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第7章 第3讲基本不等式及其应用


第3讲 基本不等式及其应用
最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程;2.会用基本不等式 解决简单的最大(小)值问题.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知识梳理
a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.

/>a=b 时取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当________ a+b ab (3)其中_______ 称 2 称为正数 a,b 的算术平均数, _______
为正数 a,b 的几何平均数.

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考点突破

课堂总结

2.几个重要的不等式

2ab (a,b∈R).当且仅当 a=b (1)重要不等式:a2+b2≥_____
时取等号.
?a+b? ?2 (2)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R),当且仅当 ? ?

a=b 时取等号.

? a2+b2 ? ?a+b?2 (3) 2 ≥? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. ? ? 2 ?

b a 2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. (4)a+b≥___

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考点突破

课堂总结

3.利用基本不等式求最值 已知 x>0,y>0,则

x=y 时,x+y 有 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当________ 小 值是_______ 最____ 2 p (简记:积定和最小). x=y 时,xy 有最 (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当_______ s2 4 大 值是______( ____ 简记:和定积最大).

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考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) a+b (1)当 a≥0,b≥0 时, 2 ≥ ab.
2 2

精彩 PPT 展示 (√ )

a+b (2)两个不等式 a +b ≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件是相同 的. 1 (3)函数 y=x+x的最小值是 2. x y (4)x>0 且 y>0 是y+x≥2 的充要条件.
基础诊断 考点突破

( ×) ( ×) ( ×)

课堂总结

2.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 ( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C.a+b> ab B.a+b≥2 ab b a D.a+b≥2 )

解析

∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误.对于 B,C,

当 a<0,b<0 时,明显错误. b a 对于 D,∵ab>0,∴a+b≥2 答案 D ba a· b=2.

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考点突破

课堂总结

1 1 3.(2015· 郑州模拟)设 a>0,b>0.若 a+b=1,则a+b的最小 值是 A.2 C.4 1 B.4 D.8 1 1 a+b a+b b a 由题意 a + b = a + b = 2 + a + b ≥2 + 2 ( )

解析

b a a×b

b a 1 =4,当且仅当a=b,即 a=b=2时,取等号,所以最小值 为 4. 答案 C
基础诊断 考点突破 课堂总结

4.(2014·上海卷)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 ________.
解析 ∵x2+2y2≥2 x2· 2y2=2 2xy=2 2, 当且仅当 x= 2y 时取“=”,∴x2+2y2 的最小值为 2 2.
答案 2 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

5.(人教A必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一 边 靠 墙 的 矩 形 菜 园 , 墙 长 18 m , 则 这 个 矩 形 的 长 为

__________m,宽为__________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为 x m,宽为 y m.则 x+2y=30,所以 S
? 1 1? ?x+2y?2 225 =xy=2x· (2y)≤2? ? = 2 ,当且仅当 x=2y,即 x=15, ? 2 ?

15 y= 2 时取等号. 15 答案 15 2

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考点突破

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考点一 利用基本不等式证明简单不等式
【例 1】 已知 x>0,y>0,z>0.
?y z ??x z ??x y? 求证:?x+x??y+y??z+ z?≥8. ? ?? ?? ?

证明

∵x>0,y>0,z>0,

y z 2 yz x z 2 xz x y 2 xy ∴x+x≥ x >0,y+y≥ y >0,z +z ≥ z >0,
?y z ??x z ??x y? 8 ∴?x+x??y+y??z+ z?≥ ? ?? ?? ?

yz· xz· xy =8,当且仅当 x=y=z xyz

时等号成立.

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考点突破

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规律方法

利用基本不等式证明新的不等式的基本思路

是:利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大 或者缩小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对

称性.

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课堂总结

【训练 1】 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:a+b+c≥9.
证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+c
?b a? ? c a? ? c b? =3+?a+b?+?a+c?+?b+c? ? ? ? ? ? ?

1 ≥3+2+2+2=9,当且仅当 a=b=c=3时,取等号.
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点二 利用基本不等式求最值
【例 2】 解下列问题: (1)已知 a>0,b>0,且 4a+b=1,求 ab 的最大值; (2)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,求 3x+4y 的最小值; 5 1 (3)已知 x<4,求 f(x)=4x-2+ 的最大值; 4x-5 a (4)已知函数 f(x)=4x+x(x>0, a>0)在 x=3 时取得最小值, 求 a 的值.

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考点突破

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深度思考
解 1, ∴1=4a+b≥2 4ab=4 ab, (1)法一 ∵a>0,b>0,4a+b=

解决与基本

不等式有关的最值问
题,你学会“配凑”了 吗? ( 利用基本不等式求解最

1 1 1 当且仅当 4a=b=2, 即 a=8, b=2时, 值问题,要根据代数式 或函数解析式的特征灵 等号成立. 活变形,凑积或和为常 1 1 ∴ ab≤4,∴ab≤16.所以 ab 的最大 数的形式;条件最值问 题要注意常数的代换, 1 值为16. 凑成基本不等式的形式

求解最值)
基础诊断 考点突破 课堂总结

法二 ∵a>0,b>0,4a+b=1,
? 1 1? 1 ?4a+b?2 ∴ab=4· 4a· b≤4? ? =16, 2 ? ?

1 1 1 当且仅当 4a=b=2,即 a=8,b=2时,等号成立.所以 ab 1 的最大值为16. 3 1 (2)由 x+3y=5xy,得x+y=5(x>0,y>0),
?3 1? 1 则 3x+4y=5(3x+4y)?x +y? ? ?

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考点突破

课堂总结

12y 3x? 1? 1? =5?13+ x + y ?≥5? 13+2 ? ? ? ? 1 =5(13+12)=5,

12y 3x? ? · x y? ?

12y 3x 当且仅当 x = y ,即 x=2y 时,等号成立,
? ?x=2y, 此时由? ? ?x+3y=5xy,

? ?x=1, 解得? 1 y= . ? ? 2

基础诊断

考点突破

课堂总结

5 1 (3)因为 x<4,所以 5-4x>0,则 f(x)=4x-2+ =-(5 4x-5 1 1 -4x+ )+3≤-2+3=1.当且仅当 5-4x= ,即 x 5-4x 5-4x 1 =1 时,等号成立.故 f(x)=4x-2+ 的最大值为 1. 4x-5 a (4)∵f(x)=4x+x≥2 a 4x· x=4 a,

a 当且仅当 4x=x,即 4x2=a 时 f(x)取得最小值. 又∵x=3,∴a=4×32=36.
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造

和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:①对条件使用
基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.②条件变 形,进行“1”的代换求目标函数最值.

(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,
但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本 不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子 法、分离常数法、换元法、整体代换法等.

基础诊断

考点突破

课堂总结

5 【训练 2】 (1)设 0<x<2,则函数 y=4x(5-2x)的最大值为 __________. ?x+5??x+2? (2)设 x>-1,则函数 y= 的最小值为________. x +1 a (3)(2014· 闽南四校联考)设 a>0,若关于 x 的不等式 x+x≥4 在 x∈(0,+∞)上恒成立,则 a 的最小值为 A.4 C.16 B.2 D.1 ( )

基础诊断

考点突破

课堂总结

解析

5 (1)因为 0<x<2,所以 5-2x>0,

所以 y=4x(5-2x)=2×2x(5-2x)
?2x+5-2x? ? ?2 25 ≤2? ? =2, 2 ? ?

5 当且仅当 2x=5-2x,即 x=4时等号成立,故函数 y=4x(5 25 -2x)的最大值为 2 .

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(2)因为 x>-1,所以 x+1>0, ?x+5??x+2? x2+7x+10 所以 y= = x+1 x+1 ?x+1?2+5?x+1?+4 4 = =x+1+ +5 x+1 x +1 ≥2 4 4 ?x+1?× +5=9,当且仅当 x+1= , x+1 x+1

?x+5??x+2? 即 x=1 时等号成立,故函数 y= 的最小值为 9. x+1

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课堂总结

a a (3)因为 x>0,a>0,所以 x+x≥2 a,要使 x+x≥4 在 x ∈(0,+∞)上恒成立,则需 2 a≥4,所以 a≥4,从而 a 的 最小值为 4,故选 A. 25 答案 (1) 2 (2)9 (3)A

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课堂总结

考点三

基本不等式的实际应用

【例 3】 (2014· 银川模拟)运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速 行驶 130 千米,按交通法规限制 50≤x≤100(单位:千米/ 时). 假设汽油的价格是每升 2
? x2 ? 元, 而汽车每小时耗油?2+360? ? ?

升,司机的工资是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用 的值.

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考点突破

课堂总结



130 (1)设所用时间为 t= x (h),

? x2 ? 130 130 ? ? y= x ×2× 2+360 +14× x ,x∈[50,100]. ? ?

130×18 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y= + x 2×130 360 x,x∈[50,100]. 2 340 13 (或 y= x +18x,x∈[50,100]).

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考点突破

课堂总结

130×18 2×130 (2)y= + 360 x≥26 10, x 130×18 2×130 当且仅当 = 360 x, x 即 x=18 10时,等号成立. 故当 x=18 10千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用 的值为 26 10元.

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课堂总结

规律方法 有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式
求得函数的最值;(2)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数; (3)解应用题时,一定要注意变量的实

际意义及其取值范围; (4) 在应用基本不等式求函数最值
时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练3】 (2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的
无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10元,则该容器的最低总造价是 ( A.80元 B.120元 )

C.160元
解析

D.240元

设底面矩形的长和宽分别为 a m , b m ,则 ab =

4(m2) .容器的总造价为 20ab + 2(a + b)×10 = 80 + 20(a + b)≥80+40 ab=160(元)(当且仅当 a=b 时等号成立). 故选 C. 答案 C
基础诊断 考点突破 课堂总结

[思想方法] 1 .基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大

小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结
构特点,选择好利用基本不等式的切入点.

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考点突破

课堂总结

2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的
2 2 ?a+b? a + b ?2 几种变形形式及公式的逆用等, 例如: ab≤? ? 2 ? ≤ 2 , ? ?

a+b ab≤ 2 ≤

a2+b2 2 (a>0,b>0)等,同时还要注意不等

式成立的条件和等号成立的条件.

基础诊断

考点突破

课堂总结

[易错防范] 1 .注意基本不等式成立的条件是 a > 0 , b > 0 ,若 a < 0 , b <

0,应先转化为-a>0,-b>0,再运用基本不等式求解.
2.“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成 立的充要条件,这一点至关重要,忽略它往往会导致解题

错误.
3.有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果,针对 这种情况,连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.

基础诊断

考点突破

课堂总结


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