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空间中向量的概念和运算学习教材PPT课件


3.1 空间中向量的概念和运算 学习目标 课前自主学案 3.1 课堂互动讲练 知能优化训练 学习目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示 方法和字母表示方法. 2.掌握空间向量的线性运算,数量积. 3.能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问 题. 课前自主学案 温故夯基 1.平面上有______ 大小 和______ 方向 的量叫作向量,方向 相等的向量称为相等向量. 相同且模_____ 2.向量可以进行加减和数乘运算,向量加法满足 _______ 交换 律和______ 结合 律. 知新益能 1.空间向量 (1)空间向量的定义 大小 和______ 方向 的量叫作空间向 在空间,把具有______ 量,向量的_______ 大小 叫作向量的长度或模. (2)空间向量及其模的表示方法 长度 空间向量用有向线段表示,有向线段的______ 表示向量的模. 如图, a 的起点是 A, 终点是 B, → → AB ,其模记作|AB|或 |a|. 则 a 也可记作_____ 2.空间向量的加减法 → → 从任意一点 O 出发作OA= a,OB=b.并且从 A → → OC , 出发作AC= b(如图所示), 则 a+b=____ a- b → BA = ______. 思考感悟 1.空间两向量的加减法与平面内两向量的加减 法完全一样吗? 提示:一样.因为空间中任意两个向量均可平 移到同一个平面内,所以空间向量与平面向量 加减法均可以用三角形或平行四边形法则,是 一样的. 3.空间向量加法的运算律 b+ a (1)交换律:a+b=_______. (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 4.空间向量的数乘运算 λa 仍然是 (1)定义:实数 λ与空间向量 a的乘积______ 向量 ,称为向量的数乘运算. 一个________ (2)向量a与λa的关系 λ的范 围 λ>0 λ=0 λ<0 方向关系 模的关系 方向相同 λa的模是 λa=0,其方向是任意 a的模的 的 |λ|倍 方向相反 (3)空间向量的数乘运算律 设 λ、 μ 是实数,则有①分配律: λ(a+b)= λa+λb _____________. ②结合律:λ(μ a)= (λμ)a. 5.空间向量的数量积 → → (1)定义:从空间任意一点 O 出发作OA=a, OB = b,则 θ=_________ ∠AOB 就是 a, b 所成的角,a, b 的数量积 a· b=|a||b|cosθ. (2)数量积的运算律: 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 (λa)· b=λ(a· b) a· b=b· a a· (b+c)=a· b+ a· c 思考感悟 2.(1)两个向量a、b垂直的充要条件是a· b= 0,对吗? (2)若a· b=0,则a=0或b=0,对吗? 提示:(1)不对;(2)不对. 课堂互动讲练 考点突破 空间向量的加减运算 (1)计算两个空间向量的和或差时,与平面向量 完全相同.运算中掌握好三角形法则和平行四 边形法则是关键. (2)计算三个或多个空间向量的和或差时,要注 意以下几点: ①三角形法则和平行四边形法则; ②正确使用运算律; ③有限个向量顺次首尾相连,则从第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有 限个向量的和向量. 如图,已知长方体 ABCDA′ B′ C′D′, 化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向 量. → →

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