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三、相似三角形的判定及性质


三、相似三角形的判定及性质 教材导读 1、相似三角形知识的回顾 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两 个三角形叫做 , 相似三角形对应边 的比值叫做 或( ) 。 (2)预备定理:平行于三角形一边的直线和 其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的 三角形与原三角形 。 2、相似三角形的判定定理 (1)判定定理 1: 对于任意两个三角形, 如果一 个三角形的两个角与另一个三角形

的两个角 对应相等,那么这两个三角形相似,简述为: 对应相等,两三角形相似。 (2)判定定理 2:对于任意两个三角形,如果 一个三角形的两边和另一个三角形的两边对 应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形 相似, 简述为: 对应成比例且 相 等,两三角形相似。引理:如果一条直线截三 角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线 段成比例,那么这条直线平行于三角形 的 。 (3)判定定理 3:对于任意两个三角形,如果 一个三角形的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例,那么这两个三角形相似,简述 为: 对应成比例,两三角形相似。 3、直角三角形相似的判定定理 (1)定理①如果两个直角三角形有一个 对应相等,那么它们相似; ②如果两个直角三角形的两条直角边 那么它们相似。 (2)定理:如果一个直角三角形的斜边和一 条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角 边 , 那么这两个直角三角形 。 基础自测 1、下列各对三角形中一定不相似的是( ) A. △ABC 中, ∠A=54°, ∠B=78°; A?B ?C ? , △ ∠ C ? = 48°,∠ B ? = 78° B. △ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm, ;

△ A?B ?C ? , ∠ C ? = 90 ° , A?C ? =12cm , B ?C ? =15cm C. △ABC 中,∠B=90°,AB=5,AC=13, ; △ A?B ?C ? , B ? = 90°,A?B ? =2.5,B ?C ? =6 ∠ D. △ABC 中,∠C=90°,∠A=45°AB=5, ; △ A?B ?C ? ,∠ A? = 45°,∠ B ? = 45° 2、 若△ABC∽△ A?B ?C ? , 且△ABC 的三边长分 别为 2 , 10,2 , A?B ?C ? 的两边长分别为 1 △ 和 5, 则△ A?B ?C ? 的第三条边的长为 ( )

A.

2 2

B.2

C.

2

D. 2 2

3、如图,已知 AB:BD=4:5,且 DE∥BC,则 BC: A DE 等于 。
B C D E

对点讲练 题型一 证明三角形相似 【例 1】如图,在□ABCD 中,过点 B 作 BE

⊥CD,垂足为 E,连结 AE,F 为 AE 上一 点,且∠BFE=∠C
A D F E B C

(1) 求证:△ABF∽△EAD; (2) 若 AB=4,∠BAE=30°,求 AE 的长; (3) 在(1) (2)的条件下,若 AD=3,求 BE 的长。

题型二 利用三角形相似证明“平方式” 【例 2】如图,已知在△ABC 中,AB=AC,∠ A=36°,BD 是∠B 的角平分线,试利用三角形
A

相似的关系说明 AD ? DC ? AC
2

B

D

D B C

6、如图,已知,DE∥AB,EF∥BC, 求证:△DEF∽△ABC
A D O F C E B

课时作业 一、选择题 1、△ABC 中,D 是 AB 上一点,在 AC 上找一点 E,使得△ADE 与△ABC 相似,则这样的点最多 有 个。 ( ) A.0 B.1 C.2 D.无数 2、如图所示,∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,则 下列结论正确的是( )
A

7、如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 F 在 BA 的延长线上,连结 CF 交 AD 于点 E。 (1)求证:△CDE∽△FAE; (2)当 E 是 AD 的中点,且 BC=2CD 时,求证 ∠F=∠BCF。
D E C

A. △DAB∽△OCA B. △OAB∽△ODA C. △BAC∽△BDA D.△OAC∽△ABD 3、如图,∠ACD=∠B,DE∥BC,则图中共有对 相似三角形( )
A D E

O

B

C

D

F

A

B

B

C

A.2 B.3 C .4 D.5 4、如图所示,在△ABC 中,点 D 在线段 BC 上, ∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16,那么 CD= 。
A

B C D 5、如图,∠BAC=∠DCB,∠CDB=∠ABC=90°, AC=a, BC=b, BD= 当 时, △ABC∽△CDB。 A C


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