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空间向量及其加减与数乘运算学习教材PPT课件


空间向量及其加减 与数乘运算 一、平面向量复习 ⒈定义: 既有大小又有方向的量叫向量. 几何表示法:用有向线段表示; 字母表示法:用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示. 相等的向量:长度相等且方向相同的向量. B D A C ⒉平面向量的加减法与数乘运算 ⑴向量的加法: b a a 平行四边形法则 三角形法则 ⑵向量的减法 三角形法则 ⑶向量的数乘 a ka (k>0) (k<0) b a ka ⒊平面向量的加法与数乘运算律 加法交换律: a+b=b+a 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律: λ(a+b)=λa+λb 推广 ⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An A1 A2 A1An An A3 An?1 A4 ⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0 A1 A2 An?1 An A3 A4 二、空间向量及其加减与数乘运算 ⒈空间向量: ⑴定义:空间中具有大小和方向的量叫做向量. ⑵表示方法: ①空间向量的表示方法和平面向量一样; ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量; ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示. ⒉空间向量的加法、减法与数乘向量 C ? B b b O a A O P a a ?a OB ? OA ? AB ? a + b CA ? OA ? OC ? a - b OP ? ? a (? ? R) ⒊空间向量加法与数乘向量运算律 ⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); ⑶数乘分配律: λ(a + b) =λa +λb ; a a c b b c 对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广. ⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍 然成立. ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加. 推广 ⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An A1 A2 A1An An A3 An?1 A4 ⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0 A1 A2 An?1 An A3 A4 例1 已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量: ⑴AB ? BC; D’ A’ B’ C’ ⑵AB ? AD ? AA'; 1 ⑶ AB ? AD ? CC ' 2 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3 D A B C 例1已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量: ⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA'; 解:⑴AB ? BC ? AC ⑵AB ? AD ? AA' ? AC ? AA' D’ A’ B’ C’   ? AC

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