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高中数学必修4知识点总结:第一章 三角函数


归海木心

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高中数学必修 高中数学必修 4 知识点总结
第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 α 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 α 为第几象限角. 第一象限角的集合为

{α k ? 360 < α < k ? 360 + 90 , k ∈ Ζ} 第二象限角的集合为 {α k ? 360 + 90 < k ? 360 + 180 , k ∈ Ζ} 第三象限角的集合为 {α k ? 360 + 180 < α < k ? 360 + 270 , k ∈ Ζ} 第四象限角的集合为 {α k ? 360 + 270 < α < k ? 360 + 360 , k ∈ Ζ} 终边在 x 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 , k ∈ Ζ} 终边在 y 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 + 90 , k ∈ Ζ} 终边在坐标轴上的角的集合为 {α α = k ? 90 , k ∈ Ζ} 3、与角 α 终边相同的角的集合为 {β β = k ? 360 + α , k ∈ Ζ}
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ,则角 α 的弧度数的绝对值是 α =

l . r

? 180 ? o 6、弧度制与角度制的换算公式: 2π = 360 , 1 = ,1 = ? ? ≈ 57.3 . 180 ? π ?
o

o

π

o

7、 若扇形的圆心角为 α

(α为弧度制) ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l = r α ,C = 2r + l ,

1 1 S = lr = α r 2 . 2 2
8 、 设 α 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , α 的 终 边 上 任 意 一 点 Ρ 的 坐 标 是 ( x, y ) , 它 与 原 点 的 距 离 是

r r = x 2 + y 2 > 0 ,则 sin α =

(

)

y x y , cos α = , tan α = ( x ≠ 0 ) . r r x

y P T O 系 : M A x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin α = ΜΡ , cos α = ΟΜ , tan α = ΑΤ . 11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关

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(1) sin 2 α + cos 2 α = 1
( 2)
sin α = tan α cos α

( sin

2

α = 1 ? cos 2 α , cos 2 α = 1 ? sin 2 α )
? ?. ?



sin α ? ? sin α = tan α cos α , cos α = tan α ?

12、函数的诱导公式:

(1) sin ( 2kπ + α ) = sin α , cos ( 2kπ + α ) = cos α , tan ( 2kπ + α ) = tan α ( k ∈ Ζ ) . ( 2 ) sin (π + α ) = ? sin α , cos (π + α ) = ? cos α , tan (π + α ) = tan α . ( 3) sin ( ?α ) = ? sin α , cos ( ?α ) = cos α , tan ( ?α ) = ? tan α . ( 4 ) sin (π ? α ) = sin α , cos (π ? α ) = ? cos α , tan (π ? α ) = ? tan α .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

( 5 ) sin ? ?

? ?π ? ?π ? ?π ? ? α ? = cos α , cos ? ? α ? = sin α . ( 6 ) sin ? + α ? = cos α , cos ? + α ? = ? sin α . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

π

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 y = sin ( x + ? ) 的图象;再将函数
1

y = sin ( x + ? ) 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 ( 缩 短 ) 到 原 来 的

ω

倍(纵坐标不变) 得到函数 ,

y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. ②数 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

ω

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y = sin ω x 的图象;再将函数 y = sin ω x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ω

y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 14、函数 y = Α sin ( ω x + ? )( Α > 0, ω > 0 ) 的性质: ①振幅: Α ;②周期: Τ =



ω

;③频率: f =

1 ω = ;④相位: ω x + ? ;⑤初相: ? . Τ 2π

函数 y = Α sin ( ω x + ? ) + Β ,当 x = x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x = x2 时,取得最大值为 ymax ,则

Α=

1 1 Τ ( ymax ? ymin ) , Β = ( ymax + ymin ) , = x2 ? x1 ( x1 < x2 ) . 2 2 2
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15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y = sin x

y = cos x

y = tan x

图象

定义 域

R

R

? π ? ? x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ?

值域 当

[ ?1,1]
x = 2k π +

[ ?1,1]
当 x = 2kπ ( k ∈ Ζ ) 时, 时,

R

π
2

( k ∈ Ζ)

最值

ymax = 1 ;当 x = 2kπ ?

π
2

ymax = 1 ;当 x = 2kπ + π

既无最大值也无最小值

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
周期 性 奇偶 性 在

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .

偶函数


奇函数

π
奇函数

π π? ? ? 2 kπ ? 2 , 2 k π + 2 ? ? ?
单调 性



[ 2 kπ ? π , 2 kπ ] ( k ∈ Ζ )

( k ∈ Ζ ) 上是增函数;在
π 3π ? ? ? 2 kπ + 2 , 2 kπ + 2 ? ? ?

上是增函数;在 [ 2kπ , 2kπ + π ]

在 ? kπ ?

? ?

π
2

, kπ +

π?

? 2?

( k ∈ Ζ ) 上是减函数.

( k ∈ Ζ ) 上是增函数.

( k ∈ Ζ ) 上是减函数.
对 对称 性 称 中 心 对 称 中 心

( kπ , 0 )( k ∈ Ζ )
对 称 轴

? ? ? kπ + , 0 ? ( k ∈ Ζ ) 2 ? ?
对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )

π









x = kπ +
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π
2

? kπ ? , 0 ? (k ∈ Ζ) ? ? 2 ?
无对称轴

(k ∈ Ζ)

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第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a ? b ≤ a + b ≤ a + b . ⑷运算性质:①交换律: a + b = b + a ; ②结合律: a + b + c = a + b + c ;③ a + 0 = 0 + a = a . ⑸坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(r )
r

r

r

(

r

r

)

r r

r

r

r

C r a Α

r

r

r

r

r b

Β

r

r

r

r

uuu r 设 Α 、Β 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) , ΑΒ = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 则
19、向量数乘运算: r r ⑴实数 λ 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 λ a . ①

r r r r uuur uuu uuu a ? b = ΑC ? ΑΒ = ΒC

λa = λ a ;
r r r r

r

r

②当 λ > 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同; λ < 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反; λ = 0 时,λ a = 0 . 当 当 ⑵运算律:① λ ( ? a ) = ( λ? ) a ;② ( λ + ? ) a = λ a + ? a ;③ λ a + b = λ a + λb . ⑶坐标运算:设 a = ( x, y ) ,则 λ a = λ ( x, y ) = ( λ x, λ y ) . 20、向量共线定理:向量 a a ≠ 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b = λ a . 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,其中 b ≠ 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 = 0 时,向量 a 、 b b ≠ 0 共线.

r

r

r

r

r

r

r

(

r

r

)

r

r

r

r

r r

(

r

)

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

(

r

)

ur r

uu r ur uu r ur uu r

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基 有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . 底)
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r

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22、分点坐标公式: 设点 Ρ 是线段 Ρ1Ρ 2 上的一点,Ρ1 、Ρ 2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) ,当 Ρ1Ρ = λ ΡΡ 2 时,点 Ρ 的坐标是 ?

uuu r

uuur

? x1 + λ x2 y1 + λ y2 ? (当 , ? . λ = 1时,就为中点公式。) 1+ λ ? ? 1+ λ

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b = a b cos θ a ≠ 0, b ≠ 0, 0 ≤ θ ≤ 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
o o

r r

r r
r

(r

r r

r

)

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ⊥ b ? a ? b = 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b = a b ;当 a 与 b 反 向时, a ? b = ? a b ; a ? a = a = a 或 a =

r

r

r

r r

r

r

r r

r r

r

r

r r

r r

r r

r2

r2 r

r

r r r r r r a ? a .③ a ? b ≤ a b . r r r r r r r ( λb ) ;③ ( a + b ) ? c = a ? c + b ? c . r r r

⑶运算律:① a ? b = b ? a ;② ( λ a ) ? b = λ a ? b = a ?

r r

r r

r

(r )
r

⑷坐标运算:设两个非零向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 . 若 a = ( x, y ) , 则 a = x + y
2

r

r r

r

r2

2

, 或 a =

r

x2 + y 2 .

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , 则

r

r

r r a ⊥ b ? x1 x2 + y1 y2 = 0 .
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , θ 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

r

r

r

r

r

r

r r a ?b x1 x2 + y1 y2 cosθ = r r = . 2 2 a b x12 + y12 x2 + y2
第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ;⑵ cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ⑶ sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ;⑷ sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; ⑸ tan (α ? β ) = ⑹ tan (α + β ) =

tan α ? tan β ? 1 + tan α tan β tan α + tan β ? 1 ? tan α tan β

( tan α ? tan β = tan (α ? β )(1 + tan α tan β ) ) ; ( tan α + tan β = tan (α + β )(1 ? tan α tan β ) ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2α = 2sin α cos α . ? 1 ± sin 2α = sin 2 α + cos 2 α ± 2 sin α cos α = (sin α ± cos α ) 2 ⑵ cos 2α = cos
2

α ? sin 2 α = 2cos2 α ?1 = 1 ? 2sin 2 α
α
2 ,1 ? cos α = 2 sin 2

? 升幂公式 1 + cos α = 2 cos 2

α
2

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? 降幂公式 cos 2 α =
⑶ tan 2α =

cos 2α + 1 1 ? cos 2α 2 , sin α = . 2 2

2 tan α . 1 ? tan 2 α
: 1 + cos α α ; sin = ± 2 2 1 ? cos α 2

万能公式

: 2 tan

26、半角公式
cos tan α = ± 2 α = ± 2

1 ? cos α sin α 1 ? cos α = = ? (后两个不用判断符号,更加好用) 1 + cos α 1 + cos α sin α

α α 1 ? tan 2 2 ; cos α = 2 sin α = α α 1 + tan 2 1 + tan 2 2 2

27、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” y = A sin(?x + ? ) + B 的 形式。 Α sin α + Β cos α =

Α 2 + Β 2 sin (α + ? ) ,其中 tan ? =

Β . Α

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2α 是 α 的二倍; 4α 是 2α 的二倍; α 是 ② 15 = 45 ? 30 = 60 ? 45 =
o o o o o

α
2

的二倍;

α
2



α
4

的二倍;

30 o π ;问: sin = 2 12 ?(

; cos

π
12

=



③ α = (α + β ) ? β ;④

π
4

+α =

π
2

π
4

?α) ;

⑤ 2α = (α + β ) + (α ? β ) = (

π
4

+α) ? (

π
4

? α ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常 化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 = sin 2 α + cos 2 α = tan α cot α = sin 90 o = tan 45 o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

1 + cos α 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:
1 + tan α 1 ? tanα = _______________ ; = __________ ; ____ 1 ? tan α 1 + tanα





(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

tan α + tan β = ____________ ; 1 ? tan α tan β = ___________ ; tan α ? tan β = ____________ ; 1 + tan α tan β = ___________ ;

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2 tan α =

; 1 ? tan α =
2

; ; ; = ; 其中 (

tan 20 o + tan 40 o + 3 tan 20 o tan 40 o = sin α + cos α =
a sin α + b cos α =
=

tan ? =

; )

1 + cos α =

; 1 ? cos α =



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值 与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50 o (1 + 3 tan 10 o ) = ; 。

tan α ? cot α =

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