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4.8.1三角函数图像和性质


复习引入三角函数的定义
设P(x,y)是角α终边上的任意一点, OP = r

y sinα= r x cosα= r y tanα= x

y

· P(x,y)
x

O

正弦函数.余弦函数的图象和性质

回顾旧知?
1

. 描点作图法作函数图像的步骤:

列表,
T 1 P A M 1

描点,

连线

2. sinα 、 y cosα 、tanα 的几何意义.

正弦线MP

o

x

余弦线OM 正切线AT

三角问题

几何问题

正弦函数.余弦函数的图象和性质 函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ? 图象的几何作法
y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
/ p1

1
?

-

o-1

6

-A

o
-1

?
6

?

3

-

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

y

正弦曲线
1
-

? 4?

? 2?

o
-

2?

4?

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象 形状相同

-

-

-

-

-

-1

用诱导公式来作余弦函数y=cosx,x∈R的的图像 y= cosx = cos(-x) = sin[
y

?
2

-(-x)] = sin(x+ 2 )
从图像中我们看到cosx由sinx ? 向左平移 2 个单位后得到

?

1
-

? 4?

? 2?

o
-

2?

4?

x

-

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象 形状相同

-

-

-

-

-

-1

想一想

请观察正弦曲线、余弦曲线的形状 和位置,说出它们的异同点.
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 y ? sin x, x ? R 的图象
y
1-

它们的形状相 同,且都夹在 两条平行直线 y=1与y=-1 之间。但它们 的位置不同, 正弦曲线交y 轴于原点,余 弦曲线交y轴 于点(0,1).

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1 -

2?

4?

6?

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?,……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同
y

-

-

-

x

1-

? 6?

? 4?
-

? 2?
-

o
-1 -

2?

4?

6?

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, ……与y=cosx,x∈[0,2π ]的图象相同
余弦函数 y

-

-

-

x

? cos x, x ? R的图象

y 正弦函数 .余弦函数的图象和性质

1-

图象的最高点
?
2

(? 1) 2 ,

o
-1
-

?

3? 2

2?

x

与x轴的交点
(0,0) (? ,0) (2? ,0)
( 32?, ? 1)

图象的最低点

简图作法 (五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1

图象的最高点

(0,1) (2? ,1)

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

3? 2 ,0) ( 2 ,0) 与x轴的交点( ?

图象的最低点 (? ,?1)

想一想?
正弦函数

正弦曲线、余弦曲线,它们图象有何特征?
y

y ? sin x , x ? R

的图象

? 6?

? 4?

? 2?

o

1-

2?

4?

6?

x

-

? 6?

余弦函数

-

正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
y
o x

? 4?

y ? co s x , x ? R
的图象

? 2?

-

-1-

-

-

2?
1-

4?

6?

-

-

-

-1-

-

-

讲解范例
? ? ? ? 例1 作下列函数的简图 (1)y=sinx,x∈[0,2π], (2)y=cosx,x∈[0,2π] 解:

四、课堂练习:P55 五、小结 本节课我们学习了用单位圆中的正 弦线、余弦线作正弦函数,余弦函数 的图象,用五点法作正弦函数和余弦 函数的简图,并用正弦函数和余弦函 数的图象解最简单的三角不等式. 六、课后作业:课时作业4.8.1


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