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【高三总复习】7-3空间点、直线、平面之间的位置关系(人教B版) 含解析


7-3 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础巩固强化 1.已知 E、F、G、H 是空间内四个点,条件甲:E、F、G、H 四 点不共面,条件乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 点 E、F、G、H 四点不共面可以推出直线 EF 和 GH 不 相交;但由直线 EF 和 GH 不相交不一定能推出 E、F、G、H 四点不 共面,例如:EF 和 GH 平行,这也是直线 EF 和 GH 不相交的一种情 况,但 E、F、G、H 四点共面.故甲是乙成立的充分不必要条件. 2. (文)(2011· 浙江文, 4)若直线 l 不平行于平面 α, 且 l?α, 则( A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 [答案] B [解析] 由题意知直线 l 与平面 α 相交,不妨设直线 l∩α=M, 对 A,在 α 内过 M 点的直线与 l 不异面,A 错误;对 B,假设存在与 l 平行的直线 m,则由 m∥l 得 l∥α,这与 l∩α=M 矛盾,故 B 正确, C 错误;对 D,α 内存在与 l 异面的直线,故 D 错误.综上知选 B. (理)a、b、c 是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题 是( ) A.若直线 a、b 异面,b、c 异面,则 a、c 异面 B.若直线 a、b 相交,b、c 相交,则 a、c 相交 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

C.若 a∥b,则 a、b 与 c 所成的角相等 D.若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c [答案] C [解析] 如图(1)知 A 错;如图(2)知 B 错;如图(3)知 D 错.在直 线 c 上任取一点 P,过 P 作直线 m∥a,则 m∥b,因此 a,b 与 c 所 成的角都等于 m 与 c 所成的角,故选 C.

3.(文)(2011· 威海质检)已知直线 l、m,平面 α,且 m?α,则 l

∥m 是 l∥α 的(

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] D

[解析] 由 l∥m 可知 l∥α 或 l?α,所以“l∥m”不是“l∥α” 的充分条件, l∥α 且 m?α, 则直线 l∥m 或直线 l 与 m 异面, 所以“l

∥m”也不是“l∥α”的必要条件,故选 D.
(理)已知直线 l⊥平面 α, 直线 m?平面 β, 则 α∥β 是 l⊥m 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A )

[解析] 若 α∥β,则由 l⊥α 知 l⊥β,又 m?β,可得 l⊥m;若 α 与 β 相交(如图),设 α∩β=n,当 m∥n 时,由 l⊥α 可得 l⊥m,而此 时 α 与 β 不平行.于是 α∥β 是 l⊥m 的充分不必要条件.故选 A.

4.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共 面的棱的条数为( A.3 [答案] C [解析] 如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面, 也与 CC1 共面的棱为 BC、C1D1、DC、AA1、BB1,共 5 条. ) B.4 C.5 D.6

5. (2012· 武汉市模拟)空间中一条线段 AB 的三视图中, 俯视图是 长度为 1 的线段,侧视图是长度为 2 的线段,则线段 AB 的长度的取

值范围是( A.(0,2] C.[2,3] [答案] B

) B.[2, 5] D.[2, 10]

[解析] 以线段 AB 为体对角线构造长方体,设长方体的长、宽、
?x2+y2=1, ? 高分别为 x、y、z,则由题意知,? 2 2 ∴AB2=x2+y2+z2=5 ?y +z =4. ?

-y2, ∵x2>0,∴1-y2>0,∴0<y2<1, ∴4<AB2<5,∴2<AB< 5. 特别地,当 AB 为面对角线时,AB=2 或 5成立, ∴2≤AB≤ 5. 6.如图是正方体或四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点, 则这四个点不共面的一个图是( )

[答案] D [解析] A 中,PS∥QR;B 中如图可知此四点共面;C 中 PS∥ QR;D 中 RS 在经过平面 PQS 内一点和平面 PQS 外一点的直线上, 故选 D.

7.(2011· 金华模拟)在图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶 点 或 所 在 棱 的 中 点 , 则 使 直 线 GH 、 MN 是 异 面 直 线 的 图 形 有 ________.(填上所有正确答案的序号)

[答案] ②④ [解析] 图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G、H、N 三点在三棱柱的侧面上,MG 与这个侧面相 交于 G,∴M?平面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?平面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②、④中 GH 与 MN 异面.

8. (文)(2011· 南京模拟)如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AB=1, BC=2,AC= 5,AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM+ MC1 最小时,△AMC1 的面积为________.

[答案]

3

[解析] 将三棱柱的侧面 A1ABB1 和 B1BCC1 以 BB1 为折痕展平到 一个平面 α 上,在平面 α 内 AC1 与 BB1 相交,则交点即为 M 点,易 求 BM=1,∴AM= 2,MC1=2 2, 又在棱柱中,AC1= 14,
2 AM2+MC1 -AC2 2+8-14 1 1 ∴cos∠AMC1= = =- 2AM· MC1 2, 2 × 2 ×2 2

∴∠AMC1=120° , 1 ∴S△AMC1=2AM· MC1· sin∠AMC1 1 3 =2× 2×2 2× 2 = 3. (理)在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,AC⊥BC,PA=AC= BC,则直线 PC 与 AB 所成角的大小是________. [答案] 60°

[解析]

分别取 PA、AC、CB 的中点 F、D、E 连接 FD、DE、EF、AE, 则∠FDE 是直线 PC 与 AB 所成角或其补角. 设 PA=AC=BC=2a,在△FDE 中,易求得 FD= 2a,DE= 2 a,FE= 6a, 2a2+2a2-6a2 1 根据余弦定理,得 cos∠FDE= =-2, 2× 2a× 2a 所以∠FDE=120° . 所以 PC 与 AB 所成角的大小是 60° . 9. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为_______.

3 [答案] 2 [解析] 由三视图知, 该几何体是一个四棱柱, 底面为直角梯形,

1 3 上底长 1,下底长 2,高为 1,其面积 S=2(1+2)×1=2,侧棱垂直 于底面,侧棱长为 1, 3 3 ∴体积 V=2×1=2. 10.(文)(2012· 福建四地六校联考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中 点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

[证明] (1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是矩形,∴点 O 是 AC 的中点. 又∵E 是 PC 的中点, ∴在△PAC 中,EO 为中位线,∴PA∥EO. 而 EO?平面 EDB,PA?平面 EDB.∴PA∥平面 EDB.

(2)由 PD⊥底面 ABCD 得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是矩形,∴DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC,而 DE?平面 PDC, ∴BC⊥DE.① ∵PD=DC,E 是 PC 的中点, ∴DE⊥PC.② 由①和②得 DE⊥平面 PBC. ∵PB?平面 PBC,∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB,且 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD. (理)如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都 1 1 是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊2AD,BE 綊2FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点.

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (3)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE. [解析] 1 綊2AD. 1 又 BC 綊2AD,故 GH 綊 BC, 所以四边形 BCHG 是平行四边形. 解法一:(1)由题设知,FG=GA,FH=HD,所以 GH

(2)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 1 连接 EG,由 BE 綊2AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF, 所以 EF∥BG, 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面.

又点 D 直线 FH 上,∴D∈平面 CEF. 所以 C、D、F、E 四点共面. (3)由 AB=BE,BE 綊 AG,及∠BAG=90° 知 ABEG 是正方形, 故 BG⊥EA.由题设知, FA、 AD、 AB 两两垂直, 故 AD⊥平面 FABE, 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影,∴BG⊥ED. 又 EC∩EA=E,所以 BG⊥平面 ADE. 由(1)知,CH∥BG,所以 CH⊥平面 ADE.由(2)知 F∈平面 CDE, 故 CH?平面 CDE,得平面 ADE⊥平面 CDE. 解法二:由题设知,FA、AB、AD 两两互相垂直.如图,以 A 为 坐标原点,射线 AB 为 x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A- xyz.

(1)设 AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得 A(0,0,0),B(a,0,0), C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c),F(0,0,2c). → =(0,b,0),BC → =(0,b,0), 所以,GH → =BC → .又点 G 不在直线 BC 上, 于是GH

所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 由题设知,F(0,0,2c),所以 → =(-a,0,c),CH → =(-a,0,c),EF → =CH →, EF 又 C?EF,H∈FD,故 C、D、F、E 四点共面. → =(-a,0,a),AE → =(a,0,a) (3)由 AB=BE,得 c=a,所以CH → =(0,2b,0),因此CH →· → =0,CH →· → =0 又AD AE AD 即 CH⊥AE,CH⊥AD, 又 AD∩AE=A,所以 CH⊥平面 ADE. 故由 CH?平面 CDFE,得平面 ADE⊥平面 CDE. [点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点,容易将 各点的坐标表示出来时,可用向量法求解.如果其所讨论关系不涉及 求角,求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时,可不用向量法求 解. 能力拓展提升 11.(文)(2011· 北京市西城区模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 对角线 AC1 异面的棱有( A.3 条 C.6 条 [答案] C [解析] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 有公共点 A 的和有公共点 C1 的各有 3 条,其余 6 条所在正方体的面与 AC1 均 相交,且交点不在这些棱上,由异面直线判定定理知,这 6 条与 AC1 都异面,故选 C. (理)已知 a、b、c 是相异直线,α、β、γ 是相异平面,下列命题 ) B.4 条 D.8 条

中正确的是(

)

A.a 与 b 异面,b 与 c 异面?a 与 c 异面 B.a 与 b 相交,b 与 c 相交?a 与 c 相交 C.α∥β,β∥γ?α∥γ D.a?α,b?β,α 与 β 相交?a 与 b 相交 [答案] C [解析] 如图(1),正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,a、b、c 是三条 棱所在直线满足 a 与 b 异面,b 与 c 异面,但 a∩c=A,故 A 错;同 样在图(2)的正方体中,满足 a 与 b 相交,b 与 c 相交,但 a 与 c 不相 交,故 B 错;如图(3),α∩β=c,a∥c,则 a 与 b 不相交,故 D 错.

12.(文)(2011· 四川文,6)l1、l2、l3 是空间三条不同的直线,则下 列命题正确的是( )

A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1、l2、l3 共面 D.l1、l2、l3 共点?l1、l2、l3 共面 [答案] B [解析] 举反例,由教室内共点的三条墙角线可知 A、D 是错误 的;由三棱柱的三条侧棱可知 C 是错误的.故选 B. (理)(2011· 浙江省嘉兴市高三教学测试)如图,在正方体 ABCD-

A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1、CD1 的中点,则下列判断错误的是

(

)

A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行 [答案] D [解析] 由于 C1D1 与 A1B1 平行,MN 与 C1D1 是异面直线,所以 MN 与 A1B1 是异面直线,故选项 D 错误. 1 1 [点评] 取 CD 中点 Q, BC 中点 R, 则 NQ 綊2D1D, MR 綊2CC1, ∵CC1 綊 D1D,∴NQ 綊 MR,∴MN∥QR,∵QR∥BD,AC⊥BD, ∴AC⊥MN,∴B 正确;∵MN∥QR,QR∥BD,∴MN∥BD,∴C 正 确;∵CC1⊥平面 ABCD,∴CC1⊥PQ,∴CC1⊥MN,∴A 正确. 13.(文)(2011· 石家庄测试)平面 α、β 相交,在 α、β 内各取两点, 这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面. [答案] 1 或 4 [ 解析 ] 当这四点中任意两点的连线与另外两点连线相交或平

行时,确定一个平面;否则由这四点可确定四个平面. (理)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1, 则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于________. [答案] 60° [解析] 将原来的直三棱柱补成一个正方体 ABDC-A1B1D1C1, ∵AC1∥BD1, ∴∠A1BD1 即为异面直线 BA1 与 AC1 所成的角. ∵△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° . [点评] 异面直线所成的角是重点考查的一个内容,难点在于寻 找异面直线的平行线,本题巧妙地构造一个正方体,借助于正方体的 特点,很容易找出异面直线所成的角. 14.(2012· 河南商丘二模)一个四棱锥的底面是正方形,其顶点在 底面的射影为正方形的中心. 已知该四棱锥的各顶点都在同一个球面 上,且该四棱锥的高为 3,体积为 6,则这个球的表面积是________. [答案] 16π 1 [解析] 由条件知,该四棱锥为正四棱锥,设底面边长为 a,则3 2 a2· 3=6,∴a= 6,O1C= 2 · 6= 3,

设球半径为 R,则 R+ R2-3=3,∴R=2, ∴S 球=4πR2=16π. 15 .已知在正方体 ABCD - A′B′C′D′中, M 、 N 分别是 A′D′、 A′B′的中点,在该正方体中是否存在过顶点且与平面 AMN 平行的平面?若存在,试作出该平面,并证明你的结论;若不 存在,请说明理由. [分析] 假设存在经过 B 点与平面 AMN 平行的平面 α,则平面 A′B′C′D′与这两平行平面的交线应平行,由于 M、N 分别为 A′D′、A′B′的中点,∴取 C′D′的中点 F,B′C′的中点 E, 则 MN∥EF, 可证明平面 BDFE∥平面 AMN, 过其他点的截面同理可 分析找出. [解析] 存在. 与平面 AMN 平行的平面有以下三种情况(E、 F分 别为所在棱的中点):

下面以图(1)为例进行证明. ∵四边形 ABEM 是平行四边形,∴BE∥AM, 又 BE?平面 BDE,AM?平面 BDE,∴AM∥平面 BDFE. ∵MN 是△A′B′D′的中位线,∴MN∥B′D′, ∵四边形 BDD′B′是平行四边形, ∴BD∥B′D′,∴MN∥BD, 又 BD?平面 BDE,MN?平面 BDE,∴MN∥平面 BDFE, 又 AM?平面 AMN,MN?平面 AMN,且 AM∩MN=M, ∴由平面与平面平行的判定定理可得,平面 AMN∥平面 BDFE. 16.(文)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为 正方形,PD=DC,F 是 PB 的中点.求证: (1)DF⊥AP. (2)在线段 AD 上是否存在点 G,使 GF⊥平面 PBC?若存在,说 明 G 点的位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由. [证明] (1)取 AB 的中点 E,则 PA∥EF.设 PD=DC=a,易求得 5 1 2 1 3 DE= 2 a,FE=2PA= 2 a,DF=2PB= 2 a. 由于 DE2=EF2+DF2,故 DF⊥EF,

又 EF∥PA,∴DF⊥PA. (2)在线段 AD 上存在点 G,使 GF⊥平面 PBC,且 G 点是 AD 的 中点. 取 AD 的中点 G,连接 PG、BG,则 PG=BG.又 F 为 AB 的中点, 故 GF⊥PB. ∵F 为 PB 中点, ∴F 点在底面 ABCD 上的射影为正方形 ABCD 的中心 O, ∴FO⊥平面 ABCD,∵BC?平面 ABCD,∴FO⊥BC. ∵G 为 AD 中点,O 为正方形 ABCD 中心,∴GO⊥BC, 又 GO∩FO=0,∴BC⊥平面 GOF,∴GF⊥BC. ∵BC、PB 是平面 PBC 内的两条相交直线, ∴GF⊥平面 PBC. (理)

如图所示, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AD=1, AA1=2, M 是棱 CC1 的中点. (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M. [解析] 方法 1:(1)如图,因为 C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1 为异 面直线 A1M 与 C1D1 所成的角. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90° ,
2 而 A1B1=1,B1M= B1C2 1+MC1= 2,故

B1M tan∠MA1B1=A B = 2.
1 1

即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2. (2)证明: 由 A1B1⊥平面 BCC1B1, BM?平面平面 BCC1B1, 得 A1B1 ⊥BM① 由(1)知,B1M= 2, 又 BM= BC2+CM2= 2,B1B=2, 所以 B1M2+BM2=B1B2,从而 BM⊥B1M②

又 A1B1∩B1M=B1,∴BM⊥平面 A1B1M,而 BM?平面 ABM, 因此平面 ABM⊥平面 A1B1M. → ,AD → ,AA → 的方向分别作为 x、y、z 轴 方法 2:以 A 为原点,AB 1 的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0), A1(0,0,2),B1(1,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2),M(1,1,1).

→ → (1)A 1M=(1,1,-1),C1D1=(-1,0,0), -1 3 → → cos〈A =- 3 . 1M,C1D1〉= 3×1 3 设异面直线 A1M 与 C1D1 所成角为 α,则 cosα= 3 , ∴tanα= 2. 即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值是 2. → =(0,1,1),B → → (2)证明:A→ BM A→ BM 1B1=(1,0,0), 1M=(0,1,-1), 1B1· →· → =0,BM B 1M=0,

→ → → ∴A→ 1B1⊥BM,BM⊥B1M,即 BM⊥A1B1,BM⊥B1M, 又 B1M∩A1B1=B1, ∴BM⊥平面 A1B1M,而 BM?平面 ABM, 因此 ABM⊥平面 A1B1M. 1.(2012· 山西联考)已知直线 m、n 与平面 α、β,下列命题中正 确的是( )

A.m∥β,α∥β,则 m∥α B.平面 α 内不共线三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β C.α∩β=m,n⊥m 且 α⊥β,则 n⊥α D.m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m⊥n [答案] D [解析] 当 m?α 时,也可满足 m∥β,α∥β,故①错; 当 α∩β=l,三点 A、B、C 位于 l 的两侧,AB∥l,直线 AB 到 l 的距离与点 C 到 l 的距离相等时,满足 A、B、C 三点到平面 β 的距 离相等,故②错; 由面面垂直的性质知,C 错,因为只有在满足 n?β 内时,才能 由 n⊥m 得出 n⊥α 的结论; α⊥β? ?
??n∥α或n?α? n⊥β? ? ??m⊥n,故 D 正确.

? ? ?

m⊥α

2.(2011· 山西太原调研)已知平面 α 和不重合的两条直线 m、n, 下列选项正确的是( )

A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n 与 α 相交,那么 m、n 是异面直线

C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m⊥α,n⊥m,那么 n∥α [答案] C [解析] 如图(1)可知 A 错;如图(2)可知 B 错;如图(3),m⊥α, n 是 α 内的任意直线,都有 n⊥m,故 D 错. ∵n∥α, ∴n 与 α 无公共点, ∵m?α, ∴n 与 m 无公共点, 又 m、 n 共面,∴m∥n,故选 C.

3.如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下 列命题中,错误 的为( .. )

A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°

[答案] C

[解析] ∵MN∥PQ,∴MN∥平面 ABC,∴MN∥AC. 同理 BD∥QM, ∵MN⊥QM,∴AC⊥BD,∴A 正确; ∵AC∥MN, ∴AC∥面 PQMN,故 B 对; ∵BD∥QM,∴PM 与 BD 所成角即为∠PMQ, ∴PM 与 BD 成 45° 角,故 D 对.选 C. 4.(2012· 金华十校联考)如图,直线 l⊥平面 α,垂足为 O.已知长 方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=5,AB=6,AD=8.该长方体做符合 以下条件的自

由运动: (1)A∈l, (2)C∈α.则 C1、 O 两点间的最大距离为________.

[答案] 5+5 2 [解析] 连接 AC、OC,取 AC 的中点 M,连接 OM 及 C1M,由 1 1 已知易证△AOC 为直角三角形,∠AOC 为直角,所以 OM=2AC=2 82+62=5,△ACC1 也为直角三角形,∠ACC1 为直角,所以易求得
2 C1M = 5 2 ,连接 OC1 ,设∠ OMC1 = θ ,则 OC 1 = OM2 + C1M2 -

2OM· C1M· cosθ=25+50-2×5×5 2cosθ=75-50 2cosθ,当 cosθ=
2 -1 即 θ=π 时,OC1 取得最大值 75+50 2=25( 2+1)2,所以 OC1

的最大值为 5+5 2.


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