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涡阳二中高二数学圆锥曲线单元测试题(理科)


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涡阳二中高二数学圆锥曲线单元测试题(理科) (北师大版 2-1)
一 选择题(共 12 小题,每题 5 分,计 60 分) 1.双曲线 9 x2 ? 4 y 2 ? ?36 的渐近线方程是( (A) y ? ? ) (C) y ? ?

2 x 3
<

br />(B) y ? ?

3 x 2

9 x 4

(D) y ? ?

4 x 9

2.抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线方程为 ( ) A. x 2 ? 8 y B. x 2 ? ?8 y C. x 2 ? 16y D. x 2 ? ?16 y

3 “双曲线的方程为

9 x2 y 2 ? ? 1 ”是“双曲线的准线方程为 x ? ? ”的( ) 5 9 16

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 y x x2 y2 4.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)离心率为 3 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2 a b a b 5 2 A. B. 5 C. D. 5 4 3 2 4 5. .如果双曲线 距离为( ) (A)





x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到它的右焦点的距离为 8,那么点 P 到它的左准线的 64 36
32 5 32 7 ? 10 7 96 5

64 5

(B)

(C)

(D)

6. 设椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同, 离心率为 , 2 2 m n
) B.

则此椭圆的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 12 16

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48
( )

7. 顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是 4 9 4 9 A. x 2 ? ? y 或 y 2 ? x B. y 2 ? ? x 或 x 2 ? y 3 2 3 2 C. x 2 ? 4 y
3

D. y 2 ? ? 9 x
2

8.若双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为( ) 3 p
(B)3 (C)4 (D)4 2

(A)2

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9 若椭圆

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x2 y 2 ? ? 1 , AA' 为长轴,BB' 为短轴, 为靠近 A 点的焦点,若 B ' F ? AB , F a 2 b2

则此椭圆的离心率为 ( ) (A)

5 ?1 2

(B)

3 ?1 2

(C)

1 2


(D)

2 2

10.抛物线 y ? x2 上到直线 2 x ? y ? 4 的最短距离是(

(A)

3 5 5

(B)

4 5 5

(C)

13 5 20

(D)

9 5 20
A

11.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A.B,交其准线于 点 C,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为 ( ) B. y 2 ? 3x
O

y

3 x 2 9 C. y 2 ? x 2
A. y 2 ?

F B

x

D. y ? 9 x
2

C

12.设 a、 b 是非零实数,则方程 bx2 ? ay 2 ? ab 及 ax ? by ? 0 所表示的图形可能是( )

y

y

y

y

O
A

x

O

x

O
C

x

O
D

x

B

二 填空题(共 4 小题,每题 4 分,计 16 分) 13.称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆” ,则黄金椭圆的离心率为

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆的充要条件是 14.方程 9 ? k k ?1
15.以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内的点 M (1,1) 为中点的弦所在直线方程为 16 4



16.设点 P 是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 上一点,焦点 F(2,0) ,点 A(3,2) ,使|PA|+ 1 |PF|有最 3 2

小值时,则点 P 的坐标是________________________________ 三,解答题(共 6 大题,17――21 每题 12 分,22 题 14 分,共计 74 分)

x2 y 2 ? 1 有共同的渐近线,并且经过点 ( 3, ?4) 的双曲线方程. 17:(1)求与双曲线 ? 9 3

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(2) 已知双曲线与椭圆

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14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 5 9 25

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭 36 20 圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF .求点 P 的坐标;
18.点 A、B 分别是椭圆

19 已知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程.

x2 y2 ? ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的 a2 b2 4 距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c.求双曲线的离心率 e 的取值范围 5
20.双曲线

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21 已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在 x 轴上,两准线间的距离为 且与直线 y ?

9 ,并 2

1 2 ( x ? 4) 相交所得线段中点的横坐标为 ? ,求这个双曲线方程. 3 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 22. 椭 圆 C: a 2 b2
4 14 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? . 3 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ)若直线 l 过圆 x +y +4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

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金太阳新课标资源网 参考答案
1-4 BCAB 13

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5-8 DBBC 9-12 AABC

2 2

14

1 ? k ? 9(k ? 5)

15

x ? 4 y ? 5 ? 0 16

(

21 , 2) 3

17.(1)解:由题意可设所求双曲线方程为:

x2 y 2 ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 双曲线经过点 ( 3, ?4) 9 3
x2 ? ?1 15 45
2

?? ? (

3)2 (?4)2 ? ? ?5 9 3

?所求双曲线方程为: y

4 (2)解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= 5 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率为 2, 从而 c=4,a=2,b=2 3 .

y2 x2 ? ?1 所以求双曲线方程为: 4 12 .
18.解:由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2 2 19[解析]:设 M( x, y ) ,P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y 2 ) ,易求 y ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0)
由于 y ? 0, 只能 x ?
∵M 是 FQ 的中点,∴ x ?
1 ? x2 2 y2 y? 2

?

x2 ? 2x ?1 y2 ? 2 y

,又 Q 是 OP 的中点∴

x2 ?

x1 2 y y2 ? 1 2

? x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ,
y1 ? 2 y 2 ? 4 y

∵P 在抛物线

y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1

2

(20) 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1, 得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 =

b(a ? 1)

同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 = s= d1 +d2=

a2 ? b2 b(a ? 1) a2 ? b2

.

.

ab

a2 ? b2 4 2ab 4 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c 2 ? a 2 ≥2c2. 5 5 c
于是得 5 e 2 ? 1 ≥2e2.即 4e2-25e+25≤0.

=

2ab . c

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解不等式,得

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5 ≤e2≤5.由于 e>1>0, 4 5 所以 e 的取值范围是 ?e? 5 2

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 设直线 y ? ( x ? 4) 与 2 3 a b 2 2 ? x1 y1 ? a 2 ? b 2 ? 1 (1) ? 双 曲 线 相 交 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 (1)-(2) 得 : ? 2 x2 y2 2 ? ? ? 1 (2) ? a 2 b2 ? ( x1 ? x 2)( x 1? x )2 ( y ? y )(2y ? 1y ) 2 ( x ? x )b2 y ? y2 1 ? ?0即 1 2 2 ? 1 又由线段 AB 中点的横坐 a2 b2 ( y1 ? y2 )a x1 ? x2 2 1 2 14 标为 ? 可得,其纵坐标为 ( ? ? 4) ? ? 3 3 9 3 14 28 y ? y2 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? (? 2 ) ? ? 4 y1 ? y2 ? 2 ? (? ) ? ? 又 ? 1 ? 3 3 9 9 x1 ? x2 3 4 ? b2 3 ? 28 ? 1 ? b 2 ? 7 a 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 16 a 2 , c ? 4 a 又? 双曲线两准线 3 9 9 ? a2 3 9 2 a2 9 ? 2 ? a ? 9 ? 2 ? 4 ? 9 ? a ? 3 a2 ? 9 ? b2 ? 7 ? 所求双曲 间的距离为 2 c 2 a 2 3 2 2 x y ? ?1 线方程为: 9 7
21.解: 由题意可设所求双曲线方程为: 22 解法一: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF ? PF2 ? 6 ,a=3. 1 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ? 从而 b2=a -c2=4, 所以椭圆 C 的方程为
2

PF2 ? PF1
2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

x2 y2 ? =1. 9 4

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). 、 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2

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解得 k ?

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8 , 9 8 ( x ? 2) ? 1, 9

所以直线 l 的方程为 y ?

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4
由①-②得

2

2



x2 y ? 2 ? 1, ② 9 4


2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4

因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 = , 9 x1 ? x2
8 , 9 8 (x+2) , 9

即直线 l 的斜率为

所以直线 l 的方程为 y-1=

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意.)

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