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第1部分 专题一 第二讲 函数的图像与性质选择、填空题型


第二讲

函数的图像与性质?选择、填空题型?

考点 函数定义域 函数值或值域 函数图像

函数性质
函数图像与性质的 综合应用

lg?x+1? 1.(2013· 广东高考)函数y= 的定义域是( x-1 A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) B.[-1,+∞)

>
)

D.[-1,1)∪(1,+∞)

? ?x+1>0, 解析:由题意得? ? ?x-1≠0,

? ?x>-1, ∴? ? ?x≠1.

答案:C

2.(2013· 湖北高考)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数, 则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为 A.奇函数 C.增函数 B.偶函数 D.周期函数 ( )

解析:当 x∈[0,1)时,画出函数图像(图略),再左右扩展 知 f(x)为周期函数.

答案:D

3.(2013· 湖南高考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( A. 4 B. 3 C.2 D. 1 )

解析:由已知可得,-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,两式 相加解得,g(1)=3.

答案:B

x3 4.(2013· 四川高考)函数y= x 的图像大致是 3 -1

(

)

解析:因为函数的定义域是非零实数集,所以A错;当x<0 时,y>0,所以B错;当x→+∞时,y→0,所以D错,故选C.

答案:C

5.(2013· 辽宁高考)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2 +2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)= min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q} 表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大 值为B,则A-B= A.16 C.a2-2a-16 B.-16 D.a2+2a-16 ( )

解析:函数f(x)的图像是开口向上的抛物线,g(x)的图像是开口 向下的抛物线,两个函数图像相交,则A是两个函数图像交点中 较低的点的纵坐标,B是两个函数图像交点中较高的点的纵坐 标.令x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,解得x=a+2 或x=a-2.当x=a+2时,因为函数f(x)的对称轴为x=a+2,故 可判断A=f(a+2)=-4a-4,B=f(a-2)=-4a+12,所以A- B=-16.

答案:B

1.函数的三个性质 (1)单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1,x2,且x1<x2,都有f(x1)<f(x2)成立,则f(x)在D上是增函数 (都有f(x1)>f(x2)成立,则f(x)在D上是减函数). (2)奇偶性 对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x) =-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立,则f(x) 为偶函数).

(3)周期性 周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件: ①当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x); ②T是不为零的最小正数. 2.抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是 它的一个周期. ②设f(x)是R上的偶函数,且图像关于直线x=a(a≠0)对称, 则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.

③设f(x)是R上的奇函数,且图像关于直线x=a(a≠0)对 称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期. (2)函数图像的对称性 ①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x), 则f(x)的图像关于直线x=a对称. ②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a- x),则f(x)的图像关于点(a,0)对称. ③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直 a+b 线x= 2 对称.

函数及其表示
[例1] (1)(2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地

中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位:m)的取值范围是 ( )

A.[15,20] C.[10,30]

B.[12,25] D.[20,30]

(2)设函数 f(x)的值域是

? ?g?x?+x+4,x<g?x?, 2 g(x)=x -2(x∈R), f(x)=? ? ?g?x?-x,x≥g?x?,



( B.[0,+∞)

)

? 9 ? A.?-4,0?∪(1,+∞) ? ? ? 9 ? C.?-4,+∞? ? ?

? 9 ? D.?-4,0?∪(2,+∞) ? ?

[自主解答]

(1)如图,过 A 作 AH⊥BC

DE x AD AF 于 H,交 DE 于 F,易知 BC=40= AB=AH= AF 40 ,则有 AF=x,FH=40-x,由题意知阴 影部分的面积 S = x(40 - x)≥300 ,解得 10≤x≤30 ,即 x ∈ [10,30].

(2)令 x<g(x), 即 x2-x-2>0, 解得 x<-1 或 x>2.令 x≥g(x), 即 x2 - x - 2≤0 , 解 得 - 1≤x≤2. 故 函 数 f(x) =
2 ? ?x +x+2?x<-1或x>2?, ? 2 ? ?x -x-2?-1≤x≤2?.

当 x<-1 或 x>2 时, 函数 f(x)>2; 当

-1≤x≤2 时,函数

?1? 9 ? ? f 2 ≤f(x)≤f(-1),即-4≤f(x)≤0.故函数 ? ?

? 9 ? f(x)的值域是?-4,0?∪(2,+∞). ? ?

[答案]

(1)C

(2)D

在本例(1)中,要使矩形花园的面积最大,则边长 x 为何值?
解: 由例题可知 S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400, 故当 x=20 m 时,花园的面积最大,且最大面积为 400 m2.

——————————规律· 总结————————————

函数值和值域的求法 (1)求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系 代入求解即可,在分段函数中要根据自变量所在的区间选取 函数解析式; (2)求解函数值域的方法有:公式法、图像法、换元法、 数形结合法、有界性法等,要根据问题具体分析,确定求解 的方法.
————————————————————————

2?x+1?0 1.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 1-x
? 1 ? A.?-3,+∞? ? ? ? 1 1? C.?-3,3? ? ? ? 1 ? B.?-3,1? ? ? ? 1? D.?-∞,-3? ? ?x+1≠0, ?

(

)

? 解析:由题意知?1-x>0, ?3x+1>0, ?

1 解得-3<x<1.

答案:B

2.定义新运算“⊕”:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b= b2.设函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2],则函数f(x)的 值域为________.
? ?x-2,x∈[-2,1], 解析:由题意知f(x)=? 3 ? ?x -2,x∈?1,2],

当x∈[-2,1]时,

f(x)∈[-4,-1];当x∈(1,2]时,f(x)∈(-1,6].故当x∈[-2,2] 时,f(x)∈[-4,6].

答案:[-4,6]

函数的图像及其应用
[例2] ln x (1)(2013· 青岛模拟)函数y= x 的图像大致是 ( )

A

B

C

D

(2)(2013· 江西高考)如图,已知l1⊥l2,圆心 在l1上、半径为1 m的圆O在t=0时与l2相切于点 A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被 直线l2所截上方圆弧长记为x.令y=cos x,则y与 时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大 致为 ( )

A

B

C

D

[自主解答]

ln x (1)当 0<x<1 时, 因为 ln x<0, 所以 y= x <0,

ln x 排除 B,C;当 x>1 时,y= x >0,排除 D. (2)圆的半径为 1,设弧长 x 所对的圆心 α 角为 α,则 α=x.如图所示,cos2=1-t,即 x 2x cos2=1-t,则 y=cos x=2cos 2-1=2(1- t)2-1=2(t-1)2-1(0≤t≤1),其图像为开口向上,在[0,1]上的 一段抛物线.

[答案]

(1)A

(2)B

——————————规律· 总结————————————

作图、识图、用图的技巧 (1)作图:常用描点法和图像变换法.图像变换法常用的有平 移变换、伸缩变换和对称变换. (2)识图:从图像与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变 化趋势、对称性等方面找准解析式与图像的对应关系. (3)用图:图像形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的 确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图像数形结合研究.
——————————————————————————

3.若函数

? ?g?x?,x>0, y= ? ? ?f?x?,x<0

是奇函数,且当 x>0

时,其对应的函数图像如图所示,则 f(x)= ( A.-2x-3 C.2x-3 B.-2x+3 D.2x+3 )

?3 ? 解析:显然点?2,0?在 ? ? ? 3 ? ?- ,0?在 ? 2 ?

y 轴右侧的函数图像上,所以点

y 轴左侧的函数图像上,排除 B,C;又由题

设及函数在(0,+∞)上的图像知函数在(-∞,0)上为增 函数,排除 A.

答案:D

4.设函数f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为 1 [0,1].若n-m的最小值为3,则实数a的值为 ( )

1 2 2 3 1 1 1 3 A.3或3 B.3或4 C.4或3 D.4或4 解析:如图作出f(x)=|logax|的图像,因为0<a<1时,A(a,1),
?1 ? 1 1 1 ? ? B a,1 ,此时满足条件的(n-m)min=1-a= 3 或 a -1= 3 ,解得 ? ?

2 3 a=3或a=4,经验证均符合条件.

答案:B

函数的性质及应用
[例3] (1)(2013· 东城模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+

f(x)=0,且函数f(x)为奇函数.给出下列结论: ①函数f(x)的最小正周期为4;②函数f(x)的图像关于点(0,0)对 称;③函数f(x)的图像关于x=2对称;④函数f(x)的最大值为f(2). 其中一定正确的命题序号是 A.①② C.③④ B.②③ D.①④ ( )

(2)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x -1)的图像关于点(1,0)对称,且f(4)=4,则f(2 012)= A. 0 C.-8 B.-4 D.-16 ( )

[自主解答]

(1)由f(x+2)+f(x)=0,可得f(x+4)=-f(x+2)

=f(x),∴其最小正周期是4;由函数f(x)为奇函数,可知函数f(x) 图像关于点(0,0)对称;函数的轴对称性、最值无法作出判断.

(2)由 y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称可知, 函数 f(x)的图 像关于点(0,0)对称,即函数 f(x)为奇函数.在已知等式中取 x= -3,得 f(3)+f(-3)=2f(3),f(-3)=f(3),又 f(-3)=-f(3), 因此 f(3)=0.所以 f(6+x)+f(x)=0,f(12+x)+f(6+x)=0,因 此有 f(12+x)=f(x), 即函数 f(x)是一个周期为 12 的周期函数. 由 于 2 012=12×168-4,因此 f(2 012)=f(-4)=-f(4)=-4.

[答案]

(1)A

(2)B

——————————规律· 总结————————————
1.四招破解函数的单调性 (1)对于选择、填空题,若能画出图像一般用数形结合法; (2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转 化为基本初等函数的单调性问题来解决; (3)对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用 导数法; (4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数的奇偶性应关注三点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称; (2)奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称; (3)对于偶函数而言,有f(-x)=f(x)=f(|x|).

————————————————————————

5.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是 ( A . y = x- 1 B.y=ln x2 )

cos x C. y = x D.y=-x2 解析:由函数的奇偶性排除A,C;由函数的单调性排除
B;由y=-x2的图像可知当x>0时此函数为减函数,又因为 该函数为偶函数,可知D正确. 答案:D

6.设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)· f(x+2)=13,若 f(1)=2, 则 f(2 013)= A. 0 B. 2 C.4 D.13 ( )

解析:由 f(x)· f(x+2)=13,得 f(x+2)· f(x+4)=13,即 f(x+4)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,故 f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=2.

答案:B

课题2 [典例] 致是

函数图像辨析题

(2013· 福建高考)函数f(x)=ln(x2+1)的图像大 ( )

A.

B.

C.

D.

[考题揭秘]

本题主要考查函数图像的奇偶性与根据特殊点

判断函数图像等基础知识,意在考查考生的数形结合能力和运 算求解能力. [审题过程] 解析式. 第二步:审结论.判断函数f(x)的图像. 第三步:建联系.可从函数f(x)=ln(x2+1)的定义域、奇偶 性、单调性方面分析,并结合特殊点作出选择. 第一步:审条件.已知函数f(x)=ln(x2+1)的

[规范解答]

函数f(x)=ln(x2+1)的定义域为R,故可排除

B;????????????????????????① 因为f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x),所以f(x)为偶函 数,即函数f(x)的图像关于y轴对称,故排除C;?????② 又因为函数f(x)过定点(0,0),故排除D; 综上可知,选项A正确.?????????????③

[答案]

A

[模型归纳] 由函数解析式识别函数图像的模型示意图如下:

求定 义域 研究 性质 确定 选项

根据函数解析式,确定函数的定义域,如步骤①

根据基本初等函数的性质研究函数的特征,或 者借助其他工具(如导数)研究函数的性质.一 般为函数的单调性、奇偶性等,如步骤②

根据函数的性质排除干扰项, 确定正确的选项. 在定 义域内取一些特殊的自变量, 求出函数值或者判断函 数值的符号也是常用策略,如步骤③

[变式训练] log2|x| 1.函数y= x 的大致图像是

(

)

A.

B.

C.

D.

log2|-x| log2|x| log2|x| 解析:由于 =- x ,所以函数y= x 是奇函数, -x log2x 其图像关于原点对称,排除B.当x>0时,对函数y= x 求导, 1 ln 2-log2x 得y′= ,可知函数在y轴右侧的图像先增后减,结合 x2 答案:C 选项可知选C.

2.已知f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0,a≠1),若f(4)· g(-4)<0, 则y=f(x),y=g(x)在同一坐标系内的大致图像是 ( )

A

B

C

D

解析:∵f(4)· g(-4)<0,∴a2· loga4<0,∴loga4<0,∴0<a<1.依据 对数函数、指数函数的性质可知选项 B 正确.

答案:B


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