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福建省泉州市南安一中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷


福建省泉州市南安一中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列结论一定成立的是() A.a>bc B. < C.a﹣c>b﹣c D.a >b
2 2

2.已知数列{an}为等差数列,若 a1+a9=24,则 a5=() A.24 B.12 C. 6 3.在△ ABC 中,a=4,b=7,sinB= ,则 sinA=() A. B.
2

D.2

C.

D.

4.在等比数列{an}中,若 a5,a6 是方程 x ﹣4x+1=0 的两个根,则 a4?a7=() A.2 B.﹣1 C. 1 D.±1 5.在△ ABC 中,a =b +c +bc,则 A 的值是() A. B. C. D.
2 2 2

6.设 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最小值是()

A.﹣1

B.11

C. 2

D.1

7.据科学计算,运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为 2km, 以后每秒钟通过的路程增加 2km,经过 15 秒火箭与飞船分离,则这 15 秒火箭共飞行了() A.480km B.65534km C.120km D.240km 8.不等式 x ﹣2x+1≥a ﹣2a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,0]∪[2,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪[0,+∞) C. [0,2] D.[﹣2,0] 9. 《莱因德纸草书》 (Rhind papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.该书中有一道这样 的题目:100 个面包分给 5 个人,每人一份,若按照每个人分得的面包个数从少到多排列, 可得到一个等差数列,其中较多的三份和的 等于较少的两份和,则最多的一份面包个数为 ()
2 2

A.35

B.32

C.30

D.27

10.在△ ABC 中,a=3,b=x,cosB= ,若△ ABC 有两解,则 x 的取值范围是() A.(3,+∞)
2

B. (
2

,+∞)
2

C. (

,3)

D.(0,



11.不等式 x ﹣x﹣2≥0 和 x ﹣(2a+1)x+a +a>0 的解集分别为 A 和 B,且 A?B,则实数 a 取值范围是() A.(0,1) B.[0,1] C.[﹣1,1] D.(﹣1,1) 12.如图所示,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°;从 C 点测得 ∠MCA=45°.已知山高 BC=150 米,则所求山高 MN 为()米.

A.300

B.150

C.150

D.300

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.在△ ABC 中,BC=4,AC=5,AB= ,则内角 C=. 14.已知正数 a,b 满足 a+b=3,则 a?b 的最大值为.

15. 已知数列{an}满足 an=

, a1=2, 则数列{an}的前 6 项和 S6=.

16.已知

=(2,﹣3) ,

=(1,5) ,若将满足条件

的动点 M 所表示的平面

区域记为 D.则单位圆 x +y =1 落在区域 D 内的部分的弧长为.
2 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,演算过程或证明步骤. 2 17.已知函数 f(x)=x +bx+c(x∈R) ,且 f(x)<0 的解集为(﹣2,0) . (Ⅰ)求 b,c 的值; * (Ⅱ)若数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n) ,n∈N ,求数列{an}的通项公式 an.

18.已知函数 f(x)=x+

,定义域为 D.

(Ⅰ)若 D=(1,+∞) ,求函数的 f(x)最小值; (Ⅱ)若 D=(﹣∞,1)∪(1,+∞)时, (x﹣1)f(x)>mx 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 19. 已知△ ABC 的三个内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 B 为锐角, 且 a、b、c 成等比数列. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)判断△ ABC 的形状. a﹣2bsinA=0,

20.某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机,每台 A 型或 B 型电视机所 得利润分别为 6 和 4 个单位, 而生产一台 A 型或 B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3 个单位; 所需工时分别为 4 和 2 个单位,如果允许使用的原料为 100 单位,工时为 120 单位,且 A 或 B 型电视和产量分别不低于 5 台和 10 台,应当生产每种类型电视机多少台,才能使利润 最大? 21.某海域的东西方向上分别有 A,B 两个观测点(如图) ,它们相距 5(3+ )海里.现 有一艘轮船在 D 点发出求救信号,经探测得知 D 点位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°, 这时,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 海里的 C 点有一救援船,其航行速度为 30 海里/小时. (Ⅰ)求 B 点到 D 点的距离 BD; (Ⅱ)若命令 C 处的救援船立即前往 D 点营救,求该救援船到达 D 点需要的时间.

22.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足(p﹣1)Sn=p ﹣an(p>0,p≠1) ,且 a3= . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=
2

2

,数列{bnbn+2}的前 n 项和为 Tn,若对于任意的正整数 n,都有

Tn<m ﹣m﹣ 成立,求实数 m 的取值范围.

福建省泉州市南安一中 2014-2015 学年高一下学期期末 数学试卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 1.若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列结论一定成立的是() A.a>bc B. < C.a﹣c>b﹣c D.a >b
2 2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 举反例可知 A、B、D 不能恒成立,故选 C. 解答: 解:若 a=1,b=c=﹣1,故 A 不成立,B 不成立,D 不成立; ∵a>b,∴a﹣c>b﹣c,故 C 成立. 故选 C. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 2.已知数列{an}为等差数列,若 a1+a9=24,则 a5=() A.24 B.12 C. 6 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由等差数列的性质和题意易得答案. 解:由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5, =12

D.2

∴a5= (a1+a9)=

故选:B 点评: 本题考查等差数列的通项公式和性质,属基础题. 3.在△ ABC 中,a=4,b=7,sinB= ,则 sinA=() A. B. C. D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,把 a,b,sinB 的值代入计算即可求出 sinA 的值. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a=4,b=7,sinB= ,

∴由正弦定理

=

,得:sinA=

=

= ,

故选:A. 点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 4.在等比数列{an}中,若 a5,a6 是方程 x ﹣4x+1=0 的两个根,则 a4?a7=() A.2 B.﹣1 C. 1 D.±1 考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可. 解答: 解:∵a5,a6 是方程 x ﹣4x+1=0 的两个根, ∴a5a6=1, 则在等比数列{an}中,a4?a7=a5a6=1, 故选:C 点评: 本题主要考查等比数列的性质的应用,比较基础. 5.在△ ABC 中,a =b +c +bc,则 A 的值是() A. B. C. D.
2 2 2 2 2

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 直接利用余弦定理,化简求解即可. 解答: 解:因为在△ ABC 中,a =b +c +bc, 所以 cosA= 所以 A= . = =﹣ ,
2 2 2

故选:C. 点评: 本题考查余弦定理的应用,基本知识的考查.

6.设 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最小值是()

A.﹣1

B.11

C. 2

D.1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值

解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=x+2y 得 y=﹣ x+z 平移直线 y=﹣ x+z, 由图象可知当直线 y=﹣ x+z 经过点 A(3,﹣2)时, 直线 y=﹣2x+z 的截距最小, 此时 z 最小. 将 A(3,﹣2)的坐标代入目标函数 z=x+2y, 得 z=﹣1.即 z=x+2y 的最小值为﹣1; 故选 A.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 结合目标函数的几何意义, 利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 7.据科学计算,运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为 2km, 以后每秒钟通过的路程增加 2km,经过 15 秒火箭与飞船分离,则这 15 秒火箭共飞行了() A.480km B.65534km C.120km D.240km 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得这 15 秒内每秒的飞行路程构成 2 为首项,2 为公差的等差数列,由等 差数列的求和公式可得. 解答: 解:由题意可得这 15 秒内每秒的飞行路程构成 2 为首项,2 为公差的等差数列, ∴这 15 秒火箭共飞行了 15×2+ ×2=240(km)

故选:D 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题.

8.不等式 x ﹣2x+1≥a ﹣2a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,0]∪[2,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪[0,+∞) C. [0,2] D.[﹣2,0] 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 问题转化为(x﹣1) ≥a ﹣2a 对任意实数 x 恒成立,即 a ﹣2a≤0,解出即可. 2 2 解答: 解:不等式 x ﹣2x+1≥a ﹣2a 对任意实数 x 恒成立 2 2 ?(x﹣1) ≥a ﹣2a 对任意实数 x 恒成立 2 ?a ﹣2a≤0,解得:0≤a≤2, 故选:C. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查不等式的解法,是一道基础题. 9. 《莱因德纸草书》 (Rhind papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.该书中有一道这样 的题目:100 个面包分给 5 个人,每人一份,若按照每个人分得的面包个数从少到多排列, 可得到一个等差数列,其中较多的三份和的 等于较少的两份和,则最多的一份面包个数为 () A.35
2 2 2

2

2

B.32

C.30

D.27

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得首项和公差的方程组,解方程组再由通项公式可得. 解答: 解:由题意可得递增的等差数列{an}共 5 项,设公差为 d, 由题意可得总和 S=a1+a2+a3+a4+a5=100, 又 (a3+a4+a5)=(a1+a2) , ∴a1+a2=2a1+d=25,且 a3+a4+a5=3a1+9d=75, 联立解得 a1=10,d=5, ∴最多的一份为 a5=a1+4d=30 故选:C 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 10.在△ ABC 中,a=3,b=x,cosB= ,若△ ABC 有两解,则 x 的取值范围是() A.(3,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: B. ( ,+∞) C. ( ,3) D.(0, )

正弦定理. 解三角形. △ ABC 有两解时需要:bsinA<a<b,代入数据,求出 x 的范围. 解:由题意得,△ ABC 有两解时需要:bsinA<a<b, ,

则 xsinA<3<x,解得 3<x<

所以 x 的取值范围是(3,

) ,

比较各个选项可得(3,+∞) , 故选:A. 点评: 本题考查了解三角形一题多解的问题,注意理解,属于基础题. 11.不等式 x ﹣x﹣2≥0 和 x ﹣(2a+1)x+a +a>0 的解集分别为 A 和 B,且 A?B,则实数 a 取值范围是() A.(0,1) B.[0,1] C.[﹣1,1] D.(﹣1,1) 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用;集合. 分析: 解不等式 x ﹣x﹣2≥0 与不等式 x ﹣(2a+1)x+a +a>0,求出集合 A、B; 再由 A?B,列出关于 a 的不等式组,求出解集即可. 2 解答: 解:解不等式 x ﹣x﹣2≥0,得 x≤﹣1 或 x≥2, ∴A=(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) ; 解不等式 x ﹣(2a+1)x+a +a>0,得 x<a 或 x>a+1, ∴B=(﹣∞,a)∪(a+1,+∞) ; 又 A?B, ∴ ,
2 2 2 2 2 2 2 2

解得﹣1<a<1, ∴实数 a 的取值范围是(﹣1,1) . 故选:D. 点评: 本题考查了不等式的解法与应用问题, 也考查了集合基本关系的应用问题, 是基础 题目. 12.如图所示,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°;从 C 点测得 ∠MCA=45°.已知山高 BC=150 米,则所求山高 MN 为()米.

A.300

B.150

C.150

D.300

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形.

分析: 由题意,通过解△ ABC 可先求出 AC 的值,解△ AMC,由正弦定理可求 AM 的值, 在 RT△ MNA 中,AM=300 m,∠MAN=60°,从而可求得 MN 的值. 解答: 解:在 RT△ ABC 中,∠CAB=30°,BC=150m,所以 AC=300m. 在△ AMC 中,∠MAC=105°,∠MCA=45°,从而∠AMC=30°, 由正弦定理得, 在 RT△ MNA 中,AM=300 得 MN=300 × =150 ,因此 AM=300 m,∠MAN=60°,由 m; m.

故选 B. 点评: 本题主要考察了正弦定理的应用,考察了解三角形的实际应用,属于中档题 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.在△ ABC 中,BC=4,AC=5,AB= ,则内角 C=60°. 考点: 专题: 分析: 值. 解答: 余弦定理. 解三角形. 由题意和余弦定理求出 cosC 的值,再由内角的范围和特殊角的余弦值求出角 C 的 解:由题意知,在△ ABC 中,BC=4,AC=5,AB= = = , ,

由余弦定理得,cosC=

又 0<C<180°,则 C=60°, 故答案为:60°. 点评: 本题考查余弦定理的应用,注意内角的范围,属于基础题.

14.已知正数 a,b 满足 a+b=3,则 a?b 的最大值为 .

考点: 专题: 分析: 解答: ∴3 化为

基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵正数 a,b 满足 a+b=3, , ,当且仅当 a=b= 时取等号.

则 a?b 的最大值为 . 故答案为: . 点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题.

15. 已知数列{an}满足 an=

, a1=2, 则数列{an}的前 6 项和 S6=3.

考点: 数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过关系式 an= 找出周期,进而计算可得结论. 解答: 解:∵an= ,a1=2, 及首项 a1=2,通过写出前几项的值

∴a2=

=

=﹣1,

a3=

=

= ,

a4=

=

=2,

∴数列{an}是以 3 为周期的周期数列, 且前 3 项和 S3=﹣1+ +2= , ∴S6=2S3= =3,

故答案为:3. 点评: 本题考查数列的前 n 项和,找出周期是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属 于中档题.

16.已知

=(2,﹣3) ,

=(1,5) ,若将满足条件

的动点 M 所表示的平面

区域记为 D.则单位圆 x +y =1 落在区域 D 内的部分的弧长为
2 2



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先求出向量 的夹角,然后对满足不等式组的 M 的集合表示出来. = ,

解答: 解:由已知,cos∠AOB=

所以∠AOB=



而满足条件 90°的向量的集合,如图 ∠COD= 故答案为: .

的动点 M 所表示的平面区域是与向量



的夹角都小于等于



点评: 本题考查了平面向量的数量积以及夹角;关键是明确满足不等式组的动点的集合. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,演算过程或证明步骤. 2 17.已知函数 f(x)=x +bx+c(x∈R) ,且 f(x)<0 的解集为(﹣2,0) . (Ⅰ)求 b,c 的值; * (Ⅱ)若数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n) ,n∈N ,求数列{an}的通项公式 an. 考点: 数列递推式;一元二次不等式的解法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 2 分析: (Ⅰ)通过﹣2 和 0 是方程 x +bx+c=0 的两根,利用韦达定理计算即得结论; (Ⅱ)利用 an=Sn﹣Sn﹣1 计算即得结论. 2 解答: 解: (Ⅰ)∵x +bx+c<0 的解集为(﹣2,0) , 2 ∴﹣2 和 0 是方程 x +bx+c=0 的两根, ∴x1+x2=﹣b=﹣2,x1x2=c=0, ∴b=2,c=0; (Ⅱ)∵b=2,c=0,

∴Sn=f(n)=n +2n, ∴an=Sn﹣Sn﹣1 2 2 =(n +2n)﹣[(n﹣1) +2(n﹣1)] =2n+1(n≥2) , 又∵a1=S1=1+2=3 满足上式, ∴an=2n+1. 点评: 本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题. 18.已知函数 f(x)=x+ ,定义域为 D.

2

(Ⅰ)若 D=(1,+∞) ,求函数的 f(x)最小值; (Ⅱ)若 D=(﹣∞,1)∪(1,+∞)时, (x﹣1)f(x)>mx 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)因为 x>1,对函数的 f(x)变形为积为定值的情况,利用基本不等式求最 值; 2 (Ⅱ)将所求转化为二次不等式 x ﹣(m+1)x+4>0 恒成立的问题解答. 解答: 解: (Ⅰ)当 D=(1,+∞) ,即 x>1,∴ ∴f(x)=x+ =x﹣1+ +1 >0,x1>0… +1=5(当且仅当 x=3 取等号)

∴函数的 f(x)最小值为 5.… (Ⅱ)D=(﹣∞,1)∪(1,+∞)时, (x﹣1)f(x)>mx 恒成立,化为 x ﹣(m+1)x+4 >0 恒成立, 2 2 当△ =(m+1) ﹣16<0 即﹣5<m<3 时,x ﹣(m+1)x+4>0 恒成立… 2 当△ =(m+1) ﹣16=0 即 m=3 或 m=﹣5 时,均不合题意 综上所述,﹣5<m<3.… 点评: 本题考查了利用基本不等式求函数的最值以及二次函数恒成立问题; 利用基本不等 式时注意不等式成立的三个条件. 19. 已知△ ABC 的三个内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 B 为锐角, 且 a、b、c 成等比数列. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)判断△ ABC 的形状. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理进行求解即可求角 B 的大小; (Ⅱ)结合等差数列以及正弦定理进行判断即可. 解答: 解: (Ⅰ)由 a﹣2bsinA=0 可得 , a﹣2bsinA=0,
2

由正弦定理 解得 sinB= .

=

. )

又∵B 为锐角, ∴B= .
2

(Ⅱ)∵a,b,c 成等比数列,∴ac=b . ∴cosB=
2 2

=

= ,

化简得 a +c ﹣2ac=0, 解得 a=c. ∴△ABC 是等边三角形. 点评: 本题主要考查解三角形的应用, 三角形的形状的判断, 利用正弦定理和余弦定理是 解决本题的关键. 20.某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机,每台 A 型或 B 型电视机所 得利润分别为 6 和 4 个单位, 而生产一台 A 型或 B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3 个单位; 所需工时分别为 4 和 2 个单位,如果允许使用的原料为 100 单位,工时为 120 单位,且 A 或 B 型电视和产量分别不低于 5 台和 10 台,应当生产每种类型电视机多少台,才能使利润 最大? 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,由已知我们可设设生产 A 型电视机 x 台,B 型电视机 y 台,则根据已知条件,我们可以列出变量 x,y 的约束条件及目标函数 Z 的解析式,利用线性规划的方法,易求出答案. 解答: 解:设生产 A 型电视机 x 台,B 型电视机 y 台,则根据已知条件线性约束条件为

,即

线性目标函数为 z=6x+4y. 根据约束条件作出可行域如图所示,作 3x+2y=0. 当直线 l0 平移至过点 A 时,z 取最大值, 解方程组 得

生产两种类型电视机各 20 台,所获利润最大.

点评: 在解决线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等 式组,即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系 ?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中. 21.某海域的东西方向上分别有 A,B 两个观测点(如图) ,它们相距 5(3+ )海里.现 有一艘轮船在 D 点发出求救信号,经探测得知 D 点位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°, 这时,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 海里的 C 点有一救援船,其航行速度为 30 海里/小时. (Ⅰ)求 B 点到 D 点的距离 BD; (Ⅱ)若命令 C 处的救援船立即前往 D 点营救,求该救援船到达 D 点需要的时间.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理,求出 BD, (Ⅱ)在△ DCB 中,利用余弦定理求出 CD,根据速度求出时间. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知 AB=5(3+ )海里, ∠DBA=90°﹣60°=30°,∠DAB=90°﹣45°=45°, ∴∠ADB=180°﹣(45°+30)°=105°,… 在△ DAB 中,由正弦定理得 ∴DB= = = =10 (海里) … = = ,

(Ⅱ)在△ DBC 中,∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°﹣60°)=60°,… BC=20 (海里) ,由余弦定理得

CD =BD +BC ﹣2BD?BC?cos∠DBC=300+1200﹣2×10 ∴CD=30(海里) ,则需要的时间 t= 答:救援船到达 D 点需要 1 小时.… =1(小时) .…

2

2

2

×20

× =900,…

点评: 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用, 解三角形的实际问题的应用, 考查计算能 力.
2

22.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足(p﹣1)Sn=p ﹣an(p>0,p≠1) ,且 a3= . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=
2

,数列{bnbn+2}的前 n 项和为 Tn,若对于任意的正整数 n,都有

Tn<m ﹣m﹣ 成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)令 n=1,2,3,运用条件,求得 p=3,再由数列的通项和前 n 项和的关系, 结合等比数列的定义、通项公式,可得所求通项; (Ⅱ)化简 bn,再由裂项相消求和,可得 Tn< ,由不等式恒成立思想可得 ≤m ﹣m﹣ , 解不等式可得 m 的范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)由题设知(p﹣1)a1=p ﹣a1, 解得 p=a1 或 p=0(舍去) . 2 由条件可知(p﹣1)S2=(p﹣1) (a1+a2)=p ﹣a2, 解得 a2=1. 2 再由(p﹣1)S3=(p﹣1) (a1+a2+a3)=p ﹣a3, 解得 a3= . 由 a3= 可得 = ,故 p=3=a1. 则 2Sn=9﹣an, 当 n>1 时,2Sn﹣1=9﹣an﹣1, 以上两式作差得 2(Sn﹣Sn﹣1)=an﹣1﹣an,
2

即 2an=an﹣1﹣an, 故 an= an﹣1. 故数列{an}是首项为 3,公比为 的等比数列. 故 an=3( )
n﹣1

=3

2﹣n



(Ⅱ)因为 bn=

=

= ,

所以 bnbn+2=

= ( ﹣

) ,

Tn=b1b3+b2b4+b3b5+…+bnbn+2 = [(1﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ = (1+ ﹣
2

)]



)< .

故要使 Tn<m ﹣m﹣ 恒成立, 只需 ≤m ﹣m﹣ ,即 m ﹣m﹣2≥0 解得 m≤﹣1 或 m≥2. 故所求实数 m 的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) . 点评: 本题考查数列的通项和前 n 项和的关系, 考查等比数列的通项公式的运用, 数列的 求和方法:裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
2 2


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