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2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编3:三角函数


最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 3:三角函数
一、选择题 错误!未指定书签。 . (天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学)若 f ( x ) ? a sin x ? b (a,

b

为 常 数 ) 的 最 大 值 是

5 , 最 小 值 是 -1 , 则

/>a b

的 值 为 (

) A. ? 、

2 3

B. 、

2 2 或? 3 3

C. ? 、

3 2

D. 、

3 2
的三角 (

错误!未指定书签。 . (天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学(理)试题)边长为

形的最大角与最小角的和是( ) A. B.



C.

D.

错误!未指定书签。 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)

在 钝 角 △ABC

中 , 已 知 ( )

AB=

3 ,

AC=1,∠B=30°, 则 △ABC

的 面 积 是

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 2

D.

3 4

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 天 津 市 六 校 2013 届 高 三 第 二 次 联 考 数 学 理 试 题 ( WORD 版 ) 设 函 数 ( )

f(x)=Asin( ?x ?

? ? 2? ? )(A>0, ? >0,- < ? < )的图象关于直线 x= 对称,且周期为 π ,则 f(x)
2 2 3


) A.图象过点(0,

1 ) 2

B.最大值为-A

C.图象关于(π ,0)对称

D.在[

5? 2? , ]上是减函数 12 3

错误!未指定书签。 . (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)设 ? >0,函数

y=sin( ? x+

4? ? )+2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值是( 3 3
B.

) ( )

2 A. 3

4 3

C.

3 2
·1·

D.3

错误!未指定书签。 . (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题) 已知

? 1 sin 2? ? cos2 ? tan( ? ? ) ? ,则 的值为( 4 2 1 ? cos 2?
A. ?

)

3 5

B. ?

5 6

C. ? 1

D.2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 天 津 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 理 试 卷 ) 为 了 得 到 函 数 (

y ? 3 sin x cos x ?


1 cos 2 x 的 图 象 , 只 需 将 函 数 2

y ? sin 2 x

的 图 象 (

? 个长度单位 12 ? C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

? 个长度单位 12 ? D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

错误!未指定书签。 . (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) 在 ?ABC 中, )
2 2 2 s 角 A, B, C 所 对 边 长 分 别 为 a , b, c , 若 a ? b ? 2 c , 则 c o C 的 最 小 值 为

( ) A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

错误!未指定书签。 . (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)在△ABC 中,a,b,c

分 别 是 角 A , B , C 的 对 边 , a=

3 , b= 2 , 且 1+2cos(B+C)=0 , 则 BC 边 上 的 高 等 于


) A. 3 -1 B. 3 +1 C.

3-1 2

D.

3+1 2

错误!未指定书签。(天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)把函数 y = sin x(x ? R) 的 .

图象上所有的点向左平行移动 倍 ) A. y = sin (2 x( 纵 坐 标 不 变

1 ? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 3
) , 得 到 的 图 象 所 表 示 的 函 数 是 (

?
3

),x ? R

B. y = sin (
·2·

x ? + ),x ? R 2 6

C. y = sin (2 x +

?
3

),x ? R

D. y = sin (2 x +

2? ),x ? R 3

错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)在?ABC 中,A,B,C 为内角, .



sin A cos A ? sin B cos B

,



?

ABC (



) A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)设函数 y .

? sin( x ? ) (x 3
f(x) (

?

∈ ) A.在区间[-π , ?

R),



?
2

]上是减函数

? ? C.在区间[ , ]上是增函数 8 4
f(x)=sin2x-4sin xcosx(x ) A.
3

2? 7? , ] 上是增函数 3 6 ? 5? ] 上是减函数 D.在区间 [ , 3 6
B.在区间 [ R) 的 最 小 正 周 期 ( 为

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 一 月 考 理 科 数 学 ) 函 数 .



? 8

B.

? 4

C.

? 2

D.π

错误! 未指定书签。 . (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 把函数 y ? sin(2 x ?

?
4

)

的图象向右平移 的 ) A.y=sin(4x+

? 个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,则所得图象对应 8
数 解 析 式 ( 是



3? ) 8
D.y=sinx

B.y=sin(4x+

? )C 8



y=sin4x

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ) 函 数 .

?? ? ? y ? l n c o x ? ? ? x ? ? 的图象是 s 2? ? 2

·3·

错误!未指定书签。(天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(理)试题)在 ?ABC 中, .
? 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 其 中 A ? 1 2 0 b ? , 且 ?ABC 面 积 为 , 1

3 ,则

a?b ? sin A ? sin B
( ) A. 21 B.

2 39 3

C. 2 21

D. 2 7

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 函 数 .

f ( x) ?
) A.1

3 s i n x? 2

2 2 s i n ,( x

0? x?

?
2

)







f(x)







值 (



B.-2

C.√3

D.-√3

错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)在?ABC 中,tanA 是以 .

-4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 则 这 个 三

1 为第三项,9 为第六项的等比数列的公比, 3
角 形 ( 是

C.等腰直角三角形 D.以上都不对 错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)△ABC 的三个内角 .

) A.钝角三角形

B.锐角三角形

A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a sin A sin B ? b cos2 A ? 2a ,
则 ( ) A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2

b ? a

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 耀 华 中 学 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 月 考 理 科 数 学 试 卷 ) 将 函 数 .

?? ? f ( x) ? 2 sin? 2 x ? ? 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图像上每一点横坐标缩短到原来 4? ?
·4·



1 ? 倍 , 所 得 图 像 关 于 直 线 x? 对 称 , 则 ? 的 最 小 正 值 为 2 4
( )

A.

?
8

B.

3? 8

C.

3? 4

D.

?
2

二、填空题 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 蓟 县 二 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 .

,给出下列四个说法: ①若 ,则 ; ② 的最小正周期是 ;



在区间

上是增函数;



的图象关于直线

对称.

其中正确说法的序号是______.
错误!未指定书签。(天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)在△ABC 中,a,b,c 分 .

别是角 A,B,C 的对边,若 a +b =2012c ,则

2

2

2

tan A? B tan 的值为 tanC ( tan A+ tan B)



错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 耀 华 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 月 考 理 科 数 学 试 题 ) 函 数 .

f ( x) =A s i ? n (

x ) (?, ?为 常 数 , A>0, ? >0) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则 f(0) 的 值 ? + A ,





错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)函数 f ( x) ? sin(2 x ? .

?
3

) (x

∈R)的图象为 C,以下结论中: ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 (

2? , 0) 对称; 3 ? 5? ) 内是增函数; ③函数 f(x)在区间 ( ? , 12 12
·5·

11? 对称; 12

④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 则正确的是

? 个单位长度可以得到图象 C. 3
3 ,且 8

.(写出所有正确结论的编号)

错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知 sin x cos x ? .

x ? ( , ) ,则 cos x ? sin x ? _________. 4 2
错误!未指定书签。 (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 在△ABC 中,若 .

? ?

sinA=2sinBcosC 则△ABC 的形状为________。
三、解答题 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 蓟 县 二 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) .

已 知 函数

. (1)求 函数图象的对称轴方程; (2)求 的单调增区间.

(3)当

时,求函数

的最大值,最小值.

错误!未指定书签。(天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数 . 学(理)试题)

如图,在平面直角坐标系

中,以 轴

为始边作两个锐角

,它们的终边分别与单位圆交于

两点.已知

的横坐标分别为



(1)求 (2)求 的值.

的值;

错误!未指定书签。(天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)设函数 .

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为

2? . 3

·6·

(Ⅰ)求 ? 的值;

(Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? -

? ? ?? , 上的值域; ? 6 3? ?

(Ⅲ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 单调增区间.

? 个单位长度得到,求 y ? g ( x) 的 2

错误!未指定书签。(天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) 在△ABC 中,a,b,c 分 . )
?

别为角 A,B,C 的对边,A 为锐角,已知向量 p =(1, 3 cos (1)若 a -c =b -mbc,求实数 m 的值;
2 2 2

? ? A ? A ), q =(2sin ,1-cos2A),且 p ∥ q . 2 2

(2)若 a= 3 ,求△ABC 面积的最大值,以及面积最大是边 b,c 的大小.

错误!未指定书签。(天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题) .

设函数 f ( x) ? cos( x ? (Ⅰ) 求 f ( x ) 的值域;

2 x ? ) ? 2 cos 2 , x ? R . 3 2

(Ⅱ) 记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,若 f ( B) ? 1, b ? 1 , c ? 3 , 求 a 的值.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 理 试 卷 ) 已 知 向 量 .

1? ? a ? (sin x,?1), b ? ? 3 cos x,? ? ,函数 f ( x) ? a ? b · a ? 2 2? ? (1)求函数 f (x) 的最小正周期 T 及单调减区间
(2)已知 a, b, c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 且 f ( A) ? 1 ,求
·7·

? ?

A,b 和△ABC 的面积 S

错误!未指定书签。 (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) 已知函数 . )

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x f ( x) ? ?1. sin x
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.

? ? 4 2

错误!未指定书签。(天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)(本小题满分 13 分)在△ .

ABC 中,A,C 为锐角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 cos 2 A= , sinC = (1)求 cos (A+C ) 的值; (2)若 a-c= 2-1 ,求 a,b,c 的值; (3)已知 tan (? +A+C )=2 ,求

3 5

10 。 10

1 的值。 2 sin ? cos ? + cos 2 ?

错误!未指定书签。(天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题) . (本小题满分 13 分,已知

函数 f (x)= 3 sin (2 x-

?
6

)+2 sin 2 (x-

?
12

)(x ? R)

(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求使函数 f (x) 取得最大值的 x 集合;
·8·

(3)若 ? ? (0,

?

5 ) ,且 f (? )= ,求 cos 4? 的值。 3 2

错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知函数 .

f(x)=2cosxsin(x+π /3)- 3 sin x+snxcosx (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)将函数 f(x)的图象沿水平方向平移 m 个单位后的图象关于直线 x=π /2 对称,求 m 的最小正值.

2

错误!未指定书签。(天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)已知 .

A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ),且 5 |AB|=2, (1)求 cos(α -β )的值; (2)设 α ∈(0,π /2),β ∈(-π /2,0),且 cos(5π /2-β )=-5/13,求 sinα 的值.
错误!未指定书签。 (天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学) 已知函数 f(x) .

=sin ? x ?

? ?

7? ? 3? ? ? ? +cos ? x ? ? ,x∈R(共 12 分) 4 ? 4 ? ?
4 4 ? ,cos( ? + ? )= - ,0< ? < ? ≤ ,求证:[f( ? )] 5 5 2

(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 分) (6 (2) 已知 cos( ? - ? )= (6 分)
2

-2=0.

错误!未指定书签。(天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学)在△ABC 中,A,B 为锐 .

角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 cos2a= (1)求 A+B 的值; 分) (7 (2)若 a-b= 2 -1,求 a,b,c 的值。 分) (5
·9·

3 10 ,sinB= (共 12 分) 5 10

错误!未指定书签。 (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(理)试题)已知函数 .

f ( x) ? sin2 x ? 2 3sin x cos x ? 3cos2 x , x ? R .求:
(I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (II) 求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的值域. 6 3

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 在 △ABC . ??? ???? ??? ???? ? ? 2 2 中, AB ? AC ? AB ? AC ? 2 ;(1)求:AB +AC 的值;(2)当△ABC 的面积最大时,求 A 的大小.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 数 学 理 试 题 ) 已 知 函数 .

f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x ? sin( x ? ) , x ? R 2
(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)若 x ? ??

?

? ? ?? , ,求函数 f (x) 的值域 ? 12 2 ? ?

错误! 未指定书签。 天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学) ( . 已知函数 f(x)=-1+2 3sinxcosx

+2cos2x. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标; (3)若角 α,β 的终边不共线,且 f(α)=f(β),求 tan(α+β)的值.
·10·

错误!未指定书签。(天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷) . (本小题满分 13 分)已

知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R)

(1)求 f (x) 的单调递增区间; (2)在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f ( A) ?

1 ,b,a,c 成等差数列,且 2

AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.

·11·

最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编:三角函数参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

B 【答案】B

【解析】边 7 对角为 ? ,则由余弦定理可知 与最小角的和为 120 ,选 B.
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。
?

cos ? =

52 ? 82 ? 7 2 1 = 2? 5?8 2 ,所以 ? =60? ,所以最大角

B D C B A C 【答案】D

【解析】由 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,得 1 ? 2 cos A ? 0, cosA ?

? 1 ,所以 A ? 。有正弦定理得 3 2

3 2 ? a b 2 ? ? ,即 ,因为 b ? a ,所以 B ? A ,即 B ? 。由 ? sin B ,得 sin B ? sin 4 sin A sin B 2 3
余 弦 定 理 得 a 2 ? b2 ? c2 ? bc o s A 3 ? 2 ? c 2 ? 2c , 即 c 2 ? 2c ? 1? 0, 解 得 得 2 c

c?

2? 6 2? 6 2 1? 3 ,所以 BC 边上的高为 h ? c sin B ? ,选 D. ? ? 2 2 2 2

错误!未找到引用源。 【答案】C

【解析】把函数 y = sin x(x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 ? 个单位长度,得到函数

3

y ? sin( x ?

?
3

) ,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函数
2

y ? sin(2x ?

?
3

) ,所以选 C.

错误!未找到引用源。 【答案】D

【解析】由 sin A cos A ? sin B cos B 得 sin 2 A ? sin 2B ? sin(? ? 2B) ,所以 2 A ? 2 B 或

·12·

2 A ? ? ? 2 B ,即 A ? B 或 A ? B ?
错误!未找到引用源。 【答案】B

?
2

,所以三角形为等腰或直角三角形,选 D.

【解析】当

2? 7? 2? ? ? 7? ? ? 3? ?x? ? ? x? ? ? ,即 ? ? x ? ? 时, ,此时函数 3 6 3 3 3 6 3 3 2

y ? sin( x ?

?

2? 7? ? ) 单调递减,所以 y ? sin( x ? ) 在区间 [ , ] 上是增函数,选 B. 3 3 6 3

错误!未找到引用源。 【答案】C

【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x sin x ? sin 2 x(1 ? 2sin x) ? sin 2 x cos 2 x ?
2 2

数的周期为 T ?

2?

?

?

2? ? ? ,选 C. 4 2

1 sin 4 x ,所以函 2

错误!未找到引用源。

【答案】C

【 解 析 】 把 函 数 y ? s i n x(?2

?
4

的) 象 向 右 平 移 图

y ? s i n [ ? ( ? )? x2 8 4

?

?

? 个 单 位 , 得 到 函 数 8

) x ,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,则所得图象 s i n 2

对应的函数解析式是 y ? sin[2(2 x)] ? sin 4 x ,选 C.
错误!未找到引用源。

【答案】A

【 解 析 】 函 数 为 偶 函 数 , 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 所 以 排 除 B,D. 又 0 ? cos x ? 1 , 所 以

y ? l n c o x ? ,排除 C,选 A. s 0
错误!未找到引用源。 【答案】D S? ABC ?
2 2 2 0

1 1 3 bc sin1200 ? 3 ,即 c ? ? 3 ,所以 c ? 4 ,所 2 2 2

以 a ? b ? c ? 2bc cos120 ? 21 , 所 以 a ?

21 。 因 为

a b ? ? 2R , 所 以 sin A sin B

2R ?

a?b 2 R(sin A ? sin B) a 21 ? ? 2 R ? 2 7 ,选 D. ? ? 2 7 ,所以 sin A ? sin B sin A ? sin B sin A 3 2

错误!未找到引用源。 【答案】B



f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 当 6 ? ? ? 7? ? 7? 0 ? x ? , 0 ? 2x ? ? , ? 2x ? ? , 所 以 当 2x ? ? 时 , 函 数 f ( x) 有 最 小 值 2 6 6 6 6 6
:
·13·

?

f ( x) ? 2sin(

7? 1 ) ? 1 ? 2 ? ( ? ) ? 1 ? ?2 ,选 B. 6 2
a7 ? a3 1 ? 2 . b3 ? , a6 ? 9 , 4 3
t a ?n B
,

错误!未找到引用源。 【答案】B

解:由题意知 a3 ? ?4, a7 ? 4 ,所以 a7 ? a3 ? 3tan A ,所以 tan A ? 所 以

a6 ? b3 (tan B)3

,



tan 3 B ? 27

,





3 所



t

a ?n ? A B (

t a?n B t ? n A a 2 3 ? ) ? ? ? , 即 tan C ? 11 因 为 t a nB ? 3 0, 所 以 最 大 值 , 1 ? tA a Bn ? t ? a n 1 2 3

B ? 90? ,即三角形为锐角三角形,选 B.
错误!未找到引用源。 【答案】D

解:由正弦定理得

a b 2 ? ,即 a sin B ? b sin A .所以由 a sin A sin B ? b cos A ? 2a 得 sin A sin B b b sin 2 A ? b cos2 A ? 2a ,即 b ? 2a ,所以 ? 2 ,选 D. a
【答案】B

错误!未找到引用源。

解 : 函 数

?? ? f ( x) ? 2 sin? 2 x ? ? 的 图 像 向 右 平 移 ? (? ? 0) 个 单 位 得 到 4? ?

? ? 1 y ? 2sin[2( x ? ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ? 2? ) ,再将图像上每一点横坐标缩短到原来的 倍得 4 4 2
到 y ? 2sin(4 x ?

?

4x ?

?
4

? 2? ? 4 ?

?

4

? 2? ) , 此 时 ?

关 于 直 线 x?

?

?
4

4

? 2? ?

?
2

? k? , k ? Z ,所以 2? ? 3? ,选 B. 8

3? 3? k? ? k? , ? ? ? ,k ?Z , 4 8 2

4

对 , 即 当 x?

?

4

时 ,

所以当 k ? 0 时, ? 的最小正值为 ? ?
二、填空题 错误!未找到引用源。 【答案】③④

1 1 1 f ( x) ? sin x cos x ? sin 2 x sin 2 x1 = ? sin 2 x2 f ( x1 )= ? f ( x2 ) 2 2 【解析】函数 ,若 ,即 2 ,所


sin 2 x1 = ? sin 2 x2





sin 2 x1 = sin(?2 x2 )







2 x1 = ? 2 x2 ? 2k?
??



2 x1 =? ? 2 x2 ? 2k? , k ? Z
?

,所以①错误; ? ? 2, 所以周期

T?

2?

?

,所以②错误;当

?
4

?x?

?
4 时 ,

?

?
2

? 2x ?

?
2 , 函 数 递 增 , 所 以 ③ 正 确 ; 当
·14·

x?

3? 4 时 ,

f(

3? 1 3? 1 3? 1 ) ? sin 2 ? )= sin ( =? 4 2 4 2 2 2 为最小值,所以④正确。
2011 2

错误!未找到引用源。 【答案】

sin A sin B tan A? B tan cos Acos B ? tanC ( tan A+ tan B) sinC( sin A ? sin B ) cos C cos A cos B 【解析】 sin A sin B sin A sin B cos C sin A sin B cos C cos Acos B ? = = sinC sin Acos B ? cos A sin B sinC sin A ? B ( ) sin 2 C ? cos C cos Acos B
ab a 2 ? b2 ? c 2 2012c 2 ? c 2 2011 。 = 2? ? ? c 2ab 2c 2 2
错误!未找到引用源。 【答案】

6 2

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 ,所 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 以函数 得 ) = 2s i n ( ? 2 ? ) = 2 i n ( ? + ?) = , 2 + s f ( x)= 2 si n ( 2x? , 由 f ( + ) 12 12 6 7? 7? 3? ? s i n( +? ) = 1 , 所 以 ? +? = ? 2k? ,k ? Z , 即 ? = ? 2k? ,k ? Z , 所 以 6 6 2 3
【解析】由图象可知 A ?

2,

f (x)= 2 sin (2 x +

? , ) f (0)= 2 sin ? ? 2 ? 3 ? 6 。 3 3 2 2

错误!未找到引用源。 【答案】①②③

11? 11? 11? ? 11? ? 3? f ) ? sin(2 ? ? )= sin( ? )= sin( )= ? 1 ,所以为最 时, ( 12 12 12 3 6 3 2 11? 2? 小值,所以图象 C 关于直线 x ? 对称,所以①正确。当 x ? 时, 12 3 2? 2? 2? ? ( ) ? sin(2 ? f ? )= sin ? =0 ,所以图象 C 关于点 ( , 0) 对称;所以②正确。 3 3 3 3 ? ? ? 5? ? 5? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? ,当 ? ? x ? 时, ? ? 2 x ? ,所以 2 2 12 12 6 6 ? ? ? 5? ? ? ? ? ? ? ? 2x ? ? ? ,即 ? ? 2 x ? ? ,此时函数单调递增,所以③正确。 6 3 3 6 3 2 3 2
【解析】当 x ?
·15·

y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

? ? 2? ) ,所以④ 个单位长度,得到 y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? 3 3 3
1 2

错误,所以正确的是①②③。
错误!未找到引用源。 【答案】 ?

【解析】因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 sin x ? cos x ,即 cos x ? sin x ? 0 ,所以 4 2

(cos x ? sin x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?

1 1 ,所以 cos x ? sin x ? ? 。 2 4

错误!未找到引用源。 【答案】等腰三角形

【 解 析 】 在 三 角 形 中

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C , 即
s ,所以 sin B cos C i? cos B sin C ?s B ? C ) ? 0 ,所 B n C 2 s i n c o sin(

s iB n
三、解答题

C o s B ? C s ? c c o

以 B ? C ,即三角形为等腰三角形。

错误!未找到引用源。解: (I)

.

…3 分



.



函数图象的对称轴方程是

……5 分

(II)



的单调增区间为

…8 分

(III)

,

…… 10 分

.
·16·

……

11 分



时,函数

的最大值为 1,最小值为

.



13 分

错误!未找到引用源。

解: (Ⅰ)由已知得: 为锐角















.--------------------6 分

(Ⅱ)∵

∴ 为锐角,








错误!未找到引用源。解:



-----------13 分
2

2 (Ⅰ) f ? x ? = ? sin ? x + cos ? x ? +2 cos ? x

=sin 2 ? x+cos2 ? x+sin 2? x+1+cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4
·17·

?

依题意得

3 2? 2? ? ,故 ? 的值为 . 2 2? 3

(Ⅱ)因为 -

?

6

?x?

?

3

, 所以 -

?

4

? 3x+

?
4

?

5? , 4

?? ? -1 ? 2 sin ? 3x+ ? ? 2 4? ?
1 ? f ? x ? ? 2+ 2 ,即 f ? x ? 的值域为 ?1,2+ 2 ? ? ?
(Ⅲ)依题意得: g ( x) ? 由 2 k? ? 9分

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?

5? ? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? (k ? Z ) 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12 ≤ 3x ?
错误!未找到引用源。

?

【 解 析 】 解 :(Ⅰ) 由 p ∥ q 得 1 ? cos 2 A ? 3 sin A

,所以

2sin 2 A ? 3 sin A
又 A 为锐角∴ sin A ? 而 a2 ? c2
? b 2 ? mbc

3 2

, cos A ? 1 2

2 2 2 可以变形为 b ? c ? a ? m 2bc 2

即 cos A ? m ? 1 2 2

,所以 m ? 1

2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? 1 , sin A ? 3 又b ?c ?a ? 1 2 2 2bc 2 2 2 2 2 2 所以 bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a 即 bc ? a

故 S?ABC ? 1 bc sin A ? 1 a 2
2 2

3 3 3 ? 2 4
4

当且仅当 b ? c ? 3 时, ?ABC 面积的最大值是 3 3
错误!未找到引用源。解:(I) f ( x) ? cos x cos

2 2 ? ? sin x sin ? ? cos x ? 1 3 3

·18·

1 3 ? ? cos x ? sin x ? cos x ? 1 2 2 1 3 ? cos x ? sin x ? 1 2 2 5? ? sin(x ? ) ?1 6
因此 f (x) 的值域为 [0,2] (II)由 f ( B) ? 1 得 sin( B ? 又因 0 ? B ? ? ,故 B ?

?
6

5? 5? ) ? 1 ? 1 ,即 sin( B ? ) ? 0, 6 6

.

解法一:由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B, 得a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 或 2.

解法二:由正弦定理 当C ?

b c 3 ? 2? ? 得 sin C ? ,C ? 或 sin B sin C 2 3 3

,从而 a ? b 2 ? c 2 ? 2 ; 3 2 2 ? ? 当 C ? ? 时, A ? , 又B ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2. 错误!未找到引用源。解: (1) f ( x) ? a ? b ? a ? 2 ? 所以,最小正周期为 T ?

?

时, A ?

?

? ?

3 1 ?? ? sin 2 x ? cos2 x ? sin? 2 x ? ? 2 2 6? ?

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

2? ?? 2

? 2k? ?

?

所以,单调减区间为 [2k? ? (2) f ( A) ? sin? 2 A ?

?
6

2 ,2k? ?

?
3

], (k ? Z )

? ?

??

? ? ? 5? ? ? ?? ? ? 1,? A ? ? 0, ?,2 A ? ? ? ? , ? , 6? 6 ? 6 6 ? ? 2?
,

?2A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

2 2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 b ? 4b ? 4 ? 0 ,解得 b ? 2

故S ?

1 bc sin A ? 2 3 2
·19·

错误!未找到引用源。解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z),

故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.…………………2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
π ? 2sin(2 x ? ) ,………………………………6 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)由 x 挝 , ], 2 x [ 当 2x ? 当 2x ?


2π ? π .…………………7 分 2

? ? 4 2

? ? ? 5? [ , ?], 2 x [ , ], …………..9 分 2 6 3 6

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,…………….11 分 6 6 2

? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .……………….13 分 6 2 3
! 未 找 到 引 用 源 。



·20·

错误!未找到引用源。

1 3 f ( x) ? 2 cos x( sin x ? cosc) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 2 2 错误!未找到引用源。

? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 sin 2 x ? sin cos x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

?
3

)

? ? 3 由 ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? , k ? Z 2 3 2 ? 7 得k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z 12 12
故函数f ( x)的单调递减区间为k? ? [

?

12

, k? ?

7? ], k ? Z . 12

y ? 2 sin( 2 x ?
(2)

?
3

,0 ) ?a ?( m?? y ? 2 sin( 2 x ? ? ?)

?
3

? 2 m)

·21·

? y ? 2 sin(2 x ? ?2?

?
3

? 2m)的图象关于直线 ? x

?
2

对称.

? 2m ? k? ? (k ? Z ) 3 2 1 ? ? m ? ? (k ? 1)? ? (k ? Z ) 2 12 5 当k ? 0时, m的最小正值为 ? . 12 2 ?

?

?

?

错误!未找到引用源。解:(1)由题知 (cos? ? cos?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 2 5 ? 2 ? 2 cos( ? ? ?) ? 4 ,所以 5 5
cos( ? ? ?) ? 3 5

(2)? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? 0 ?0 ? ? ? ? ? ? ,又 cos( ? ? ?) ? 3 ? sin(? ? ?) ? 4 . 2 2 5 5 而 cos( 5? ? ? ) ? ? 5 则 sin ? ? ? 5 ? cos ? ? 12 ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 33 13 2 13 65 13

错误!未找到引用源。 (1)f(x)=sinxcos

3? 3? 7? 7? +cosxsin +cosxcos +sinxsin 4 4 4 4

1

分 =

2 2 2 2 sinxcosxcosx+ sinx 2 2 2 2
1分 1分 1分 1分

1分

= 2 sinx- 2 cosx =2sin(x∴T=2 ? f min (x)=-2

? ) 4

(2)[f( ? )]

2

? -2=4sin ( ? - )-2=4· 4
2

1 ? cos(2? ? 2

?

) 2 -2=-2sin ? 2 分

Sin2 ? =sin[( ? + ? )+( ? - ? )] cos2 ? =-

1分

4 4 9 × =-1 5 5 25
∴sin( ? + ? )= 1分 1分 1分
·22·

3 5 3 ? 0< ? - ? < ∴sin( ? - ? )= 5 2 3 4 4 3 ∴sin2 ? = × +(- )× =0 5 5 5 5
∵0< ? + ? < ?

错误!未找到引用源。 (1)cos2A=2cos A-1=

2

3 5

∴cos A=

2

4 5

∵A 锐角,∴cosA=

2 5 5
1分

1分

sinA=

5 5 10 10
cosB=

sinB=

B 锐角

3 10 10

1分

cos(A+B)=

2 5 3 10 5 10 5 50 2 · · = = 5 10 5 10 50 2
2分

∴A+B=

? 4

5 a sin A (2)∵ = = 5 = 2 b sin B 10 10
∴?

? ?a ? 2b ?a ? b ? 2 ? 1 ?
1分
2

1分

==>b=1

1分

a= 2
2 2

C=

3? 4

1分

c =a +b -2abcosC=5 ∴c= 5
错误!未找到引用源。 【解】(I): f ( x) ?

? ? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2 6 2? ?? , ∴最小正周期 T ? 2

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ? 2 2

·23·

∵?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时 f ( x) 为单调递增函数

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ?

, k? ? ], k ? Z 3 6 ? ? 5? ? ? ? ], (II)解: ∵ f ( x) ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ,由题意得: ? ? x ? ∴ 2 x ? ? [? , 6 6 6 6 6 3 ? 1 ∴ sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] ,∴ f ( x) ?[1, 4] 6 2
∴ f ( x ) 值域为 [1, 4]
错误!未找到引用源。解:(1) AB ? AC ?|

?

?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? AB ? AC |? 2

??? ??? ??? ? ? ? AB ? AC ?| BC |? a ? 2

?b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ? ?bc cos A ? 2
? AB |2 ? | AC |2 ? b2 ? c2 ? 8 |
(2) S ?ABC ?

1 bc sin A 2

=

1 bc 1 ? cos 2 A 2

=

1 2 bc 1 ? ( )2 2 bc
1 (bc ) 2 ? 4 2

=

?

1 b2 ? c 2 2 ( ) ?4 2 2
·24·

= 3 当且仅当
错误!未找到引用源。

? 3 ? 1 (1) f ( x ) ? sin( 2 x ? ) ? , T ? ? 6 2
b=c=2 时 A=

(2) ?

?1 ? 3 3 ? , ? 2? ? 2

错误!未找到引用源。

π [解析] f(x)= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ), 6 π π 3π (1)由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z) 2 6 2 π 2π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z), 6 3 π 2π ∴f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 6 3 π π (2)由 sin(2x+ )=0 得 2x+ =kπ(k∈Z), 6 6 kπ π 即 x= - (k∈Z), 2 12 π ∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是(- ,0). 12

错误!未找到引用源。解: (1) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 6

令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) , k? ?

f (x) 的单调递增区间为 [k? ?

?
3

?
6

](k ? Z )

·25·

(2)由 f ( A) ? ∵

1 ? 1 ,得 sin( 2 A ? ) ? 2 6 2

?
6

? 2A ?

?
6

? 2? ?

?
6

,∴ 2 A ?

?
6

?

5? ? ,∴ A ? 6 3

由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c ∵ AB ? AC ? 9 ,∴ bc cos A ? 9 ,∴ bc ? 18 由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc
2 2 2 2

∴ a 2 ? 4a 2 ? 3 ? 18 ,∴ a ? 3 2

·26·


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