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第3章 第5节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》名师首选练习题 新人教A版


第三章
一、选择题 1.已知 cos 2θ = 13 A. 18 7 C. 9

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2 ,则 sin4θ +cos4θ 的值为( 3 11 B. 18 D.-1

)

π 1 2.若 α ∈(0, ),且 sin2α +cos 2α = ,则 tan α 的值等于( 2 4 A. 2 2 B. 3 3

)

C. 2

D. 3 )

π 3.已知 α +β = ,则(1+tan α )(1+tan β )的值是( 4 A.-1 C.2 B.1 D.4

π sin? α - ? 4 4.若 =- 2,则 sin α +cos α 的值 为( cos 2α A.- 1 C. 2 7 2 1 B.- 2 D. 7 2 )

)

1 1 5.已知 tan α = ,tan(α -β )= ,则 tan β =( 4 3 A. 7 11 11 B.- 7 D. 1 13 )

1 C.- 13

sin? -250°? cos 70° 6. 的值为( cos2155°-sin225° A.- 3 2 1 B.- 2 D. 3 2

1 C. 2 二、填空题

1 π cos 2α 7.已知 sin α = +cos α ,且 α ∈(0, ),则 2 2 π sin? α - ? 4 π tan x 8.已知 tan(x+ )=2,则 的值为________. 4 tan2x

的值为____.

1

9.已知角 α ,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α ,β ∈(0,π ),角 β 5 3 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α +β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos 13 5 α =________. 三、解答题 π 10.已知- <x<0,sin 2 1 x+cos x= . 5

(1)求 sin x-cos x 的值; x x x x 3sin2 -2sin cos +cos2 2 2 2 2 (2)求 的值. 1 tan x+ tan x

1 5 11.已知 tan α =- ,cos β = ,α ,β ∈(0,π ). 3 5 (1)求 tan(α +β )的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α )+cos(x+β )的最大值.

1 π 12. 已知函数 f(x)=2sin( x- ),x∈R. 3 6 5π (1)求 f( )的值; 4 π π 10 6 (2)设 α ,β ∈[0, ],f(3α + )= ,f(3β +2π )= , 2 2 13 5 求 cos(α +β )的值.

详解答案:

2

1.解析:∵cos 2θ =

2 7 ,∴sin22θ = . 3 9

1 11 ∴sin4θ +cos4θ =1-2sin2θ cos2θ =1- (sin 2θ )2= . 2 18 答案:B 2.解析:因为 sin2α +cos 2α =sin2α +1-2sin2α =1-sin2α =cos2α ,∴cos2α = 1 ,sin2α = 4 3 1-cos2α = , 4 π 1 3 sin α ∵α ∈(0, ),∴cos α = ,sin α = ,t an α = = 3. 2 2 2 cos α 答案:D π tan α +tan β 3.解析:∵α + β = ,tan(α +β )= =1, 4 1-tan α tan β ∴tan α +tan β =1-tan α tan β . ∴(1+t an α )(1+tan β )=1+tan α +tan β +tan α tan β =1+1-tan α tan β +ta n α tan β =2. 答案:C 4.解析:∵ 2 (sin α -cos α )=- 2(cos2α -sin2α ) 2

1 ∴sin α +cos α = . 2 答案:C 5.解析:tan β =tan[α -(α -β )] 1 1 - 4 3 tan α -tan? α -β ? 1 = = =- . 1+tan α tan? α -β ? 1 13 1+ 12 答案:C 6.解析: sin? -sin? 270°-20°? cos? 90°-20°? cos225°-sin225° = cos 20°sin 20° sin 40° = = cos 50° 2cos 50°

90°-50°? 1 = . 2cos 50° 2

答案:C 1 7.解析:依题意得 sin α -cos α = ,又(sin α +cos α )2+(sin α -cos α )2=2, 2 1 7 π 即(sin α +cos α )2+( )2= 2,故(sin α +cos α )2= ;又 α ∈(0, ),因此有 sin 2 4 2 α +cos α = 7 cos 2α ,所以 2 π sin? α - ? 4 = cos2α -sin2α 2 ? sin α -cos α ? 2 =- 2(sin α +cos α )

=-

14 . 2

3

答案:-

14 2

1 2 2× 3 3 3 π 1 tan x 4 8.解析:因为 tan(x+ )=2,所以 tan x= ,tan2x= = = ,即 = . 4 3 1 8 4 tan 2x 9 1- 9 9 4 答案: 9 5 3 9.解析:由题意知,cos β =- ,sin(α +β )= ,又∵α ,β ∈(0,π ),∴sin β = 13 5 12 , 13 4 cos(α +β )=- . 5 ∴cos α =cos[(α +β )-β ] =cos(α +β )cos β +sin(α +β )sin β 4 5 12 3 =- ×(- )+ × 5 13 13 5 20 36 = + 65 65 56 = . 65 56 答案: 65 1 1 10.解:(1)由 sin x+cos x= 两边平方得 1+2sin xcos x= , 5 25 24 所以 2sin xcos x=- . 25 49 ∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x= . 25 π 又∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 ∴sin x-cos x<0. 7 故 sin x-cos x= - . 5 x x x x 3sin2 -2sin cos +cos2 2 2 2 2 (2) = 1 tan x+ tan x x 2sin2 -sin x+1 2 =cos x(2-cos x-sin x) sin x cos x + cos x sin x

4

12 1 108 =(- )×(2- )=- . 25 5 125 11.解:(1)由 cos β = 5 2 5 ,β ∈(0,π ),得 sin β = ,即 tan β =2. 5 5

1 - +2 3 tan α +tan β ∴tan(α +β )= = =1. 1-tan α tan β 2 1+ 3 1 (2)∵tan α =- ,α ∈(0,π ), 3 ∴sin α = 1 3 ,cos α =- . 10 10

3 5 5 5 2 5 ∴f(x)=- sin x- cos x+ cos x- s in x 5 5 5 5 =- 5sin x. ∴f(x)的最大值为 5. 5π 1 5 π π 12.解:(1)f( )=2sin( × π - )=2sin = 2. 4 3 4 6 4 10 π (2)∵ =f(3α + ) 13 2

?1 =2sin? ×? ?3

π 3α + ? 2

π - ?=2sin α , 6? ?

6 1 π =f(3β +2π )=2sin[ ×(3β +2π )- ] 5 3 6 π =2sin(β + )=2cos β , 2 5 3 π ∴sin α = ,cos β = ,又∵α ,β ∈[0, ], 13 5 2 ∴cos α = 1-sin2α = sin β = 1-cos2β = 1-? 1-? 3 ? 5 5 12 ? 2= , 13 13 4 2= , 5

3 12 5 4 16 故 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = × - × = . 5 13 13 5 65

5


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