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2018届陕西西安中学单元测试示范卷


2018 届陕西西安中学单元测试示范卷· 高三· 数学卷(二十一) 第二十一单元 高中数学综合测试 (120 分钟 150 分)

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数 z= 在的象限是

(其中 i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内所对应点所

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:z= = = = - ,所以在复平面内复数 z 对应的

点为( ,- )在第四象限. 答案:D 2.已知集合 M={x|x2-2x-3>0},N={x|ax2+x+b≥0,a≠0},若 a+b= A.0 B.1 C.2 D.3
RM=N,则

解析:因为

2 RM={x|x -2x-3≤0}=

,所以 N=

,则-1 和 3

2 是方程 ax +x+b=0 的两根,则可得

,解得 a=- ,b= ,所以

a+b=1. 答案:B 3.设 a=cos ,b=30.3,c=log53,则 A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a

0.3 解析:a=cos <cos = ,b=3 >1;1=log55>c=log53>log5 = ,

所以 <c<1,所以 b>c>a. 答案:C 4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.108 B.180 C.198 D.216

解析:根据条件可得几何体如图所示,该几何体是一个棱长为 6
3 的正方体截去一个三棱锥所得,所以该几何体的体积 V=6 -

×6× ×3×6=198. 答案:C 5.连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面点数分别为 1,2,3,4,5,6), 记所得朝上的面的点数分别为 x,y,过坐标原点和点 P(x,y)的直线的 斜率为 k,则 k> 的概率为 A. B. C. D.

解析:基本事件总数为 36,符合斜率大于 的有 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6)共 9 种,所以概率为 . 答案:C 6.如图,该程序框图运行后输出的结果为

A.4024 B.4026

C.4028

D.4020

解析:根据框图可知该算法是计算 S=2n,其中 n 是循环次数,由 框图可知该循环结构循环了 2014-2=2012 次,所以 S=2×2012=4024.

答案:A 7.已知直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件 的取值范围是 A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞,1] ,则实数 m

解析:由题意可得 y=2x 与 x+y-3=0 的交点为(1,2),是直线 y=2x 与约束条件 答案:D 8.函数 y=2|x|-x2(x∈R)的图象大致为 交点中的最右点,所以根据题意可得 m≤1.

|x| 2 解析:可证得函数 y=2 -x (x∈R)为偶函数,所以 B,D 不对,当

x→∞时,2|x|-x2>0,所以 C 不对. 答案:A 9.已知命题:

①若 a≤b,则 ac2≤bc2; ②若 x,y∈R,则 x2≠y2? x≠y 或 x≠-y; ③已知 a,b,c∈R,若关于 x 的不等式 ax2+bx+c≤0 的解集是空集,则
必有 a>0,且 Δ≤0. 其中正确的命题是

A.①

B.①②

C.①③

D.②③

2 2 x≠y 且 x≠-y,因此②是错误的;③a 可能 解析:①是正确的;x ≠y ?

为零,因此③是错误的. 答案:A 10.已知向量 a=(sin α,cos 2α),b=(1-2sin α,-1),α∈( , ),若 a· b=- ,则 tan(α+ π)的值为 A. B. C.D.-

b=- 可得 sin α(1-2sin α)-cos 2α=- ,化简可得 sin α=解析:由 a· ,因为 α∈( , ),所以 cos α=- ,则 tan α= ,所以

tan(α+ π)=

=- .

答案:C 11.已知 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心为 M(x0,y0),记函数 f(x)
3 2 的导数为 f'(x),f'(x)的导数为 f″(x),则有 f″(x0)=0.若函数 f(x)=x -3x ,

则可求得 f( A.-4027

)+f(

)+…+f(

)+f(

)等于 D.8054

B.4027

C.-8054

2 解析:根据题意可得 f'(x)=3x -6x,f″(x)=6x-6,令 f″(x)=6x-6=0,可 3 2 得 x=1,所以 f(x)=x -3x 的对称中心为(1,-2),所以 f(x)+f(2-x)=-4,则

利用倒序相加可得 f( )+f( 答案:C 12.设 F1,F2 分别为双曲线 C 的左右焦点,直线 l 过 F2 且与 C 的右支 交于 A,B 两点,若△ F1AB 为直角三角形,且|F1A|,|AB|,|F1B|成等差数 列,则双曲线 C 的离心率为 A. B. C. D. )+…+f( )+f( )= =-8054.

解析:根据双曲线的定义可得:|F1A|-|AF2|=2a,|F1B|-|BF2|=2a, 则|F1A|+|F1B|-|BF2|-|AF2|=4a,即|F1A|+|F1B|-|AB|=4a,因为 |F1A|,|AB|,|F1B|成等差数列,所以|F1A|+|F1B|=2|AB|,代入解得 |AB|=4a,设|F1A|<|F1B|,则∠F1AB=90° ,则|F1A|2+|AB|2=|F1B|2,因为 |F1B|=8a-|F1A|,代入解得|F1A|=3a,则|AF2|=a,因为 |F1A|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以 10a2=4c2,解得 = 心率为 . ,所以双曲线 C 的离

答案:B 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题 中的横线上. 13.在(4x-2-x)n 的展开式中,第 5 项为常数项,则 n= .

x n-4 -x 4 2nx-12x (-1)4 为常数项,则 nx-6x=0,解得 解析:T5= (4 ) (-2 ) = 2

n=6. 答案:6 14.根据下面一组等式 S1=1 S2=2+3=5 S3=4+5+6=15 S4=7+8+9+10=34 S5=11+12+13+14+15=65 S6=16+17+18+19+20+21=111 S7=22+23+24+25+26+27+28=175 …………………… 可得 S1+S3+S5+…+S2n-1= .

解析:由题可得 S1=1,S1+S3=16,S1+S3+S5=81,S1+S3+S5+S7=256,
4 所以可归纳出 S1+S3+S5+…+S2n-1=n .

答案:n

4

15.已知一个球与正六棱柱的各个面相切,则正六棱柱的侧面积与 底面积的比为 .

解析:如图所示,内切球的球心在正六棱柱的底面中心的连线 O1O2 的中点 O 处,设球半径为 R,则侧棱的长为 2R,过 O 作平面 ABCDEF 平行于底面,则可求得 AB= S 侧面积=6×2R× R,S 底面积=2×6× ×( R,所以正六棱柱的侧面积 R)2,则正六棱柱的侧面积

与底面积的比为 2. 答案:2 16.已知直线 l:y=2x+m 与圆(x+2)2+y2= 和抛物线 y2=2px(p>0)都 相切,则 p= .

2 2 解析:因为直线 l:y=2x+m 与圆(x+2) +y = 相切,所以可得

= ,解得 m=3 或 m=5;直线 l:y=2x+m 与抛物线 y2=2px(p>0)相切,所以方程(2x+m)2=2px 只有一个解,可得 p=4m,所 以,当 m=3 时,p=12;当 m=5 时,p=20. 答案:12 或 20 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,函数 f(x)=2cos xsin(xA)+sin A(x∈R)在 x= 处取得最大值. (1)当 x∈(0, )时,求函数 f(x)的值域; (2)若 a=7 且 sin B+sin C= ,求△ ABC 的面积.

解析:(1)f(x)=2cos x(sin xcos A-cos xsin A)+sin A =2sin xcos xcos A-2cos2xsin A+sin A =sin 2xcos A-cos 2xsin A =sin(2x-A).

∵f(x)在 x= 处取得最大值, ∴2× -A=2kπ+ ,其中 k∈Z,即 A= -2kπ,k∈Z, ∵A∈(0,π),∴A= ,又∵x∈(0, ),∴2x-A∈(- , ), ∴- <sin(2x-A)≤1,即 f(x)的值域为(- ,1].
(2)由正弦定理 即 = = = 6分 sin A,

得 sin B+sin C=

× ,∴b+c=13,

2 2 2 2 2 由余弦定理 a =b +c -2bccos A 得 a =(b+c) -2bc-2bccos A,即

49=169-3bc,∴bc=40,

∴S△ ABC= bcsin A= ×40× =10 .
18.(本小题满分 12 分) 设数列

10 分

n * 的前 n 项和为 Sn,已知 a1=m,an+1=2Sn+4 (n∈N ).

(1)设 bn=Sn-4n,求数列

的通项公式;

(2)若 an+1≥an(n∈N*),求 m 的取值范围.
n n n 解析:(1)因为 an+1=2Sn+4 ,所以 Sn+1-Sn=2Sn+4 ,即 Sn+1=3Sn+4 ,

故 Sn+1-4

n+1

=3(Sn-4n),因为 bn=Sn-4n,所以 bn+1=3bn,故数列

是等比

数列,且 b1=S1-4=m-4,所以数列 5分

n-1 的通项公式为 bn=(m-4)3 .

(2)由(1)知:Sn=bn+4n,所以 Sn=(m-4)3n-1+4n.
n n-1 n 所以 an+1=2Sn+4 =2(m-4)3 +3×4 . n-2 n-1 故当 n≥2 时,an=2(m-4)3 +3×4 .因为 an+1≥an, n-1 n n-2 n-1 n-2 n-1 所以 2(m-4)3 +3×4 ≥2(m-4)3 +3×4 ,即 4(m-4)3 ≥-9×4 ,

即 m-4≥

=- · ( )n,因为 n≥2,所以-( )n≤- ,从而 m≥-5,

又当 n=1 时,a2≥a1,所以 2a1+4≥a1,即 2m+4≥m,所以 m≥-4.综上所述 m≥-4. 12 分 19.(本小题满分 12 分) 社科院发布了 2013 年度“全国城市居民幸福排行榜”,北京市成为 本年度最“幸福城”.随后,某师大附中学生会组织部分同学,用“10 分 制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的 一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”,求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区 (人数很多)任选 3 人,记 X 表示抽到“极幸福”的人数,求 X 的分布列 及数学期望. 解析:(1)众数:8.6;中位数:8.75. 3 分 (2)设 Ai 表示所选 3 人中有 i 个人是“极幸福”,至多有 1 人是 “极幸福”记为事件 A,则 P(A)=P(A0)+P(A1)= (3)X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X=0)=( )3= ;P(X=1)= )=( )3= . X 的分布列为: X P 0 1 2 3 ( )2= ;P(X=2)= ( )2 = ;P(X=3 + = . 6分

所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =0.75. 12 分 另解:X 的可能取值为 0,1,2,3.
k 3-k 则 X~B(3, ),P(X=k)= ( ) ( ) ,

所以 E(X)=3× =0.75. 20.(本小题满分 12 分)

12 分

如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各侧棱垂直于底 面,AC=4,BC=3,AA1=4,AC⊥BC,点 D 在线段 AB 上. (1)若 D 是 AB 的中点,证明 AC1∥平面 B1CD; (2)当 = 时,求二面角 B-CD-B1 的余弦值.

解析:(1)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz, 则 B(3,0,0),A(0,4,0),B1(3,0,4),C1 (0,0,4).因为 D 是 AB 的中点, 所以 D( ,2,0), =(0,-4,4), =(-3,0,-4), =( ,2,0).

设平面 B1 CD 的法向量为 m=(x,y,z), 由 · m=(-3,0,-4)· (x,y,z)=-3x-4z=0,

m=( ,2,0)· (x,y,z)= x+2y=0, 且 · 令 x=4 得 m=(4,-3,-3), 所以 · m=(0,-4,4)· (4,-3,-3)=0,

又 AC1? 平面 B1CD,所以 AC1∥平面 B1CD. 6 分 (2)设 D(a,b,0)(a>0,b>0), 因为点 D 在线段 AB 上,且 所以 a=2,b= , =(2, ,0), = ,即 = =(-3,0,-4). .

平面 BCD 的法向量为 n1=(0,0,1), 设平面 B1CD 的法向量为 n2=(x,y,1), 由 · n2=0, · n2=0,得 ,

所以 x=- ,y=2,n2=(- ,2,1), 设二面角 B-CD-B1 的大小为 θ, 所以 cos θ= = . . 12 分

所以二面角 B-CD-B1 的余弦值为 21.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点 M( ,1),离心率为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,点 P(4,3),记直 k2 最大时,求直线 l 的方程. 线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,当 k1· 解析:(1)由已知可得 = = ,所以 a2=2b2, ①

又点 M( ,1)在椭圆 C 上,所以 + =1, ②
2 2 由①②解之,得 a =4,b =2,

故椭圆 C 的方程为 + =1.

4分 × = .

(2)①当直线 l 的斜率为 0 时,则 k1· k2=

②当直线 l 的斜率不为 0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程
为 x=my+1.
2 2 将 x=my+1 代入 + =1,整理得(m +2)y +2my-3=0,则

y1+y2=

,y1y2=

,

又 x1=my1+1,x2=my2+1, 所以 k1 · k2= · = =

=

=

= +

.

k2= + 令 t=4m+1,则 k1· k2= ; 当 t=0,即 m=- 时,k1·

,

k2= + 当 t≠0 时,k1· ≤k1· k2< 或 <k1· k2≤1,

= +

,

k2 取得最大值. 当且仅当 t=5,即 m=1 时, k1· 由①②③得,直线 l 的方程为 x-y-1=0. 12 分 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 g(x)= +ln x,f(x)=mx-ln x(m∈R).

(1)若函数 y=f(x)-g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; (2)设 h(x)= ,若在[1,e]上至少存在一个 x0,使得 f(x0)-g(x0)>h(x0)成 立,求 m 的取值范围. 解析:(1)f(x)-g(x)=mx- -2ln x,(f(x)-g(x))'= ,由于 f(x)-

g(x)在[1,+∞)内为单调函数,则 mx2-2x+m≥0 或者 mx2-2x+m≤0 在 [1,+∞)上恒成立,即 m≥ 故 m≥1 或者 m≤0, 综上,m 的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞). 6 分 (2)构造函数 F(x)=f(x)-g(x)-h(x),F(x)=mx- -2ln x- , 当 m≤0 时,由 x∈[1,e]得,mx- ≤0,-2ln x- <0,所以在[1,e]上不 存在一个 x0,使得 f(x0)-g(x0)>h(x0); 或者 m≤ 在[1,+∞)上恒成立,

当 m>0 时,F'(x)=m+ - + =

,因为 x∈[1,e],所

2 以 2e-2x≥0,mx +m>0,所以 F'(x)>0 在[1,+∞)上恒成立,故 F(x)在[1,e]

上单调递增,F(x)max=me- -4,只要 me- -4>0,解得 m> 故 m 的取值范围是( ,+∞). 12 分

,


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