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三角函数化简求值专题复习二


三角函数化简求值专题复习
高考要求 1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三 角函数线表示正弦、余弦、正切。 2、 掌握三角函数公式的运用(即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式) 3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有

所降低, 而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势, 主要表现在对三角函数的图 象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查,且难度不大,从 1993 年至 2002 年考查的内容看,大致可分为四类问 题(1)与三角函数单调性有关的问题; (2)与三角函数图象有关的问题; (3)应用同角变换和诱导公式,求三角函数 值及化简和等式证明的问题; (4)与周期有关的问题 3.基本的解题规律为:观察差异(或角,或函数,或运算) ,寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧) ,分析综合(由 因导果或执果索因) ,实现转化.解题规律:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为 已知角求解;在最值问题和周期问题中,解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求 解. 【例 1】求值:
2 sin 20? ? cos10? ? tan 20? ? sin10? . csc 40? ? cot 80? cos10? cos20? ? sin20? sin10? cos20?

解:原式的分子 ? 2 sin20? ?
? 2 sin 20? ? ?

cos10? sin 40? ? cos10? ? cos 20? cos 20?

sin 40? ? sin80? 2 sin60? cos 20? ? ? 3, cos 20? cos 20?

原式的分母=
?
?

1 cos80? 2 cos 40? ? cos80? ? ? sin 40? sin80? sin80?

cos 40? ? ?cos 40? ? cos80?? cos 40? ? 2 cos 60? cos 20? ? sin80? sin80?
cos 40? ? cos 20? 2 cos30? cos10? ? ? 3, sin80? cos10?

所以,原式=1. 【变式】1、求值

2 cos 40? ? cos10??1 ? tan60?tan10?? 1 ? cos10?

?1 ? 3 2 cos 40? ? 2? cos10? ? sin10? ? ?2 ? 2 2 cos 40? ? cos10? ? 3 sin10? ? ? 原式 ? ? 解: 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos 40? ? 2 cos?60? ? 10?? 2?cos 40? ? cos 50?? 2 · 2 cos 45? cos 5? ? ? ? ?2 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos 5?

【变式】2、求 (

3 sin 140
2 0

?

1 cos 140
2 0

)?

1 2 sin100
? 1



分析:原式=

3 cos 2 1400 ? sin 2 1400 sin 2 1400 cos 2 1400

2 sin100

1

? ?

( 3 cos1400 ? sin 1400 )( 3 cos1400 ? sin 1400 ) 1 ? 0 0 2 (? sin 40 cos 40 ) 2 sin 100 ? 4 sin 800 ? sin 2000 1 sin 2000 sin 2000 ? ? ? 8 ? ? 16 ? 16 1 2 0 2 sin 100 sin 800 cos800 sin 1600 sin 80 4
2

sin 2? ? 2 sin 3 2 3? 【例 2】 (三兄弟)已知 cos? ? sin? ? ,求 ,且? ? ? ? 5 2 1 ? tan?
解:原式= ∵ cosα ? sinα ? ∴ sin 2? ?
sin2? cos? ? 2 sin2 ? cos? sin 2? ?cos? ? sin? ? = cos? ? sin? cos? ? sin?
18 3 2 ,上式两边平方,得: 1 ? sin 2α ? 25 5

?

的值

7 3? ;又∵ ? ? ? ? 25 2

∴ cos? ? 0, sin? ? 0, cos? ? sin? ? 0 ∴ ?cos? ? sin? ?2 ? ?cos? ? sin? ?2 ? 4 sin? cos? ? ?cos? ? sin? ?2 ? 2 sin 2? ?
7 ? 4 2? ? ? ?? ? 25 ? 5 ? 4 2 ? ? ? 28 ∴ cos? ? sin? ? ? ,∴原式 ? 75 5 3 2 5

32 25

【变式】 (05 天津)已知 sin(? ?

?
4

)?

? 7 2 7 ,求 sin ? 及 tan(? ? ) . , cos 2? ? 3 10 25

【解析】 :由题设条件,应用两角差的正弦公式得

7 7 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos? ) ,即 sin ? ? cos ? ? 5 10 4 2
由题设条件,应用二倍角余弦公式得



7 7 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ? (cos ? ? sin ? ) 25 5 1 故 cos ? ? sin ? ? ? ② 5 3 4 由①和②式得 sin ? ? , cos ? ? ? 5 5 3 因此, tan ? ? ? ,由两角和的正切公式 4
王新敞
奎屯 新疆

3 ? tan? ? 3 4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 3 tan( ?? )? ? 3 11 1 ? 3 tan? 3 3 4?3 3 1? 4 3?
【例 3】 (最值辅助角)已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b-1, (a、b 为常数,a<0) ,它的定义域为[0, 域为[-3,1],试求 a、b 的值。
2

π ],值 2

解:f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b-1 =a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b-1 =-2asin (2 x ? ) ? 2a ? b ? 1
π 6

? ? 7 1 π ≤2x+ ≤ π ∴ ? ≤ sin(2 x ? ) ≤1 2 6 6 6 6 ? ∵a<0 ∴a≤-2asin (2x ? ) ≤ -2a 6 ? ∴3a+b-1≤-2asin (2 x ? ) +2a+b-1≤b-1 6
∵0≤x≤ ∴ ∵值域为[-3,1] ∴ ?
0

? 2

?b ? 1 ? 1 ?3a ? b ? 1 ? ?3
0

∴? ?

4 ? a?? 3 ?b ? 2 ?

【变式】已知 0 <α <β <90 ,且 sinα ,sinβ 是方程 x 2 ? ( 2 cos 400 )x ? cos 2 400 ? α )的值。 解:由韦达定理得 sinα +sinβ = 2 cos40 ,sinα sinβ =cos 40 0 2 0

1 =0 的两个实数根,求 sin(β -5 2

1 2

∴ sinβ -sinα = (sin ? ? sin ?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 4 sin ? sin ? ? 2(1 ? cos 2 400 ) ? 2 sin 400 又 sinα +sinβ = 2 cos40
0

1 ? sin ? ? ( 2 cos 40 0 ? 2 sin 40 0 ) ? sin 850 ? ? 2 ∴ ? ?sin ? ? 1 ( 2 cos 40 0 ? 2 sin 40 0 ) ? sin 5 0 ? 2 ?

∵ 0 <α <β < 90

0

0

0 ? ?? ? 85 ∴ ? 0 ? ?? ? 5

∴ sin(β -5α )=sin60 =
?
4

0

3 2
1 sin2 ? 的最值。 2

【例 4】 (最值二次型)已知 ? 解:∵ ?
π π ?β? 6 4

?
6

?? ?

, 3 sin2 ? ? 2 sin2 ? ? 2 sin?,试求sin2 ? ?

∴-

1 1 2 , 0 ? sin2 ? ? ? sin ? ? 2 2 2

∴ 0 ? 2 sin2 ? ? 1

∵ 2 sin 2 ? ? 3 sin 2 ? ? 2 sin ?

∴ 0 ? 3 sin 2 ? ? 2 sin ? ? 1

?2 ? sin? ? 1或 sin? ? 0 2 ? ? ?3 sin ? ? 2 sin? ? 0 ?3 即? ?? 2 ? ?3 sin ? ? 2 sin? ? 1 ? 0 ?? 1 ? sin? ? 1 ? ? 3

1 2 ∴ ? ? sin α ? 0或 ? sin α ? 1 3 3
1 1 1 1 1 y= sin 2 ? ? sin 2 ? ? (3 sin 2 ? ? 2 sin? ) ? sin 2 ? ? (sin? ? ) 2 ? 2 2 2 2 4

当 sin?∈[

2 2 2 ,1]时函数 y 递增,∴当 sina= 时 ymin= ? ; 3 9 3
1 1 ,0)时,函数 y 递减,∴当 sin?=0 时,ymin= 3 2
3

当 sin?∈( ?

∴ 故当 sin? ? 时, (sin2 ? ? sin2 ? ) min ? ? , (sin2 ? ? sin2 ? ) 无最大值 【变式】设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 的最大值. 解:由 y=2(cosx-
a 2 a 2 ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2 1 的 a 值,并对此时的 a 值求 y 2

2 3

1 2

2 9

1 2

(a ? ?2) ?1 ? 2 ? a ? 2a ? 1 (?2 ? a ? 2) f(a) ?? ? 2 (a ? 2) ?1 ? 4a ?

1 1 1 ,∴1-4a= ? a= ?[2,+∞ ) 2 2 8 2 a 1 故- -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 1 1 y=2(cosx+ )2+ ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5. 2 2
∵f(a)= 【例 5】 (角的变换)已知 解:∵
3π π 12 3 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的值_________. 2 4 13 5

π π 3π 3π <β <α < ,∴0<α -β < .π <α +β < , 2 4 4 4 5 4 , cos(α ? β) ? ? 1 ? sin2 (α ? β) ? ? . 13 5

∴sin(α -β )= 1 ? cos2 (α ? β) ?

∴sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β ) 5 4 12 3 56 ? ? ( ? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65 【变式】 (1)已知 8cos(2α +β )+5cosβ =0,求 tan(α +β )·tanα 的值; (2)已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3 cos 2? ? 4 sin 2? 的值。 sin ? ? 3 cos ?

解: (1)从变换角的差异着手。 ∵ 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α ∴ 8cos[(α +β )+α ]+5cos[(α +β )-α ]=0 展开得:13cos(α +β )cosα -3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα 得:tan(α +β )tanα = (1)以三角函数结构特点出发 ∵

13 3

2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3
2



2 tan ? ? 1 ? ?5 tan ? ? 3
2

∴ tanθ =2
? 7 5

∴ 3 cos 2? ? 4 sin 2? ?

3(cos 2 ? ? sin 2 ?) ? 8 sin ? cos ? sin ? ? cos ?

?

3 ? 3 tan 2 ? ? 8 tan ? 1 ? tan ?
2

【例 6】已知奇函数 f(x)的定义域为实数集,且 f(x)在 [0, ?? ) 上是增函数,当 0 ? ? ?

?
2

时,是否存在这样的实数 m,

4

使 f (4m ? 2m cos? ) ? f (2sin 2 ? ? 2) ? f (0) 对所有的 ? ? [0, 若不存在,说明理由。 解:

?
2

] 均成立?若存在,求出所有适合条件的实数 m;

f ( x) 为奇函数,? f (? x) ? ? f ( x)( x ? R) ? f (0) ? 0

f (4m ? 2m cos? ) ? f (2sin2 ? ? 2) ? 0 ? f (4m ? 2m cos? ) ? f (2sin 2 ? ? 2)


f ( x) 在 ?0, ??? 上是增函数,且 f ( x) 是奇函数 ? f ( x) 是 R 上的增函数,

? 4m ? 2m cos ? ? 2sin 2 ? ? 2 ? cos ? ? m cos? ? 2m ? 2 ? 0
2

? ?? ? ? ?0 , ? ? , co ?s? ? ? 2?

0 , 1 l ? cos? (l ? ?0,1?) ? ,令

? 满足条件的 m 应该使不等式 l 2 ? mt ? 2m ? 2 ? 0 对任意 m ? ?0,1? 均成立。
设 g (t ) ? l
2

m ? mt ? 2m ? 2 ? (l ? ) 2 ? 2m ? 2 ,由条件得 2
? m 0? ?1 ? ? 2 或 ? m ? g( ) ? 0 ? ? 2

?m ? ?0 或 ?2 ? ? g (0) ? 0

?m ? ?1 ?2 解得, 4 ? 2 2 ? m ? 2 或 m ? 2 ? ? g (1)? 0

即 m 存在,取值范围是 (4 ? 2
3 2

2, ??)
1 ? , 其中 x ? R,? 为参数,且 0 ? ? ? . 32 2

【变式】已知函数 f ( x) ? 4 x ? 3 x cos ? ?

(1)当 cos ? ? 0 时,判断函数 f ( x ) 是否有极值; (2)要使函数 f ( x ) 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ( x ) 在区间 (2a ? 1, a) 内都是增函数,求实数 a 的取值范围。 解: (1)当 cos ? ? 0 时 f ( x) ? 4 x3 ? 1 , 则 f ( x ) 在 (??, ??) 内是增函数,故无极值。
32

(2) f '( x) ? 12x2 ? 6x cos? , 令 f '( x) ? 0, 得 由0 ?? ?

x1 ? 0, x2 ?

?
2

cos ? . 2

及(I) ,只需考虑 cos ? ? 0 的情况。

当 x 变化时, f '( x) 的符号及 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, 0)
+ 递增

0 0 极大值

(0,

cos ? ) 2


cos ? 2
0 极小值

(

cos ? , ??) 2
+ 递增

递减

5

cos ? cos ? cos ? 1 1 ), 且 f ( ) ? ? cos3 ? ? . 处取得极小值 f ( 2 2 2 4 32 cos ? 1 1 1 ? ? ) ? 0, 必有 ? cos3 ? ? ? 0, 可得 0 ? cos ? ? , 所以 ? ? ? 要使 f ( 2 4 32 2 3 2 cos ? , ??) 内都是增函数。 (3)由(2)知,函数 f ( x ) 在区间 (??, 0) 与 ( 2
因此,函数 f ( x ) 在 x ? 由题设,函数 f ( x ) 在 (2a ? 1, a) 内是增函数,则 a 须满足不等式组

? 2a ? 1 ? a ? ?a ? 0
由(II) ,参数 ? ? (

? 2a ? 1 ? a ? 或? 1 2a ? 1 ? cos ? ? ? 2

1 1 1 , ) 时,0 ? cos ? ? . 要使不等式 2a ? 1 ? cos ? 关于参数 ? 恒成立,必有 2a ? 1 ? . 3 2 2 2 4 5 5 综上,解得 a ? 0 或 ? a ? 1. 所以 a 的取值范围是 (??, 0] [ ,1). 8 8
练习: 一、选择题
π π α?β 1.已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、tanβ ,且α ,β ∈(- , ),则 tan 的值是( 2 2 2

? ?

)

A.

1 2

B.-2

C.

4 3

D.

1 或-2 2

二、填空题 2.已知 sin ? ? 3.设 ? ∈(

3 ? 1 , ? ? ( , ? ) , tan(? ? ? ) ? ,则 tan(? ? 2? ) ? _________. 5 2 2 ? 3? ? ? 3 3? 5

), ? ∈(0, ),cos( ? - )= ,sin( + ? )= ,则 sin( ? + ? )=_________. , 4 13 4 4 4 4 5

三、解答题 4.不查表求值:

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

5.已知 cos(

?
4

+x)=

sin 2 x ? 2 sin2 x 3 17? 7? ,( <x< ),求 的值. 1 ? tan x 5 4 12

6.已知 ? - ? =

8 1 ? cos(π ? α) π β ? 4 sin2 ( ? ) 的最大值及最大值时的条件. π ,且 ? ≠kπ (k∈Z).求 α α 4 4 3 csc ? sin
2 2

7、已知 cos ? +sin ? = 3 ,sin ? +cos ? 的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log1
2

2x ? 3 的最小值,并求取得最小 4 x ? 10

值时 x 的值. 参考答案 一、1.解析:∵a>1,tanα +tanβ =-4a<0. tan α +tan β =3a+1 > 0, 又 α 、 β ∈ ( -

? ? ? π α?β , )∴α 、β ∈(- , θ ), 则 ∈ ( - ,0), 又 tan( α + 2 2 2 2 2

6

??? 2 tan tan ? ? tan ? ? 4a 4 4 2 ? ? , 又 tan(? ? ?) ? ? , β )= ??? 3 1 ? tan ? tan ? 1 ? (3a ? 1) 3 1 ? tan 2 2
α?β α?β α?β 整理得 2tan2 2 ? 3 tan 2 ? 2 =0.解得 tan =-2. 2

答案:B

2.解析:∵sinα =

3 π 4 ,α ∈( ,π ),∴cosα =- 2 5 5

则 tanα =-

1 3 1 ,又 tan(π -β )= 可得 tanβ =- , 4 2 2

2t a n ? t an 2? ? ? 2 1? t a n?

1 2 ? (? ) 2 ? ? 4. 1 3 1 ? (? ) 2 2

3 4 ? ? (? ) tan? ? tan2 ? 7 4 3 tan( ? ? 2? ) ? ? ? 1 ? tan? ? tan 2? 1 ? (? 3 ) ? (? 4 ) 24 4 3
3.解析:α ∈(
π π π 3 π 3π ),α - ∈(0, ),又 cos(α - )= . , 4 2 4 5 4 4

答案:

7 24

4 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 , ? ? (0, ).? ? ? ? ( , ? ).sin( ? ? ) ? ,? cos( ? ? ) ? ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ? ? 3? ? sin(? ? ? ) ? sin[(? ? ) ? ( ? ? ) ? ] ? ? cos[(? ? ) ? ( ? ? )] 4 4 2 4 4 ? 3? ? 3? 3 12 4 5 56 ? ? cos(? ? ) ? cos( ? ? ) ? sin(? ? ) ? sin( ? ? ) ? ? ? (? ) ? ? ? . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(? ? ? ) ? 65 ? sin(? ? )?
三、4.答案:2
π 3 π 7 5.解 : ? cos( ? x) ? ,? sin 2 x ? ? cos 2( ? x) ? . 4 5 4 25 17π 7 5π π π 4 又 ? x ? π,? ? x ? ? 2π,? sin(x ? ) ? ? 12 4 3 4 4 5 sin 2 x ? 2 sin2 x 2 sin x cos x ? 2 sin2 x 2 sin x(sin x ? cos x) cos x ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 π ? (? ) sin 2 x sin( ? x) 5 ? 28 4 ? ? 25 π 3 75 cos( ? x) 4 5

?

6.解 : 令t ?

1 ? cos(? ? ? ) csc

?
2

? sin

?
2

? 4 sin 2 (

?
4

?

?
4

)

?

sin

?
2

(1 ? cos? )

1 ? sin 2

?
2

1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos2 2 2 ? 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin ? ) ?4 ? 2 2 2 2 cos2 2

?

?

?

?

7

?2 2 2 8 8 ? ? ? 2? ? 3 ? ? 2? ?? ? ? ? ? ,? ? ? ? . 3 4 4 2 3 ? 2 1 ? 2? ? t ? 4 sin( ? ? ) ? (? ) ? 2 ? ?2 sin( ? ) ? 2 2 3 2 2 3 2 2 cos
? ? ? k? (k∈Z),?

? 2(sin

?

? sin

?

) ? 2 ? 4 sin

? ??

? ??

? 2 k? 2? (k∈Z) ? ?? ? 2 3 2 3

∴当

π α 2π π α 2 ? ? 2kπ ? , 即 α ? 4kπ ? (k∈Z)时, sin( ? π) 的最小值为-1. 3 2 3 2 2 3

7.解: 设 u=sinα +cosβ .则 u2+( 3 )2=(sinα +cosβ )2+(cosα +sinβ )2=2+2sin(α +β )≤4.∴u2≤1,-1≤u≤1.即 D= [- 1,1],设 t= 2 x ? 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5 .x=
?M ? 2x ? 3 t 1 1 2 ? 2 ? ? ? . 4 4 2 4 x ? 10 2t ? 4 8 2t ? t 4 2 , 即t ? 2时, M max ? .? y ? log0.5 M在M ? 0时是减函数 , t 8 2 5 1 ? log0.5 2 ? log0.5 8 ? 时, 此时 t ? 2 , 2 x ? 3 ? 2 , x ? ? . 8 2 2

t2 ? 3 . 2

当且仅当 2t ?

? y min ? log0.5

8


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