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高中数学配套同课异构1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课件(人教A版选修2-2)


第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数

复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f ?( x) ? 0 右侧 f ?( x) ? 0 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x) ? 0 ,那么,f(x0) 是极小值.

2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到.

极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。 但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大,哪个值最小。

观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象,
你能找出它的极大值点,极小值点吗?

y

ab c
极大值点

d

o

e

f

g

h

x

极小值点 b d f ceg ,

你能说出函数的最大值点和最小值点吗? 最大值点 :a , 最小值点:d

函数最值的概念
?定义:可导函数 f ( x)

在闭区间 [a,b]上所有点处的函数值中最大 (或最小)值,叫做函数 f ( x) 的 最大(或最小)值。 ?一般地,在闭区间上连续的函数 f ( x) 在[a,b]上必有最大值与最小值。
举例说明

图1
y ? f ( x)

y

函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b).

a

o

b

x

单调函数的最大值和最小值容易被找到。

图2

y
y ? f ( x)

a x1 x2 o x3
函数y=f (x)在区间[a,b]上

x4

x5

b

x

最大值是f (x3), 最小值是f (x4).

函数最值的概念
?定义:可导函数 f ( x)

在闭区间 [a,b]上所有点处的函数值中最大 若改为 f ( x) 的 (或最小)值,叫做函数 (a,b)? 最大(或最小)值。 ?一般地,在闭区间上连续的函数 f ( x) 在[a,b]上必有最大值与最小值。
举例说明

1 f ( x) ? 函数 x 在 (0,∞)内连续。
4

2

-5

5

-2

-4

怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值

和最小值?
只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。

例、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的 最大值,最小值。

解:由 函数单调性知,在[0,3]上,
当x=2时, f(x)=x3-12x+12有极小值, 并且极小值为f (2)=-4. 又由于f (0)=12,f (3)=3,

因此,函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12,最小值为-4。

求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);

②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即 端点的函数值)作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.

求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).


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