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2018届陕西西安中学单元测试示范卷


2018 届陕西西安中学单元测试示范卷· 高三· 数学卷(二十) 第二十单元 算法初步、推理与证明、复数 (120 分钟 150 分)

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设 m∈R,若复数 m2-1+(m2+m-2)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m 的值为 A.1 B.-1 C.± 1 D.-2 解

2 2 解析:因为复数 m -1+(m +m-2)i 是纯虚数,所以

得 m=-1. 答案:B 2.执行下面的程序框图,如果输入的 t=5,则输出的 s 的值为

A.-5

B.5

C.10 D.15
2 所以当 t=5 时,s=4t-t =-5.

解析:由程序框图可知,s= 答案:A

3.小明在玩用火柴棒摆“金鱼”的游戏,如下图所示:

按照上面的规律,第 10 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 A.54 B.56 C.62 D.64

解析:观察图①,共有 8 根火柴,以后依次增加 6 根火柴,即构成 首项为 8,公差为 6 的等差数列,所以第 10 个“金鱼”图需要火柴棒 的根数为 8+6×9=62. 答案:C 4.已知 a<b,某同学给出了下列的一段推理过程,显然他的结论是不 正确的,导致结论错误的推理步骤为

∵a<b, ∴a+a<b+a,即 2a<b+a, ① ∴2a-2b<b+a-2b,即 2(a-b)<a-b, ②
(a-b)<(a-b)· (a-b), ∴2(a-b)·
2 2 即 2(a-b) <(a-b) , ③

∵(a-b)2>0,∴可证得 2<1. ④

A.①

B.② C.③ D.④

解析:在步骤③中,在不等式 2(a-b)<a-b 两边同时乘以一个小 (a-b)>(a-b)· (a-b),则有 2(a于 0 的数 a-b,应该变号才对,即 2(a-b)· b)2>(a-b)2. 答案:C 5.设复数 z 满足(1+i)z=2i(其中 i 是虚数单位),则复数 z 的共轭复数 在复平面中对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由(1+i)z=2i 可得 z= 1),位于第四象限. 答案:D 6.根据下列算法语句,当输出 y 的值为 27 时,则输入 x 的值为 INPUT x IF x<=60 y=0.6*x ELSE y=24+0.6*(x-50) END IF PRINT y END THEN =1+i,所以 =1-i 对应的点为(1,-

A.30

B.45 C.55 D.45 或 55

解析:该程序的功能是输入自变量 x 的值,求分段函数 y= 的值.因为输出的 y 的值为 27,所以 解得 x=45. 答案:B 7.在平面直角坐标系中,根据圆的定义,我们推导出了以 C(a,b)为圆
2 2 2 心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r .类似地,由于球



是空间内到定点的距离为定长的点的集合,由此可得,在空间直角 坐标系中,以 M(1,-2,1)为球心,2 为半径的球的方程可以表示为 A.(x-1)3+(y+2)3+(z-1)3=8 B.(x-1)3+(y+2)3+(z-1)3=4 C.(x-1)2+(y+2)2+(z-1)2=8 D.(x-1)2+(y+2)2+(z-1)2=4 解析:设 P(x,y,z)是球上任意一点,根据球的定义,则 MP=2,代入
2 2 2 空间两点间的距离公式并化简可得(x-1) +(y+2) +(z-1) =4.

答案:D 8.若如图所示的程序框图运行后,输出的 S 的值为 31,则判断框内 填入的条件可以为

A.x<6? B.x>6?

C.x<7?

D.x>7?

解析:执行该框图,可得 S 和 x 的取值变化情况如下表: S 1 3 7 15 31 x 10 9 8 7 6

由表可知,当判断框内填入的条件为“x>6?”时,输出的 S 的值是 31. 答案:B 9.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- + - +…+ =2( + -

+…+ )时,第二步假设 n=k(k≥2,且 k 为偶数)时命

题为真,则还需要用归纳假设再证 A.当 n=k+1 时,1- + - +…+ B.当 n=k+1 时,1- + - +…+ 成立 C.当 n=k+2 时,1- + - +…+ =2( + +…+ )成立 =2( =2( + + +…+ )成立 +…+ )

D.当 n=k+2 时,1- + - +…+ =2( + +…+ )成立

解析:根据数学归纳法的步骤可知,n=k(k≥2,且 k 为偶数)的下 一个偶数为 k+2,故应该证明“当 n=k+2 时,1- + - +…+ =2( + +…+ )成立”. -

答案:D 10.已知函数 f(x)满足 f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=2,则 + A.8 + + 等于

B.16 C.20 D.24

2 解析:令 p=q=n,由 f(p+q)=f(p)f(q),得[f(n)] =f(2n),所以

+ + + 答案:B =

+ + +

+ +

=

+

=8f(1)=16.

11.若复数 z=sin(θ- )+(tan θ)i(其中 θ∈R,i 是虚数单位)在复平面内 对应的点在第四象限,则角 θ 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:依题意:sin(θ- )=sin θcos -cos θsin = (sin θ-cos θ)>0,所 以 sin θ>cos θ, 又 tan θ<0,所以 θ 在第二象限.

答案:B 12.如图,这是一个算法的程序框图,则输出 S 的值是 A.1006 B.1007 C.3018 D.3019 解析:a1=1×cos +1=1, a2=2×cos a4=4×cos a6=6×cos a8=8×cos …… a2012=2012×cos a2013=2013×cos a2014=2014×cos +1=2013, +1=1, +1=-2013. +1=-1,a3=3×cos +1=5,a5=5×cos +1=-5,a7=7×cos +1=9, +1=1, +1=1, +1=1,

* 根据上述规律可知,a2k-1=1(k∈N ),a4k-2=3-

4k(k∈N*),a4k=4k+1(k∈N*).根据程序框图可知,输出的 S=a1+a2+…+a2014=1007(1+5+9+…+2013)+(5+9+…+2013)=1006. 答案:A

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题 中的横线上. 13.若一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”.若 复数 z=(1+ai)(2-i)(i 是虚数单位)为“等部复数”,则实数 a 的值 为 . 解析:因为 z=(1+ai)(2-i)=2+a+(2a-1)i 为“等部复数”,所以 2+a=2a-1,解得 a=3. 答案:3 14.如图,运行该程序,则输出的结果是 a=1 b=2 I=2 DO a=a+b b=a+b I=I+2 LOOP UNTIL I>6 PRINT b END .

解析:程序的执行情况如下表: a b I 1 2 2 1+2=3 3+5=8 8+13=2 1 21+13= 34 6+2=8

3+2=5 8+5=13 2+2=4 4+2=6

当 I=8 时,b=34,退出循环. 答案:34 15.如下表所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由 整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2),且每个 数与它下一行左、右相邻两数有一定的关系.按照表中的规律,第 7 行第 3 个数(从左往右数)为 .

解析:第 6 行从左到右各数依次为 , , , , , ,第 7 行从左到 右各数依次为 , , 为 . 答案: , , , , .故第 7 行第 3 个数(从左往右数)

16.数学家欧拉在 1765 年发现如下定理:三角形的外心、重心、垂 心依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距 离的一半.这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知三角形 ABC 的顶点 A(-2,0),B(0,4),且三角形 ABC 的欧拉线的方程为 x+y-2=0, 则顶点 C 的坐标为 .

解析:设点 C 的坐标为(a,b),则三角形 ABC 的重心为 G( , ),由欧拉线 x+y-2=0 过重心得 + -2=0,即 a+b-

4=0. ① 又边 AB 的垂直平分线方程为 y-2=- (x+1),即 y=- x+ ,联立 x+y-2=0,解得三角形的外心坐标为 H(1,1),所以 AH=CH,即 = , ② 联立①②,解得 答案:(4,0) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知复数 z=( )2016+(1-i)2(其中 i 为虚数单位),若复数 z 的共轭复 (舍去)或 故点 C 的坐标为(4,0).

z1=4+3i. 数为 ,且 · (1)求复数 z1;

(2)若 z1 是关于 x 的方程 x2-px+q=0 的一个根,求实数 p,q 的值,并求
2 出方程 x -px+q=0 的另一个复数根.

解析:(1)因为 z=(

)2016+(1-i)2=i2016-2i=1-2i, =2-i. 5 分

所以 =1+2i,所以 z1=

(2)由题意知(2-i)2-p(2-i)+q=0,化简得(3-2p+q)+(p-4)i=0,所以 3-2p+q=0 且 p-4=0,解得 p=4,q=5,
2 2 2 所以方程为 x -4x+5=0,即(x-2) =-1=i ,解得另一个复数根为

x=2+i.

10 分

18.(本小题满分 12 分) 老师在复习三角恒等变形知识时,在黑板上给出如下的几个等式: cos = ,cos cos = ,cos cos cos cos cos = ,…… 的值是多少?

(1)若照此规律下去,cos cos

(2)根据以上等式猜想出一般的结论,并证明第四个等式. 解析:(1)按照已知规律可知,cos cos cos cos = . 3分 cos cos =cos cos

(2)由已知的等式可猜想第 n 个等式左边共有 n 项余弦值的积, 角的分母都是 2n+1,最后一项是 cos 即一般的结论为 cos 6分 cos ,右边是 , · …· cos = (n∈N*).

证明如下:

cos cos

cos

cos

=

= ×

= ×

= ×

= ×cos

= . 12 分

19.(本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项的和. (1)证明: , , 成等差数列;

(2)结合(1)的结论及其证明过程,在正项等比数列{bn}中写出类似 的结论,并给出证明. 解析:(1)因为在等差数列{an}中,有 Sn= 所以 = 所以 + = , = + , = = , . ,

又因为 an+a3n=2a2n,所以 + = 所以 , , = =2 × ,

成等差数列. 6 分

(2)类似地,设各项为正数的等比数列{bn}中,Tn 是其前 n 项的 积,则 , , 成等比数列.

证明如下: …· bn=b1(b1q)(b1q2)· …· (b1qn设数列{bn}的公比为 q,则 Tn=b1b2·
1

)= q1+2+…+n-1= 又 bn>0,所以 =b1 所以 · =b1 所以 , ,

, ,同理 = =b1 =(b1 , =b1 )2=( , )2 ,

· b1

成等比数列. 12 分

20.(本小题满分 12 分) 复数 z1=3+4i,z2=1-i,z3=c+(c-2)i(其中 i 为虚数单位)在复平面内对 应的点分别为 A,B,C. (1)若∠BAC 是锐角,求实数 c 的取值范围; (2)若复数 z 满足|z-(z1+z2)|=1,求|z|的取值范围. 解析:(1)在复平面内三的点坐标分别为 A(3,4),B(1,-1),C(c,c-2), 由∠BAC 是锐角,得 · >0,且 B、A、C 不共线, (c-3,c-6)>0,且-2(c-6)≠-5(c-3),解得 c< 且 c≠1, 由(-2,-5)·

∴c 的取值范围是 c< 且 c≠1. 6 分
(2)设复数 z 在复平面中对应的点为 P(x,y). 因为 z1+z2=3+4i+1-i=4+3i,|z-(z1+z2)|=1,
2 2 2 2 所以(x-4) +(y-3) =1,即 P(x,y)为圆(x-4) +(y-3) =1 上的点, 2 2 2 又|z| =x +y ,所以由它们所表示的几何意义可知

-

1≤|z|≤

+1,即 4≤|z|≤6.

12 分

21.(本小题满分 12 分)
3 2 已知 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)是 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A、

B、C 三点,且点 B 的坐标为(2,0).若函数 f(x)在[-2,0]和[5,7]上均为 单调函数,且 f(x)在[-2,0]和[5,7]上的单调性相同,在[0,3]和[5,7]上的 单调性相反. (1)求实数 c 的值,并用 a,b 表示 d; (2)证明:曲线 y=f(x)上不存在点 M,使曲线在点 M 处的切线与直线 x+3by+a=0 垂直. 解析:(1)因为函数 f(x)在[-2,0]和[5,7]上的单调性相同,在[0,3] 和[5,7]上的单调性相反,所以 f(x)在[-2,0]和[0,3]上的单调性相反,所 以 f'(0)=0.
2 又因为 f'(x)=3ax +2bx+c,所以 f'(0)=c=0.

又点 B 的坐标为(2,0),即 f(2)=8a+4b+d=0,即 d=-8a-4b. 6 分

(2)假设存在点 M(x0,y0)在曲线 y=f(x)上,且在点 M 处的切线与 直线 x+3by+a=0 垂直,即切线斜率为 3b. 由 f'(x0)=3a +2bx0,所以 3a +2bx0=3b. 由题可知,关于 x0 的方程 3a +2bx0-3b=0 有实数解,
2 所以 Δ=4b +36ab≥0. ① 2 令 f'(x)=3ax +2bx=0,解得 x1=0,x2=- .

由(1)知,x2=- 也是极值点.又因为 y=f(x)在[0,3]和[5,7]上的单 调性相反,所以 3≤- ≤5,即- ≤ ≤- ,所以 ≤ +9≤ 且 4ab<0,
2 所以 4ab( +9)=4b +36ab<0,即 Δ<0. ②

显然①和②互相矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. 12 分 22.(本小题满分 12 分)
n n * 若数列{2 -1}的前 n 项组成集合 An={1,3,7,…,2 -1}(n∈N ),从集合

An 中任取 k(k=1,2,3,…,n)个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记 Sn=T1+T2+…+Tn.例如: 当 n=1 时,A1={1},T1=1,S1=1;当 n=2 时,A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7. (1)求出 S3,S4; (2)由 S1,S2,S3,S4 的值归纳出 Sn 的表达式,并用数学归纳法加以证明. 解析:(1)当 n=3 时,A3={1,3,7},T1=1+3+7=11,T2=1×3+1×7+3×7=31,

T3=1×3×7=21,所以 S3=11+31+21=63; 当 n=4 时,A4={1,3,7,15},T1=1+3+7+15=26,T2=1×3+1×7+1×15+3×7+3× 15+7×15=196,T3=1×3×7+1×3×15+1×7×15+3×7×15=486,T4=1× 3×7×15=315, 所以 S4=26+196+486+315=1023. 4分

(2)由 S1=1=21-1,S2=7=23-1=21+2-1,S3=63=26-1=21+2+3-1, S4=1023=210-1=21+2+3+4-1, 由此猜想 Sn=2
1+2+3+…+n

-1=

-1(n∈N*). 6 分

用数学归纳法证明如下:

①易知当 n=1 时成立. ②假设当 n=k 时,Sk=
-1=T'1+T'2+T'3+…+T'k(其中

T'i(i=1,2,…,k)为 n=k 时可能的 k 个数的乘积的和),则当 n=k+1 时,Sk+1=T1+T2+…+Tk+1 =[T'1+(2k+1-1)]+[T'2+(2k+1-1)T'1]+[T'3+(2k+1-1)T'2]+…+(2k+11)T'k =(T'1+T'2+T'3+…+T'k)+(2k+1-1)+(2k+1-1)(T'1+T'2+T'3+…+T'k) =Sk+(2k+1-1)+(2k+1-1)Sk=2k+1( 1= -1, 即当 n=k+1 时,Sk+1= -1 也成立. -1)+(2k+1-1)=2k+1· -

* 综合①②可知,对 n∈N ,Sn=

-1 成立,

所以 Sn=

-1(n∈N*). 12 分


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