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平面向量的数量积及其物理意义、几何意义


高中数学人教A版必修4

说 课 流 程

教学过程

板书设计

教材分析:
教材的地位、作用及特点 借助向量对 图形的研究 推进到了有 效能算的水 平
平面向量的数 量积是向量计 算的重要组成 部分,有着很 重要的几何物 理意义

平面向量的 数量积在

数 学、物理等 学科中应用 广泛。

学情分析: 学生在学习本节内容之前, 已熟知了实数的运算体系, 掌握了向量的概念及其线 性运算。 具备了功等物理知识,并 且初步体会了研究向量运 算的一般方法。

?知识与技能 (1)理解平面向量的数量积及其物理意义、几何意义;
(2)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; (3)能够运用定义和运算性质解决相关问题. 解决数学、物理和生活中问题。

? 过程与方法

?情感态度与价值观
培养学生自主探究与合作交流的良好学习品质.

教法
——问题引领,诱思启发
总结反思, 学以致用 教材重组, 典例引领 合作交流, 感知问题
类比联想, 探索问题 创设情境, 提出问题

学法:
——自主探索,合作交流

情景引入:
如图:一个物体在力F的作用下产生位移S,力F所做的功 W=
F

? ? F S cos?



位移S

?设计意图:由特殊到一般,启发学生类比归纳,从知识的不同领域体会 向量的存在与价值。

b

1.概 念:
向量夹角:
范围0°≤θ ≤180°

a

B b ?
图甲

O

?’ a

A
1.观察上图甲向量a与向量b的夹

角是?吗? 2.应如何正确作出向量夹角呢? 夹角范围是?

已知两个非零向量 a 和 b ,我们把数量| a || b | cos ? 叫做a与 b的数量积 ( 或内积 )( 或点积 )

? ? ? ? ? ? ? ? 记作 a ? b , 即 a ? b ? a b cos ? . 其中,? 是 a与b 的夹角

问题

数量积是数量还是向量? 影响数量积大小的因素有哪些?

问题回应,回馈课堂效果
我明白了,力对 物体做功不但和 力,位移的大小 有关,还与夹角 有关呢~~

我也知道了, 数量积的正负 与向量夹角有 关呦一

? ? ? ? ? b cos? ( a cos? )叫做向量b 在a方向上(a在 ? ? b 方向上)的投影。记做:OB1 ? b cos? .

几 何 画 板 演 示

当θ为锐角时投影为正值;
当θ为钝角时投影为负值; 当θ为直角时投影为0;

当θ=0°时投影为|b|;
当θ=180°时投影为-|b|. 设计意图:理解投影可正可负可为零,与向量夹角有关

生活中两个人同时拎一个提包,夹角越大越 费力,为什么呢? 你能用本节课的知识解释 吗?
设计意图:生活中处处有数学,培养学生学习兴趣

? ? ? ? (1) a ? b ? a ? b ? 0

? ? ?2 ? 2 ? ?2 (2) ? a ? a ?| a | ?| a |? a a
(3)

cos? =

? ? a ?b ? ? a b

问题

向量的数量积能解决哪些几何问题呢?

学生活动:发扬团队精神,互编习题,可 以参照教材,但要有改动,力求难倒对方

向量在平面几何领域 的重大作用
应用1:用向量方法证明著名的勾股定理
A

如图所示,在直角三角形中, 已知∠ACB=90° 求证:AC2+BC2=AB2

b C a
C

c B

应用2:用向量方法证明直径所对的圆周角为直角。

B

A

? ? ? ? (1)交换律 a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)数乘结合律 (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (? b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)分配律 (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? a ?b ? a ?c ? b ? c ?

? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

?? ?

(2012课标全国)

对功W=|F||s|cos?结构分析
抽 象

平面向量数量积的定义 → → a · a | | b | cos ? b=| 师 生 探 究 重 要 性 质 特 殊 化 运 算 律

分层作业
1.课本P108 1—4,6; 2.某同学在单杠上做引体向上, 手臂握杠的姿势怎样最合适?试 用本节课的知识解释。

X

板书设计
科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义 一、数量积的概念 二、数量积的性质 1、概念: 2、概念强调:(1)记法 (2)“规定” 3、几何意义: 4、物理意义: 三、数量积的运算律 四、学生自编例题: 例1: 例2: 例3:

课后反思
让学生从生活中和物理知识中感 受数学的魅力,激发学生学习的 热情;同时也培养了学生由特殊 到一般的思维品质和类比创新的 意识。但数量积的定义和运算性 质的运用有待于进一步提高。

欢迎教师批评指正 谢谢各位


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