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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 第6节 圆锥曲线的综合问题课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 8 篇 第 6 节 圆 锥曲线的综合问题课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 圆锥曲线间的综合问题 直线与圆锥曲线的综合问题 圆与圆锥曲线的综合问题 圆锥曲线与其他知识的综合 题号 2、4、7、10 1、6、9、12、13 8、11、14、15、16、17 3、5

基础过关 一、选择题 1.(2014 泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( B ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线与双曲线相交时,也可能有一个公共点, 例如:与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.故选 B. 2.已知双曲线 - =1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线 的距离等于( (A) (B)4
2 2

A ) (C)3 (D)5

解析:抛物线 y =12x 的焦点是(3,0), ∴c=3,b =c -a =5. ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,
2 2 2

焦点(3,0)到 y=± x 的距离 d= 故选 A.

.

3.椭圆 + =1(a>b>0)的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,D 是它短轴上的一个端点,若

3

=

+2

,则该椭圆的离心率为(

D )

(A) (B) (C) (D)

解析:设 D(0,b),则

=(-c,-b),

=(-a,-b),

=(c,-b),

由3

=

+2

得-3c=-a+2c, 即 a=5c, ∴e= = .

4.(2015 海口调研)抛物线 y =-12x 的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线所围成的三角形的 面积等于( A ) (A)3
2

2

(B)2

(C)2

(D)

解析:y =-12x 的准线方程为 x=3, 双曲线 - =1 的渐近线为 y=± x. 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 A、B, 由

求得 A(3, 所以|AB|=2

),同理 B(3,,

),

而 O 到直线 AB 的距离 d=3, 故所求三角形的面积 S= |AB|?d= ?2 ?3=3 .

5.(2014 河南省中原名校模拟)设双曲线 - =1(a>0,b>0),离心率 e=
2 2 2

,右焦点 F(c,0),方 C )

程 ax -bx-c=0 的两个实数根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)与圆 x +y =8 的位置关系( (A)在圆内 (C)在圆外 解析:由 e=
2

(B)在圆上 (D)不确定 得 a=b,故 c= a,
2

所以方程 ax -bx-c=0 化为 ax -ax即 x -x2

a=0,

=0, .
2

故 x1+x2=1,x1?x2=+
2

=(x1+x2) -2x1x2=1 -2?() =9+4
2

)=1+2

,

显然(1+2

>8,

所以点 P(x1,x2)在圆外. 6.椭圆 ax +by =1 与直线 y=1-x 交于 A、 B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,则 的值为( (A) A ) (B) (C) (D)
2 2

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 中点为 M(x0,y0), 将 y=1-x 代入 ax +by =1, 得(a+b)x -2bx+b-1=0,
2 2 2

故 x1+x2=

,x0=

,

∴y1+y2=2-

=

,y0=

,

∴kOM= = = . 二、填空题 7.设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦 点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 .

解析:对于椭圆 C1,a=13,c=5,曲线 C2 为双曲线,c=5,a=4,b=3,则标准方程为 - =1.

答案: - =1

8.(2014 哈师大附中模拟)双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0),以原点为圆心,c

为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为 A,若此圆在 A 点处切线的斜率为 ,则双曲线 C 的 离心率为 .

解析:如图,由题知∠ABO=30°, 所以∠AOB=60°,OA=c, 设 A(x0,y0), 则 x0=-c?cos 60°=- ,

y0=csin 60°= c,

由双曲线定义知

2a=

-

=(

-1)c,

∴e= =

+1.

答案:

+1

9.(2014 太原五中模拟)直线 l 过椭圆 +y =1 的左焦点 F,且与椭圆相交于 P、 Q 两点,M 为 PQ 的中点,O 为原点.若△FMO 是以 OF 为底边的等腰三角形,则直线 l 的方程为 解析:法一 由椭圆方程得 a= 在△FMO 中 ,|MF|=|MO|, 所以 M 在线段 OF 的中垂线上, 即 xM=- , 设直线 l 的斜率为 k,则其方程为 y=k(x+1), ,b=c=1,则 F(-1,0). .

2



得 x +2k (x+1) -2=0,

2

2

2

即(2k +1)x +4k x+2(k -1)=0, ∴xP+xQ= ,

2

2

2

2

而 M 为 PQ 的中点, 故 xM= (xP+xQ)= =- ,

∴k = ,

2

解得 k=± .

故直线 l 的方程为 y=± (x+1),

即 x±

y+1=0.

法二 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0), 由题意知 kPQ=-kOM, 由 P、Q 在椭圆上知

两式相减整理得 kPQ=

=-

=-

,

而 kOM= ,故

= ,

即 =2 ,

所以 kPQ=± ,

直线 PQ 的方程为 y=± (x+1),

即 x±

y+1=0. y+1=0

答案:x±

10.(2014 高考山东卷)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐 近线方程为
2 2

.
2 2

解析:抛物线 x =2py 的准线方程为 y=- ,与双曲线的方程联立得 x =a (1+

),

根据已知得 a (1+

2

)=c ,①

2

由|FA|=c,得 +a =c ,② 由①②可得 a =b ,即 a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是 y=±x. 答案:y=±x 三、解答题 11.如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x =2py(p>0)上.
2 2 2

2

2

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q,证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点. (1)解:依题意,|OB|=8 ,∠BOy=30°. ,

设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30°=4 y=|OB|cos 30°=12. 因为点 B(4 所以(4
2

,12)在 x =2py 上,

2

) =2p?12,解得 p=2.
2

故抛物线 E 的方程为 x =4y. (2)证明:由(1)知 y= x ,y′= x.
2

设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0=

,且 l 的方程为

y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x-

.





所以 Q 为

.

设 M(0,y1),令

?

=0 对满足 y0=

(x0≠0)的 x0,y0 恒成立.

由于

=(x0,y0-y1),

=

,



?

=0,



-y0-y0y1+y1+ =0,

即( +y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

由于(*)式对满足 y0=

(x0≠0)的 y0 恒成立,

所以 解得 y1=1. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 12.(2014 长葛三模)已知圆 C1 的圆心的坐标原点 O,且恰好与直线 l1:x-2y+3 =0 相切,点 A

为圆上一动点,AM⊥x 轴于点 M,且动点 N 满足 C. (1)求曲线 C 的方程;

=

+(1- )

,设动点 N 的轨迹为曲线

(2)直线 l 与直线 l1 垂直且与曲线 C 交于 B、D 两点,求△OBD 面积的最大值. 解:(1)设动点 N(x,y),A(x0,y0), 因为 AM⊥x 轴于 M, 所以 M(x0,0), 设圆 C1 的方程为 x +y =r , 由题意得 r= =3,
2 2 2

所以圆 C1 的方程为 x +y =9.

2

2

由题意,

=

+(1- )

,

所以(x,y)= (x0,y0)+(1- )(x0,0),

所以



将 A(x,

y)代入 x +y =9,

2

2

得动点 N 的轨迹方程为 + =1. (2)由题意可设直线 l:2x+y+m=0, 设直线 l 与椭圆 + =1 交于 B(x1,y1),D(x2,y2),

联立方程 得 13x +12mx+3m -9=0, Δ =144m -13?4(3m -9)>0, 解得 m <39. 又∵点 O 到直线 l 的距离 d= ,
2 2 2 2 2

BD=

?|x1-x2|=

?

,

∴S△OBD= ?

?

?

=

=



(当且仅当 m =39-m ,即 m = 时取到最大值).

2

2

2

∴△OBD 面积的最大值为

. 能力提升

13.(2014 高考辽宁卷)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第 一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( D ) (A) (B) (C) (D) 解析:∵A(-2,3)在抛物线 y =2px 的准线上, ∴- =-2, ∴p=4, ∴y =8x, 设直线 AB 的方程为 x=k(y-3)-2,① 将①与 y =8x 联立, 即 得 y -8ky+24k+16=0,② 则Δ =(-8k) -4(24k+16)=0, 即 2k -3k-2=0, 解得 k=2 或 k=- (舍去),
2 2 2 2 2 2

2

将 k=2 代入①②解得 即 B(8,8), 又 F(2,0),

∴kBF= 故选 D.

= .

14.过双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x +y =a 的切线,切点为 T,延长 FT 交双曲线右 支于点 P,若 T 为线段 FP 的中点,则该双曲线的渐近线方程为 解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为 F′,连接 OT、PF′. .

2

2

2

∵FT 为圆的切线, ∴FT⊥OT,且|OT|=a, 又∵T、O 分别为 FP、FF′的中点, ∴OT∥PF′且|OT|= |PF′|, ∴|PF′|=2a, 且 PF′⊥PF. 又|PF|-|PF′|=2a, ∴|PF|=4a. 在 Rt△PFF′中,|PF| +|PF′| =|FF′| , 即 16a +4a =4c ,∴ =5.
2 2 2 2 2 2

∴ = -1=4,∴ =2, 即渐近线方程为 y=±2x, 即 2x±y=0. 答案:2x±y=0 15.(2014 保定二模)设椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率为 e= ,且过点(-1,- ).

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左顶点是 A,若直线 l:x-my-t=0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M、N(M、N 与 A 均不重合),若以 MN 为直径的圆过点 A,试判定直线 l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐 标. 解:(1)由 e = = 可得 a =2b , 则椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0),
2 2 2

= ,

代入点(-1,- )可得 b =2,a =4,

2

2

故椭圆 E 的方程为 + =1. (2)由 x-my-t=0 得 x=my+t,把它代入 E 的方程得 (m +2)y +2mty+t -4=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), y1+y2=,y1y2= ,
2 2 2

x1+x2=m(y1+y2)+2t= x1x2=(my1+t)(my2+t) =m y1y2+tm(y1+y2)+t = .
2 2

,

因为以 MN 为直径的圆过点 A, 所以 AM⊥AN,

所以

?

=(x1+2,y1)?(x2+2,y2)

=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2

=

+2?

+4+

=

= =0. 因为 M、N 与 A 均不重合, 所以 t≠-2, 所以 t=- ,直线 l 的方程是 x=my- ,

直线 l 过定点 T(- ,0), 由于点 T 在椭圆内部,故满足直线 l 与椭圆有两个交点, 所以直线 l 过定点 T(- ,0). 探究创新 16.(2014 邯郸二模)如图所示点 F 是抛物线 y =8x 的焦点,点 A、B 分别在抛物线 y =8x 及圆 (x-2) +y =16 的实线部分上运动,且 AB 总是平行于 x 轴,则△FAB 的周长的取值范围 是 .
2 2 2 2

解析:由抛物线方程知准线 l:x=-2,焦点 F(2,0),圆的圆心 C(2,0),半径 r=4. 作出抛物线的准线 l,过 B 作 BM⊥l 于 M,

由抛物线的定义得|AF|=|AM|,

∴△FAB 的周长为|AF|+|FB|+|AB|=|AB|+|AM|+|FB|=|BM|+|FB|. 又∵B 在圆弧上移动,且 A、B、F 三点不重合不共线, ∴2<xB<6, ∴4<|BM|<8,而|FB|=r=4, 因此当 xB=2 时,|BM|+|FB|有最小值,最小值为 8, 当 xB=6 时|BM|+|FB|有最大值,最大值为 12, 故△FAB 周长的取值范围是(8,12). 答案:(8,12) 17.过双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x +y =a 的两条切线,切点分别为 A、B.若 ∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为 解析:如图,由题知 OA⊥AF,OB⊥BF 且∠AOB=120°, .
2 2 2

∴∠AOF=60°. 又 OA=a,OF=c, ∴ = =cos 60°= ,

∴ =2. 答案:2


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