 ? 1)(k 2 ? 4) 1 ? k ? (? ) k


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