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3.2一元二次不等式及其解法


上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分, 因特网服务公司(ISP)的任务就是负责将用户的计算机接入 因特网,同时收取一定的费用。

某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家ISP公司 可供选择。公司A 每小时收费1.5 元;公司B 的收费原则如图 所示,即在用户上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费 1.6元,以后每小时减少0.1 元(若用

户一次上网时间超过17小 时,按17小时计算).

一般来说,一次上网时间不会超过17个小时,所以,不 妨假设一次上网时间总小于17小时,那么,一次上网在多长 时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少?

假设一次上网x小时,则公司A收取的费用为1.5x(元)

x (35 ? x ) (元). 公司B收取的费用为 20
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则

x(35 ? x) ? 1.5 x(0 ? x ? 17 ), 20
整理得 x 2 ? 5x ? 0. ①

这是一个关于x的一元二次不等式.只要求得满足不等式 ①的解集,就得到了问题的答案. 怎样求不等式①的解集呢?

2 画出二次函数 y ? x ? 5x 的图象

当x<0或x>5时,函数图象位于 x轴上方, 此时y>0,即x2-5x>0; 当0<x<5时,函数图象位于x轴下方, 此时y<0,即x2-5x<0; 所以一元二次不等式x2-5x>0的解集是 { x | 0<x<5 }.

所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用 少;超过5小时,选择公司B的费用少.

一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的相互关系及 其解法:

? ? b 2 ? 4ac
二次函数

??0
y

??0
y
x

y
x1 = x2 x

??0
0
无实根

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一元二次方程

x1

0

x2

0

x

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

? b ? b 2 ? 4ac x1 ? 2a x2 ? ? b ? b ? 4ac 2a
2

有两个相等实根

b x1 ? x 2 ? ? 2a
b ? ? ?x | x ? ? ? 2a ? ?

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

?x | x ? x1或x ? x2?

x?R
?

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

?x | x1 ? x ? x2 ?

?

用程序框图表 示求一元二次方程 的过程:

例1 求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.
2 解: 原不等式可变形为(2 x ? 1 ) ? 0,

1 所以原不等式的解集为 { x | x ? }. 2

例2 求不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集. 解: 不等式可变形为
x 2 ? 2 x ? 3 ? 0.

因为 ⊿= -8 <0, 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 无实数根. 而 y ? x2 ? 2x ? 3 的图像开口向上,

所以原不等式的解集为 ?.

例3

不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成 立,则a的取值范围.

证明: (1)当a – 2 = 0时,即a=2,原不等式为 -4<0。 显然,对一切 x ? R 都成立. (2)当a - 2≠0时,此不等式对一切x都成立,则 ?a ? 2 ? 0 ? 2 ? ? ? ? 4 a ? 2 ? 16?a ? 2 ? ? 0 ? 解得-2<a<2. 由(1)(2)知,当 a ? ?? 2, 2? 时不等式对一切 x ? R 恒成立.

[点评]

(1)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实数(或恒成

立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0; 当
?a>0 a≠0 时,? ?Δ<0

.

(2)不等式 ax2+bx+c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的条 件是当 a=0 时,b=0,c<0; 当
?a<0 a≠0 时,? ?Δ<0

.类似地,还有 f(x)≤a 恒成立?

[f(x)]max≤a;f(x)≥a 恒成立?[f(x)]min≥a.

1.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0. 解:(1)当a=0时,原不等式可化为-x+2<0,解 集为{x|x>2}. (2)当a>0时,原不等式化为(ax-1)(x-2)<0,
? 1? 即?x- ?(x- 2)<0. a? ?

1 1 1 若 <2,即 a> 时,解得 <x<2; a 2 a

1 1 若 =2,即 a= 时,解集为?; a 2 1 1 1 若 >2,即 0<a< 时,解集为 2<x< . a 2 a (3)当
? 1? a<0 时,原不等式可化为?x- ?(x-2)>0. a? ?

? ? 1 1 ∵ <2,∴不等式解集为?x|x< 或x>2?. a a ? ?

综上所述,不等式的解集为: a= 0 时,{x|x>2};
? 1 1? 0<a< 时,?x|2<x < ?; 2 a? ?

1 a= 时,x∈?; 2
? 1 ? 1 a> 时,?x| <x<2 ?; 2 ? a ?

a<0

? ? 1 时,?x|x< 或 x>2?. a ? ?

【 例 3 】 已 知 x2 + px + q<0 的 解 集 为
? 1 1? ?x- <x< ?,求解不等式 2 3? ?
2

qx2+px+1>0
? 1 1? 的解集为?x- <x< ?, 2 3? ?

解:因为 x +px+q<0

1 1 所以 x1=- 与 x2= 是方程 x2+px+q=0 的两 2 3 个实数根.

?1 1 ?3-2=- p, 由根与系数的关系得? ? ? ?1×?-1 ?= q, ?3 ? 2 ? 1 ? ?p=6, 解得? ?q=-1. ? 6

1 2 1 所以不等式 qx + px+ 1>0 即为- x + x+1>0, 6 6
2

即 x2- x- 6<0, 解得- 2<x<3. 所以不等式 qx2+ px+ 1>0 的解集为{x|- 2<x<3}.

方法点评:一元二次不等式ax2+bx+c>0,ax2 +bx+c<0的解集的端点就是对应的一元二次方程的 解.

[例 4]

解不等式

2x+ 1 2x+ 1 > . x-3 3x- 2

[解]

2x+1 2x+1 ?2x+1?2 移项得 - >0, 通分整理得 >0, x-3 3x-2 ?x-3??3x-2?

?x≠-1, ? ? 2 ?2x+1≠0, ? ∴ ?? ? ? x - 3 ?? 3 x - 2 ? >0 ? ?x>3或x<2, 3 ?
1 1 2 ∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(-2,3)∪(3,+∞).

? [例5] 若方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1) 和(1,3)内各有一个实根,则实数k的取值范围 如何?

[解] ∵函数 f(x)=kx2-(2k+1)x-3 的图象是连续曲线, 由题意可知 f(-1)f(1)<0 且 f(1)f(3)<0,
? ??3k-2??-k-4?<0, 即? ? ??-k-4??3k-6?<0,

2 ? ?k> 或k<-4, 即? 3 ? ?k>2或k<-4, 解得 k<-4 或 k>2. 故所求的实数 k 的取值范围是 k<-4 或 k>2.

? 变式: m为何值时,关于x的方程(m+1)x2 +2(2m+1)x+(1-3m)=0有两个异号的实 根.
解:若有两个异号实根,则此问题等价于
? ?m+1≠0, ? ? x2<0, ?x1·

m+1≠0, ? ? ? ?m≠-1, 即?1-3m ?? 1 <0 m<-1,或m>3, ? ? ? m + 1 ?

1 ∴m<-1 或 m>3.


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