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浙江省金华一中2013届高三12月月考数学文试题


2012 年 12 月数学(文)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M={x|x<1}, N={x|2 >1}, M∩N= 则 A. ? 2. 已知 a ? R, A.1 3.将函数 y=sin(2x+ ( ) A.向右平移 B.{x|x<0} C.{x|x<1}
x

( D.{x|0<x<1} ( C. 2 D. ? 2



a ?i 为纯虚数, a 的值为 则 1? i
B.-1



? ? )的图象经过怎样的平移后所得图象关于点( ? ,0)中心对称 3 12
B.向右平移

? 12

? 6

C.向左平移

? 12

D.向左平移

? 6


4.已知双曲线 x2 ? y 2 ? ? 与椭圆 A.50 B.24 C.-50

x2 y 2 ? ? 1 有共同的焦点,则 ? 的值为 16 64
D.-24



5.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a2 ? 4, S10 ? 110 ,则

Sn ? 64 的最小值为( an



A.7

B.8

C.

15 2

D.

17 2
( ) D. (

6. △ABC 的内角 A 满足 tanA ? sinA<0, sinA+cosA>0, 则角 A 的取值范围是 A. (0,

? ) 4

B. (

? ? , ) 4 2

C. (

? 3 , ?) 2 4

3 ? ,? ) 4

7.在 R 上定义运算 ? :x ? y=x(1-y) .若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意的实数 x 都 成立,则实数 a 的取值范围是 A.-1<a<1 B.0<a<2 ( C. ? )

3 1 ?a? 2 2

D. ?

1 3 ?a? 2 2
( )

? 8. a , b 是两条不同直线, , ? 是两个平面, a ? b 的一个充分条件是 设 则
A. a ? ? , b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

9.设是△ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比 值是 ( )

??? ?

??? ?

??? ?

?

A.

3 2

B.

5 3

C.2

D.3
x

10.若函数 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数且满足 f(x)+g(x)=e ,其中 e 是自然 对数的底数,则有 ( ) A.f(e)<f(3)<g( ? 3) C.f(3)<f(e)<g( ? 3) B.g( ? 3)<f(3)<f(e) D.g( ? 3)<f(e)<f(3)

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如 下图所示,现规定不低于 70 分为合格,则合格人数是 12. 某几何体的三视图(单位:cm)如下图,则这个几何体的表面积为_____________cm2 . 2

3
正视图 1 1 第 11 题 11 2 俯视图 第 12 题 2 侧视图

3

第 13 题

13 . 若 框 图 所 给 的 程 序 运 行 结 果 为 S=90 , 那 么 判 断 框 中 应 填 入 的 关 于 k 的 条 件 是 _____________ 14. 袋中有若干个小球,分别为红球、黑球、黄球、白球,从中任取一球,得到红球的概率是

1 5 5 , 得到 黑球或 黄球 的概率 是 , 得到黄 球或 白球的 概率 是 ,则 得到 白球的 概 3 12 12
率 .

?x ? 0 ? 15.已知 M(a,b)由 ? y ? 0 确定的平面区域内运动,则动点 N(a+b,a ? b)所在平面区 ?x ? y ? 4 ?
域的面积为_______ 16. 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3

32 ? 1 ? 3 ? 5

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7

23 ? 3 ? 5

33 ? 7 ? 9 ? 11
3 3

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19

根据上述分解规律, 6 的分解式为 6 ? ________________________. 17.实数 a ? b ? c 且 a ? b ? 1 ? c , a ? b ? c(c ? 1) ,则 c 的取值范围为________。 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (满分 14 分)如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q 分别是 AD1、BD 的中点. (1)求证:PQ//平面 DCC1D1; D1 C1 (2)求 PQ 与平面 BB1D1D 所成角. A1 Ks5u A 19. (满分14分)已知 f ( x) ? 3 sin P D Q B B1 C

x x x 1 cos ? cos 2 ? . 4 4 4 2

(1)求 f(x)的周期及其图象的对称中心; (2)△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,满足(2a ? c)cosB=bcosC,求 f(B)的值.

20. (本题满分 14 分)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N ,点 (n, Sn) 均
*

在函数 f ( x) ? b ? r ( b ? 0且b ? 1, b, r 均为常数)的图象上。
x

(1)求 r 的值; (2)当 b ? 2 时,设 Cn ?

n ?1 , n ? N * ,求数列 ?Cn ? 的前项和 Tn . 4an

21. (满分15分)定义在 R 上的函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足:函数 f(x+2)的图象关于点(-2,0) 对称;函数 f(x)的图象过点 P(3, ? 6) ;函数 f(x)在点 x1,x2 处取得极值,且|x1 ? x2|=4. (1)求 f(x)表达式; (2)求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程; (3)求证: ?

? 、 ? ∈R, ?

64 64 ? f (2 cos ? ) ? f (2sin ? ) ? . 3 3

22. (满分15分) 动圆 P 过定点 F ?1, 0 ? 且与直线 x ? ?1 相切, 圆心 P 的轨迹为曲线 C , 过 F 作曲线 C 两条互相垂直的弦 AB, CD ,设 AB, CD 的中点分别为 M 、 N .

(1)求曲线 C 的方程; (2)求证:直线 MN 必过定点. Ks5u

2012.12 数学(文)试卷参考答案
一、选择题 1.D 2.A 3.A4.D 二、填空题 11.600 12. 12 ? 2 3 16.31+33+35+37+39+41 13. k ? 8 14.

5.D 6.C 7.D 8.C 9.C 10.A

1 15.16 4

17. (? ,0)

1 3

三、解答题 18. 解: (1)连接 AC、CD1,AC∩BD=Q.

D1 A1 P D A Q B B1

C1

? P, Q分别为AD1 , AC的中点

C

? PQ // CD1 又 CD1 ? 平面DCC1 D1 . Ks5u ? PQ // 平面DCC1 D1 .………………7 分
(2)由(1)知 PQ//CD1,所以 PQ 与平面 BB1D1D 所成角等于 CD1 与平面 BB1D1D 所成角。连 接 D1Q,由 AC⊥BD,AC⊥DD1,得 AC⊥平面 BB1D1D,所以∠CD1Q 是 CD1 与平面 BB1D1D 所成角。 在 RT△CD1Q 中,sin ?CD1Q ? 角为 30°。.………………14 分 19.Ks5u 解: (1)由 f ( x) ?

CQ 1 ? ,??CD1Q ? 30? ,所以 PQ 与平面 BB1D1D 所成 CD1 2

3 x 1 x x ? sin ? cos ? 1 ? sin( ? ) ? 1 ,? f (x) 的周期为 4? . 2 2 2 2 2 6
………………3 分

x ? ? ? 由 sin( ? ) ? 0, 得x ? 2k? ? ,故 f ( x ) 图象的对称中心为 (2k? ? ,1), k ? Z . 2 6 3 3
………………6 分 (2)由 (2a ? c) cos B ? b cos C, 得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC ,……………8 分

? 2 sin A cos B ? cos B sin C ? sin B cosC, ? 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ,? A ? B ? C ? ? ,

1 ? ? sin(B ? C ) ? sin A, 且 sin A ? 0, ? cos B ? , B ? . ………………12 分 2 3
所以, f ( B) ? sin( 20. 解: (1)由已知得 Sn ? bn ? r,?a1 ? S1 ? b ? r, 且当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (b ?1)bn?1 (*) , 由于数列 ?an ? 成等比,故当 n=1 时(*)式仍成立,即 a1 ? b ? 1 ? b ? r, r ? ?1 . ………………6 分

?

? 3 ? ) ?1 ? ? 1. ………………14 分 6 6 2

1 n ?1 n ?1 (2)由(1)知 b ? 2时, an ? 2 , Cn ? (n ? 1)( ) . ………………9 分 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? ? ? (n ? 1)( ) n ?1 ,? Tn ? 2( )3 ? 3( ) 4 ? ? ? n( ) n ?1 ? (n ? 1)( ) n ? 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2
上两式相减得,

1 1 1 1 1 1 3 1 1 Tn ? 2( ) 2 ? ( )3 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1)( ) n ? 2 ? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1)( ) n ? 2 . 2 2 2 2 2 2 4 2 2
所以, Tn ?

3 n?3 ? . ………………14 分 2 2 n ?1

21. (1) f ( x ? 2) 的图象关于点(-2,0)对称,即 f ( x ) 图象关于原点对称,∴d=0,b=0. 又过(3, ? 6), ∴9a+c= ? 2 f/(x)=3ax2+2bx+c=0 两根为 x1,x2,且|x1 ? x2|=4

? ?V? 4b 2 ? 12ac ? 0 ? ?ac ? 0 ? ? 2b ? ∴ ? x1 ? x2 ? ? ………………3 分 ? ? x1 ? x2 ? 0 3a ? ? c c ? ? x1 x2 ? ? ?4 3a ? ? x1 x2 ? 3a ?
又|x1 ? x2|2=

4b 2 4c ? ? 16 ,c= ? 12a 9a 2 3a

? 2 ?a ? 3 ? ? ∴ ?b ? 0 ? c ? ?8 ? ?d ? 0 ?
/ 2

∴f(x)=

2 3 x ? 8 x ……Ks5u……6 分 3

(2)f (x)=2x ? 8, f/(3)=10.∴切线方程 10x ? y ? 36=0. ………………10 分 / 2 (3)当 ?2 ? x ? 2 时,f (x)=2x ? 8≤0, ∴ f(x)在[ ? 2,2]递减. 又 ?? ? R, ?2 ? 2 cos ? ? 2 ,??

32 32 ? f (?2) ? f (2 cos ? ) ? f (2) ? 。…13 分 3 3

32 32 ? f (2sin ? ) ? , 3 3 64 64 ? f (2 cos ? ) ? f (2sin ? ) ? ∴ ?? , ? ? R, ? . ………………15 分 3 3 同理,?
22.. 解: (1)设 P ? x, y ? ,则有

? x ? 1?

2

? y 2 ? x ? 1 ,化简得 y2 ? 4 x ……………6 分

(2)设 ? AB: y ? k ? x ?1? ,代入 y2 ? 4 x 得

k 2 x2 ? 2 ? k 2 ? 2 ? x ? k 2 ? 0 , xM ?
故M ?

2 xA ? xB k 2 ? 2 ? , y ? k ? xM ? 1? ? , 2 k 2 k

? k2 2 ? , ? ………………10 分 2 ? k ?2 k ?
1 2 ,即得 N ? 2k ? 1, ?2k ? 。 k

因为 AB ? CD ,所以将点 M 坐标中的 k 换成 ? 则 ? Mn: y ? 2k ?

故不论 k 为何值,直线 MN 必过定点 T ?3, 0 ? .………………15 分 Ks5u

2 ?2k ? k ? x ? 2k 2 ? 1? ,整理得 ?1 ? k 2 ? y ? k ? x ? 3? , 2 k 2 ?2 2k ? 1 ? k 2


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