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2014届高考数学一轮复习课件:第八章第1课时直线及其方程(新人教A版)


第八章

平面解析几何

第1课时 直线及其方程

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考纲展示 1.理解直线的倾斜角和斜 率的概念,掌握过两点的 直线斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几 何要素,掌握直线方程的 三种形式(点斜式、两点式 及一般式),了解斜截式与 一次函数的关系. 备考指南 1.直线方程的求法是命题 的热点,多与两直线的位 置关系,直线与圆的位置 关系相结合命题. 2.题型多为客观题,难度 中等,着重考查学生的综 合应用能力.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 相交 ①一个前提:直线l与x轴_______; x轴 一个基准:取______作为基准; 两个方向:x轴正方向与直线l向上方向. 0° ②当直线l与x轴平行或重合时,规定:它的倾斜角为_____.

(2)直线的斜率
tanθ ①定义:若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=______; ②计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直 y2-y1 (x ≠x2) x2-x1 1 于x轴,则k=_______________.

思考探究 所有的直线都存在斜率吗?都有倾斜角吗? 提示:直线一定有倾斜角,但不一定有斜率.

2.直线方程的几种形式
名称 点斜式 斜截式 条件 斜率 k 与点 (x1,y1) 斜率 k 与直 线在 y 轴上 的截距 b 方程 适用范围 不含直线 x=x1 不含垂直于 x 轴 的直线 不含直线 x= x1(x1≠x2)和直 线 y=y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标 轴和过原点的直 线 平面直角坐标系 内的直线都适用

y-y1=k(x-x1 ________________)

y=kx+b ______________

两点式

两点(x1,y1), y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 (x2,y2) 直线在 x 轴, x y + =1 y 轴上的截 a b ______________ 距分别为 a 与b Ax+By+C=0 ________________ (A2+B2≠0) ________________

截距式

一般式

课前热身
1.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° C.120° B.60° D.150° )

解析:选 B.由直线方程得 y= 3x+a,所以斜率 k= 3, 设倾斜角为 α, 所以 tan α= 3.又 0° ≤α<180° 所以 α=60° , .

3 2.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- ,则直线 l 的 4 方程为( ) B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0

A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0

3 解析:选 A.由 y-5=- (x+2),得 3x+4y-14=0. 4

3.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,
则a的值是( A.1 C.-2或-1 答案:D 4.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为 ________. 答案:1 5.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则直线l 的方程为________. 答案:3x+2y-1=0 ) B.-1 D.-2或1

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 直线的倾斜角与斜率

例1

?α∈?π,π ? ?的倾斜角的变 直线 2xcos α-y-3=0 ? ?6 3 ? ?
)

化范围是(

?π,π ? A. 6 3 ? ? ?π,π ? C. 4 2 ? ?

?π,π ? B. 4 3 ? ? ?π,2π? D. 4 3 ? ?

【解析】 直线 2xcos α-y-3=0 的斜率 k=2cos α,由于

?π,π ?, 1≤cos α≤ 3, α∈ 6 3 所以 因此 k=2cos α∈[1, 3]. 设 ? ? 2 2
直线的倾斜角为 θ,则有 tan θ∈[1, 3],由于 θ∈[0,π),

?π,π ?,即倾斜角的变化范围是?π,π ?. 所以 θ∈ 4 3 ? ? ?4 3 ?
【答案】 B

【规律小结】 (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤: ①求出斜率 k=tan α 的取值范围. ②利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定 倾斜角 α 的取值范围. 求倾斜角时要注意斜率是否存在. (2)由斜率 k 和倾斜角 α 的关系,求斜率或倾斜角的范围时, ?0,π ?的子集, k=tan α 为增函 若 k 为正数, α 的范围为 则 且 ? 2? ?π,π ?的子集,且 k=tan α 数,若 k 为负数,则 α 的范围为 2 ? ? 为增函数.若 k 的范围有正有负,则可把范围按大于等于 0 和 小于 0 分为两部分,针对每一部分的斜率求倾斜角的范围.

跟踪训练

1.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是
直线AB倾斜角的两倍,则直线l的斜率是________.
-2+5 解析:因为 A(-1,-5),B(3,-2),所以 kAB= = 3+1 3 3 .设直线 AB 的倾斜角为 θ,则 tan θ= .这时直线 l 的倾斜 4 4 3 2× 4 2tan θ 24 角为 2θ,其斜率为 tan 2θ= = = . 3? 2 7 1-tan2θ 1-?4 ? ? 24 答案: 7

考点 2

求直线的方程 求适合下列条件的直线方程:

例2

1 (1)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (2)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等.

【解】 (1)设所求直线的斜率为 k,依题意 1 3 k=- ×3=- . 4 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0.

(2)法一:设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程 y= x,即 2x-3y=0; 3 x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1. a a 3 2 ∵l 过点 P(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

法二:由题意,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- ,令 x=0,得 y=2-3k, k 2 2 由已知 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= , 3 k 2 ∴直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.

【规律小结】

在求直线方程时,应先选择适当的直线

方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及 点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与 坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经

过原点的直线.

跟踪训练
2.△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边的垂直平分线DE的方程.
解:(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点, y-1 x-2 由两点式得 BC 所在直线的方程为 = , 3-1 -2-2 即 x+2y-4=0.

(2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y), 2-2 1+3 则 x= =0,y= =2. 2 2 BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点, x y 由截距式得 AD 所在直线方程为 + =1, -3 2 即 2x-3y+6=0. 1 (3)BC 的斜率 k1=- , 2 则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2, 由点斜式得 DE 所在直线的方程为 2x-y+2=0.

考点3 例3

直线方程的应用

直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正

方向于A、B两点.当|OA|+|OB|最小时,O为坐标原点, 求l的方程.
【解】 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负,

设直线 l 的斜率为 k, 则 y-4=k(x-1)(k<0).

?1-4 ,0?; 令 y=0,可得 A? k ?
令 x=0,可得 B(0,4-k).

?1-4 ?+(4-k)=5-?k+4 ? |OA|+|OB|= ? k ? ? k? ?-k+ 4 ?≥5+4=9. =5+ -k ? ?
4 ∴当且仅当-k= 且 k<0, -k 即 k=-2 时,|OA|+|OB|取最小值. 这时 l 的方程为 2x+y-6=0.

【题后感悟】

直线方程的应用问题常见的类型及解法:

(1)与函数相结合命题:解决这类问题,一般是利用直线方
程中x、y的关系,将问题转化成关于x的某函数,借助函 数性质来解决. (2)与方程、不等式相结合命题:一般是利用方程、不等式 等知识来解决.

跟踪训练 3.在本例条件下,若|PA|· |PB|最小,求l的方程.
解:|PA|· |PB|=

?4? 2+16· 1+k2 ?k?

4 2 ?? 1 ? +?-k??≥8(k<0). =- (1+k )=4 -k k ?? ? ? 1 ∴当且仅当 =-k 且 k<0, -k 即 k=-1 时,|PA|· |PB|取最小值. 这时 l 的方程为 x+y-5=0.

方法感悟
1.直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k是一个实数,当倾斜角α≠90°时,k=tan α.直线都 有倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为90° 的直线无斜率. 2.求直线方程的方法

(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,
直接求出方程中的系数,写出直线方程; (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据

已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入
求出直线方程.

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数学思想


分类讨论思想在求直线方程中的应用

?-3,-3 ?且被圆 x2 (2013· 孝感模拟)若直线过点 P 2? ?
)

+y2=25 截得的弦长是 8,则该直线的方程为( A.3x+4y+15=0 3 B.x=-3 或 y=- 2 C.x=-3 D.x=-3 或 3x+4y+15=0

【解析】 若直线的斜率不存在,则该直线的方程为 x= -3,代入圆的方程解得 y=± 4,故该直线被圆截得的弦长 为 8,满足条件;若直线的斜率存在,不妨设直线的方程 3 3 为 y+ =k(x+3),即 kx-y+3k- =0,因为该直线被圆 2 2 截得的弦长为 8, 故半弦长为 4.又圆的半径为 5, 则圆心(0,0) 3 |3k- | 2 3 2 2 到直线的距离为 5 -4 = 2 ,解得 k=- ,此时该 4 k +1 直线的方程为 3x+4y+15=0.

【答案】

D (1)求直线方程时,要考虑对斜率是否存在、

【感悟提高】

截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论. (2)本题对斜率k存在和不存在进行分类讨论,易错点是忽略

斜率不存在的情况.

跟踪训练 4.经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截 距的2倍的直线方程是________.
解析:设直线在 x 轴上的截距为 2a,则其在 y 轴上的截距 为 a,则直线经过点(2a,0),(0,a). 2 当 a=0 时,直线的斜率 k=- , 5 2 此时,直线方程为 y=- x,即 2x+5y=0. 5 2-0 a-0 1 当 a≠0 时,由 = ,得 a=- , 2 -5-2a 0-2a 此时,直线方程为x+2y+1=0. 综上所述,所求直线的方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.

答案:x+2y+1=0或2x+5y=0

知能演练轻松闯关

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