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空间向量运算的正交分解及基坐标表示学习教材PPT课件


3.1.4《空间向量运算的 正交分解及基坐标表示》 教学目标 ? ⒈理解空间向量的基底、基向量的概念.理解空间任一向 量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出; ? ⒉理解共面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充 要条件; ? ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题. ? 教学重点:点在已知平面内的充要条件.共线、共面定理 及其应用. ? 教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用. ? 授课类型:新授课. ? 课时安排:1课时. 空间向量及其运算-共线与共面 复习问题引入 练习1、2 共面向量定 理 复习回顾: 1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行 向量. a 平行于 b 记作 a // b . 规定: o 与任一向量 a 是共线向量. ? ? 2.共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、 , b( b ≠ 0 ) 共线与共面分析 a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ? b . 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线, 那么如何表示直线 l 上的任一点 P ? A? ? l a P 注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量. 思考 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线, 如何表示直线 l 上的任一点 P ? A? O ? ? l a BP 注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量. ⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t ? R ,使 AP ? t a . ∴ 点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 AP ? t a ① ⑵对于任意一点 O,有 AP ? OP ? OA 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB ? a 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 . OB 、 OC 为棱的平行六面 练习 1: 已知 OE 是以 OA 、 体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ ABC 的重心. G 求证:点 M 在直线 OE 上. E 分析: 证三点共线可 尝试用向量来分析. O C B F ?M O A D 练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB 外一点 , 且 OP ? xOA ? yOB ,求 x ? y 的值. 练习2:已知A、B、P三点共线,O为直线AB 外一点 , 且 OP ? xOA ? yOB ,求 x ? y 的值. 解:∵ A 、 B、 P 三点共线,∴ ?t ? R ,使 OP ? OA ? t AB ∴ OP ? (1 ? t )OA ? tOB ∵A 、 B、 P、 O 四点在同一个平面内,且 OP ? xOA ? yOB ∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA 、 OB 不共线 ∴由平面向量基本定理可知 x ? 1 ? t , y ? t ∴ x? y ?1 反过来,如果已知 OP ? xOA ? yOB ,且 x ? y ? 1 , B、 P 三点共线吗? 那么 A 、 学习共面 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量. O a A ? a 注意:空间任意两个 向量是共面的,但空

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