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高中数学经典解题技巧和方法:(等差数列、等比数列)


高中数学经典的解题技巧和方法(等差数列、等比数列)
【编者按】等差数列、等比数列是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试的热点跟增长点,无 论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。因此,马博士教育网数学频道编辑部特 意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们,让同 学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。

好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下等差数列、等 比数列的经典解题技巧。 首先,解答等差数列、等比数列这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题, 同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题: 1.数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 。 (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数。 2.等差数列、等比数列 (1)理解等差数列、等比数列的概念。 (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式。 好了,搞清楚了等差数列、等比数列的上述内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题 技巧。 一、有关等差数列的基本问题 考情聚焦:1.等差数列作为高考中数学的重点内容,在历年高考中都有所考查。 2.该类问题一般独立命题,考查等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项公式,有时与函数的单 调性、不等式知识结合在一起命题。 3.多以选择题、填空题的形式出现,属中、低档题。 解题技巧:1.涉及等差数 列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问 题; 2.等差数列前 n 项和的最值问题,经常转化为二次函数的最值问题;有时利用数列的单调性(d>0, 递增;d<0,递减) ; 3.证明数列{ an }为等差数列有如下方法:①定义法;证明 an?1 ? an ? d (与 n 值无关的常数) ;②等 差中项法:证明 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N ) 。 例 1: (2010·浙江 高考文科·T19)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,满足 S5 S6 +15=0。 第 1 页(共 4 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司
?

(Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。 【命题立意】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题解决 问题的能力。 【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前 n 项和求解即可。 【规范解答】(Ⅰ)由题意知 S6= 解得 a1=7,所以 S6= -3,a1=7 (Ⅱ)方法一:因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a1 +9da1+10d +1=0. 故(4a1+9d) =d -8. 所以 d ≥8.[ 故 d 的取值范围为 d≤-2 2 或 d≥2 2 .
2 2 2 2 2

-15 =-3, S5

?5a ? 10d ? 5, a6 =S6-S5=-8。所以 ? 1 ?a 1 ?5d ? ?8.

方法二:因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a1 +9da1+10d +1=0. 看成关于 a1 的一元二次方程,因为有根,所以 ? ? 81d 2 ? 8(10 d 2 ? 1) ? d 2 ? 8 ? 0,解得 d ? ?2 2 或

2

2

d ?2 2。
二、有关等比数列的基本问题 考情聚焦:1.等比数列作为高中数学的重点内容,在历年高考中都有所考查。 2.该类问题有时单独命题,考查等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式;但更多的是与函数的 单调性、不等式结合在一起,在知识交汇点 处命题。 3.选择、填空及解答题中都有可能出现,属中、高档题。 解题技巧: (1)证明数列{ an }为等比数列有如下方法: ①定义法:证明

an ?1 ? q(与n值无关的非零常数) 。 an
2 ?

②等比中项法: an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N ) 。 (2)求一般数列{ an }通项公式时常用构造数列法、待定系数法等。 例 2: (2010·辽宁高考理科·T6)设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1,

S3 ? 7 ,则 S5 ? (
(A)

) (B)

15 2

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式 第 2 页(共 4 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

【思路点拨】列出关于 a1 q 的方程组,解出 a1 q 再利用前 n 项和公式求出 S5 【规范解答】选 B。根据题意可得:

?a1qa1q 3 ? 1 1 ? ? a1 ? 4, q ? ? a1 (1 ? q 3 ) 2 ? 1? q ? 7 ? 1 4(1 ? ( )5) 31 2 ? S5 ? ? 1 4 1? 2
三、等差、等比数列综合问题 考情聚焦:1.等差、等比数列作为高中数学的重点内容,在历年高考中都有所体现。 2.单独考查等差数列或等比数列的问题较少,大部分题目是等差、等比数列在同一个题中出现,在 两知识的交汇点处命题,同时考查其他数学知识、思想方法等。 3.多以解答题的形式出现,属中、高档题目。 例 3: (2010·陕西高考理科·T16) 已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1 且 a1 , a3 , a9 成等比数列 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式, (Ⅱ)求数列 2

? ? 的前 n 项和 S
an
a

n

【命题立意】 本题主要考查等差、 等比数列的通项公式和前n项和公式的应用, 考查考生的运算求解能力. 【思路点拨】已知 ? 关于 d 的方程 ? d ? an ? 2 n ? Sn

(1)由题设知公差d ? 0 【规范解答】

由a1 ? 1, a1 , a3 , a9成等比数列得 解得d ? 1, d ? 0(舍去)

1 ? 2d 1 ? 8d ? 1 1 ? 2d

故 ?an ?的通项an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n (2)由(1)知2a n ? 2 n , 2(1 ? 2n ) ? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 n ?1 ? 2. 1? 2
2 3 n

【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运 用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 2.数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项,由 Sn 求通项,累加法、累乘法等 3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。 4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的 第 3 页(共 4 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.

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