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2014高考数学放缩法在数列不等式证明的运用


高中数学放缩法在数列不等式证明中的运用

每年高考中,利用放缩方法证明不等式,文科涉及较少,但理科却常常出现,且多是在 压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依,但具体到题,又常常没有定法,它综合性强, 形式复杂, 运算要求高, 往往能考查考生思维的严密性, 深刻性以及提取和处理信息的能力, 较好地体现高考的甄别功能。 本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方

法, 以冀起到 举一反三的作用。 一、 放缩后转化为等比数列。 例 1. {bn } 满足: b1 ? 1, bn?1 ? bn 2 ? (n ? 2)bn ? 3 (1) 用数学归纳法证明: bn ? n (2)

Tn ?

1 1 1 1 1 ,求证: Tn ? ? ? ? ... ? 2 3 ? b1 3 ? b2 3 ? b3 3 ? bn

解:(1)略 (2) 又

bn?1 ? 3 ? bn (bn ? n) ? 2(bn ? 3) bn ? n

?bn?1 ? 3 ? 2(bn ? 3) , n ? N *
迭乘得: bn ? 3 ? 2n?1 (b1 ? 3) ? 2n?1

?

1 1 ? n?1 , n ? N * bn ? 3 2
1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2

?Tn ?

点评:把握“ bn ? 3 ”这一特征对“ bn?1 ? bn 2 ? (n ? 2)bn ? 3 ”进行变形,然后去 掉一个正项, 这是不等式证明放缩的常用手法。 这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳 法,似乎是不可能的,为什么?值得体味! 二、放缩后裂项迭加 例 2.数列 {an } , an ? ( ?1) 求证: s2 n ? 解: s2 n ? 1 ?
n ?1

1 ,其前 n 项和为 s n n

2 2
1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 2 3 4 2n ? 1 2n

1

令b n?

1 , {bn } 的前 n 项和为 Tn 2n(2n ? 1) 1 1 1 1 ? ( ? ) 2n(2n ? 2) 4 n ? 1 n

当 n ? 2 时, bn ?

? s2 n ? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) 2 12 30 4 3 4 4 5 6 4 n ?1 n

?

7 1 2 ? ? 10 4n 2

点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手 法。值得注意的是若从第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始 放大,命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。 例 3.已知函数 f ( x) ? ax ?

b ? c(a ? 0) 的图象在 (1, f (1)) 处的切线方程为 x

y ? x ?1
(1)用 a 表示出 b, c (2)若 f ( x) ? ln x 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围 (3)证明: 1 ? 解: (1) (2)略 (3)由(II)知:当 a ?

1 1 1 n ? ? ... ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1)

1 时, 有f ( x) ? ln x( x ? 1) 2 1 1 1 令 a ? , 有f ( x) ? ( x ? ) ? ln x( x ? 1). 2 2 x 1 1 且当 x ? 1时, ( x ? ) ? ln x. 2 x k ?1 ? ?1 1 k ?1 k 1 1 1 , 有 ln ? [ ? ] ? [(1 ? ) ? (1 ? )], 令x ? k k 2 k k ?1 2 k k ?1 1 1 1 ), k ? 1,2,3,? , n. 即 ln( k ? 1) ? ln k ? ( ? 2 k k ?1
将上述 n 个不等式依次相加得

ln(n ? 1) ?
整理得

1 1 1 1 1 ? ( ? ??? ) ? , 2 2 3 n 2(n ? 1)

1?

1 1 1 n ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? . 2 3 n 2(n ? 1)

2

点评:本题是 2010 湖北高考理科第 21 题。近年,以函数为背景建立一个不等关 系,然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证明不等式,这是一种趋势, 应特别关注。当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论。 三、 放缩后迭乘 例 4. a1 ? 1, an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an )(n ? N * ) . 16

(1) 求 a2 , a3 (2) 令 bn ? 1 ? 24an ,求数列 {bn } 的通项公式 (3) 已知 f (n) ? 6an?1 ? 3an ,求证: f (1) f (2) f (3)... f (n) ? 解: (1) (2)略 由(2)得 an ?

1 2

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 3 4 2 3 1 3 2 3 1 ? f ( n) ? n ? n ? 2 ? n ? n ? 1 ? 1 ? n 4 2 4 2 4 1 1 1 2 1 1 (1 ? n )(1 ? n ?1 ) 1 ? n ? n ? 2 n ?1 1 ? n 1 4 4 4 4 4 4 1? n ? ? ? 1 1 1 4 1 ? n ?1 1 ? n ?1 1 ? n ?1 4 4 4 1 1? n 4 ? f ( n) ? 1 1 ? n ?1 4 1 1 1 1 1? 1? 2 1? n 1? n 4 ? 4 ... 4 ? 4 ?1 ? f (1) f (2)... f (n) ? 1?1 1? 1 1? 1 2 2 n ?1 4 4

评:裂项迭加,是项项相互抵消,而迭乘是项项约分,其原理是一样的,都似多米 诺骨牌效应。只是求 n 项和时用迭加,求 n 项乘时用迭乘。 (完毕)

3


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