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2015 概率统计1.4


§1.4

事件的相互独立性 Independence
1.两个事件相互独立

2.多个事件相互独立 3.二项概率公式
4.Poisson公式

1

1.两个事件相互独立
定义 若P ( AB) ? P ( A) P ( B),
则称事件A与B相互独立.

性质

1) A, B独立 ? A , B独立;
2) A, B独立 ? A, B 独立; 3) A, B独立 ? A , B 独立.

2

“独立”与“互不相容 ”的区别:
独立用于乘法:

若A, B独立,则P ( AB) ? P ( A) P ( B);
互不相容用于加法:

若A,B互不相容,则P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ).
它们的关系是什么呢?
3

例: 甲、乙各打一枪,甲中的概率是0.7, 乙中的概率是0.8, 求至少中一枪的概率.
解法 1: 设A ? {甲中 }, B ? {乙中 } p( A) ? 0.7, p( B ) ? 0.8,

p( A ? B) ? p( A) ? p( B) ? p( AB )

A, B独立p( A) ? p( B) ? p( A) p( B) ? 0.7 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.8 ? 0.94 解 法2: p( AB ? A B ? AB ) ? p( AB) ? P( A B) ? p( AB ) 解 法3: 1 ? P( A B ) ? 1 ? P( A ) p( B )
4

推论 1
若 A与B相互独立, 则P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A) P ( B ).

推论 2
若 A1 , A2 ,?, An相互独立,则 P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? 1 ? P ( A1 ) P ( A2 )? P ( An ).

5

2.多个事件相互独立
若P( AB) ? P( A) P( B), 定义 对于事件A、B、C, P ( BC ) ? P ( B ) P (C ), P ( AC ) ? P ( A) P (C ),
则称A,B,C两两独立.

定义 对于事件A、B、C, 若P( AB) ? P( A) P( B),
P ( BC ) ? P ( B ) P (C ), P ( AC ) ? P ( A) P (C ),

且P ( ABC ) ? P ( A) P ( B) P (C ),
则称A,B,C相互独立.
6

例 袋中四球,一球白色,一球黄色,一球红色,一球 白、黄、红三种颜色。任取一球看颜色,事件A= {有白色},B={有黄色},C={有红色},求P (AB)、P(ABC).

例 甲系与乙系进行篮球、排球、足球比赛,
篮球 : 甲胜乙的概率为 0.8, 排球 : 甲胜乙的概率为 0.4, 足球 : 甲胜乙的概率为 0.4, 若在3项比赛中至少胜2项才算胜,

问哪一个系胜的概率大 ?

解: 设A ? {甲胜},
A3 ? {足球甲胜}. A1 ? {篮球甲胜}, A2 ? {排球甲胜},
8

解 :设A ? {甲胜}, A3 ? {足球甲胜 }. A1 ? {篮球甲胜 }, A2 ? {排球甲胜 },

P ( A1 ) ? 0.8

P ( A2 ) ? 0.4

P ( A3 ) ? 0.4

P( A) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

独立P( A1 ) p( A2 ) p( A3 ) ? P ( A1 ) p( A2 ) p( A3 )
? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 0.544
故甲系获胜的概率较大 .
9

3. 二项概率公式
每次中的概率为 P (0 ? P ? 1), 设某人独立射击 5次,
求( 1 )只有第 1 , 2枪中的概率;

设Ai ? {第i次中 }
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P2 (1 ? P)3
3 2 (2)只中2枪的概率; C5 P (1 ? P)3

(3)射击n次,中k枪的概率 .
k k Cn P (1 ? P) n ?k
10

伯努利试验(Bernoulli trials)
重复性 独立性 明确性
相同条件下可以重复进行 试验之间没有影响 每次试验中指定的事件只有 两个可能结果,概率为p,q =1-p。

11

二项概率公式 :
n次重复独立试验, 若每次试验事件A出现的

概率为P(0 ? P ? 1), 则n次试验中,事件A出现 k次(0 ? k ? n)的概率为

Pn ( k ) ? C P (1 ? P )
k n k

n? k

12

例1 在一批次品率为 0.2的产品中,进行重复抽 样,
共取5个样品,求 次品数为3个的概率.
3 3 5? 3 ? 0.0512 解: P ( 3 ) ? C ? ( 0 . 2 ) ? ( 1 ? 0 . 2 ) 5 5

13

4. Poisson公式
当n很大、P很小,? ? np时,二项概率公式

P? ?k ? ?

?

k

k!

e

??

k ? 0,1,2,?

14

例 某人进行射击,设每次射击的命中率0.02, 独立射击400次,试求至少击中两次的概率.
解:(用Poisson公式) 设X是射击命中的次数,

? ? np ? 400 ? 0.02 ? 8
8 8 P ( X ? 0) ? e ? e , P ( X ? 1) ? e ? 8e 0! 1! P ( X ? 2) ? 1 ? e ? 8e ? 0.997
0 1 ?8 ?8 ?8 ?8 ?8 ?8

15

一次试验,小概率事件很难发生,但大量试验, 小概率事件必然发生. (上例命中率0.02,但400次射击时至少击中两次 的概率为0.997一样.) 推断原理:小概率事件在一次试验中几乎不可 能发生,若在某种假设下发生了,则有理由怀 疑假设的正确性.
16

若某人做某事的成功率为1%,他重复努力400次,

则至少成功一次的概率为?
解:成功次数服从二项概率B(400,0.01)

P{ X ? 1} ? 1 ? P{ X ? 0} =1 ? 0.99
400

? 0.9820

17

内容小结
1.两个事件相互独立

2.多个事件相互独立 3.二项概率公式
4.Poisson公式

18

第一章
基本概念

小结

样本空间, 事件 事件之间的关系及运算 ∪,∩,-,互斥,对立 经验概率

概 率

古典概率 几何概率 公理化定义

19

概 率 的 计 算

SA 几何概率 P ( A) ? S? k 古典概率 P ( A) ? n P ( AB ) 条件概率 P ( B A) ? P ( A)

全概率公式

P ( B ) ? ? P ( B Ai ) P ( Ai )

n

贝叶斯公式

i ?1

P ( Ai ) P ( B Ai ) P ( Ai B ) ? P( B)
20

事件的独立性
P ( AB) ? P ( A) P ( B )

伯努利概型
P ( Bk ) ? C p q
k n k n? k

, ( 0 ? k ? n)

21

作业:P34,4,6,12,15


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