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文科数学


文科数学

一、选择题:本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 。 1.

z ? 2 ? i , 则z ? 1? i A. 1 ? 3i B. 1 ? 3i

C. ? 1 ? 3i

D. ? 1 ? 3i

2.已知集合 A ? { y | y ? ? x2 ? 2, x ? R} , B ? { y | y ? ? x ? 2, x ? R} ,则 A A. (??, 2] B. {(0, 2), (1,1)} C. {1, 2}

B?

D. (0, 2), (1,1)

3.若向量 a、b 满足|a|=|b|=2,a 与 b 的夹角为 60?,a·(a+b)等于 (A)4 (B)6 (C)2+ 3 (D)4+2 3

4 某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时间为 9:00 至 17:00,设甲在当天 13:00 至 18:00 之间 任何时间去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率是( A. )

1 3

B.

3 4

C.

5 8

D.

4 5


5 已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 A. 越扁

x2 y2 ? 2 ? 1,随着 a 的增大该椭圆的形状( 4a a ? 1
D.先越扁后接近于圆

B.越接近于圆 C.先接近于圆后越扁

4

6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形, 则该几何体的体积 A.

2π 3

B.

π 3

C.

2π 9

D.

16 π 9

1
正视图

2

侧视图

7.若 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,执行如图所示 的程序框图,则输出 S 的值为 A. 4 B. 5 C. 7
俯视图

2

D. 9

x 8.现有四个函数:① y ? x ? sin x ;② y ? x ? cos x ;③ y ? x? | cos x | ; ④ y ? x ? 2 的图象

(部分)如下,但顺序被打乱,则按照 从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

A.④①②③

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①

9.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 BC 边上的高为

c b 3 a ,则 ? 取得最大值时,内角 A b c 6

的值为( A.

) B.

? 2

? 6

C.

2? 3

D.

? 3

10. 已知抛物线y 2 ? 4 x, A, B是抛物线是两点 (分别在x轴两侧),AB ? 6,过A, B分别作抛物线 的切线l1 , l2 , l1与l2交于点Q, 求三角形ABQ面积的最大值
27 2

A 11 若函数 f ? x ? ?

B 8

C

12 3

D )

18

sin x ? 2? ,并且 ? a ? b ? ,则下列各结论正确的是( x 3 3 a?b a?b ) ) ? f ?b ? A. f ? a ? ? f ( ab ) ? f ( B. f ( ab ) ? f ( 2 2 a?b a?b ) ? f ?a? ) ? f ( ab ) C. f ( ab ) ? f ( D. f ? b ? ? f ( 2 2

? ?5 sin( x ) (0 ? x ? 1) ? ?4 2 12.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ?( 1 ) x ? 1 ( x ? 1) ? ? 4
2

若关于 x 的方

程 5 ? f ( x) ? ? (5a ? 6) f ( x) ? 6a ? 0 ( a ? R ) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 1或a ?



5 4

B. 0 ? a ? 1或a ?

5 4

C. 0 ? a ? 1或a ?

5 4

D. 1 ? a ?

5 或a ? 0 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

?x ? 3y ? 2 ? 0 ? 13. 13.设 ?3x ? y ? 2 ? 0 围成的区域为 D , P ( x, y ) 为 D 内的一个动点,则 x ? 2 y 的取值范围为 ? x2 ? y 2 ? 4 ?

.

14.为了落实大学生村官下乡建设社会主义新农村政策,将 5 名大学生村官分配到某个镇的 3 个村就职,每镇至 少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有 种. 15.设 ?1 ?

? ?

2? ?1? ?1? ?1? ?1? ? ? a0 ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? a3 ? ? ? a4 ? ? , 则 a 2 ? a 4 的值是 x? ? x? ? x? ? x? ? x?
2

4

2

3

4

16.在△ ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 4sin 的面积的最大值为 .

A? B 7 ? cos 2C ? ,且 c ? 2 ,则△ ABC 2 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分 12 分)已知数列 ?an?1 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n?1 ? 2 , a1 ? 0 . (1)求数列 ?an?1 ? an ? 的通项公式; (2)求 a2 n . 18. (本小题满分 12 分)某家电生产企业市场营销部对本厂生产的某种电器进行了市场调查,发现每台的销售利 润与该电器的无故障使用时间 T (单位:年)有关.若 T

? 2 ,则销售利润为 0 元;若 2 ? T ? 3 ,则销售利

润为100 元; 若T

? 3 ,则销售利润为 200 元,设每台该种电器的无故障使用时间 T ? 2 ,2 ? T ? 3 ,T ? 3

这三种情况发生的概率分别是

P , P2, P3 ,又知 P , P2 是方程 25x2 ? 15x ? a ? 0 的两个根,且 P 1 1 2 ?P 3.

, P2, P3 的值; (1)求 P 1
(2)记 X 表示销售两台该种电器的销售利润总和,求 X 的分布列及期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知⊙O 的直径 AB=3,点 C 为⊙O 上异于 A,B 的一 点,VC⊥平面 ABC,且 VC=2,点 M 为线段 VB 的中点. (1)求证:BC⊥平面 VAC; (2)若直线 AM 与平面 VAC 所成角为

? .求三棱锥 B-ACM 的体积. 4

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1, 0). 抛物线 x2 ? 2 py 上的点 ( 2,1) 处的切线经过椭 2 a b

圆 C 的下顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; ( 2 ) 过 点 F1 的 动 直 线 l 交 椭 圆 C 于 A 、 B 两 点 ( 异 于 长轴端 点 ) . 请 问 是 否 存 在 实常 数 ? , 使 得

| F1 A ? F1B |? ? F1A ? F 1 B 恒成立?若存在,请求出 ? 的值;若不存在,请说明理由;
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? 2 ln x , a ? R . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)已知点 P(0,1) 和函数 f ( x) 图象上动点 M (m, f (m)) ,对任意 m ? [1, e] , 直线 PM 倾斜角都是钝角,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形,延长 BA 和 CD 相交于点 P ,

PA 1 ? , PB 4

PD 1 . ? PC 2 AD (Ⅰ)求 的值; BC (Ⅱ)若 BD 为⊙ O 的直径,且 PA ? 1 ,求 BC 的长.
23. (本题 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 己知抛物线 y ? x ? m 的顶点 M 到直线 l : ?
2

B
?O
C

A D

P

? ?x ? t (t 为参数)的距离为 1 ? ? y ? 1 ? 3t

(1)求 m ; (2)若直线 l 与抛物线相交于 A, B 两点,与 y 轴交于 N 点,求 S?MAN ? S?MBN 的值 24.(本题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 .

(Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若存在实数 x ,使得 f ( x) ?

2 ? x ? a ? 2 ,求实数 a 的取值范围. a

文科数学答案
A ABDB 【解析】a ? DCCDA D

aa ? ab ?

a?b b?b sin x ' x cos x ? sin x ? ? b , f '? x? ? ( ) ? ,令 g ?x ? ?x cosx ? sin x , 2 2 x x2



? ? 2? ? ? ? 2? ? g ' ? x ? ? ? x sin x ? 0 在 ? , ? 成立,所以 g(x)为 ? , ? 的减函数,所以 g(x)<g(0)=0 ,所以 f ' ? x ? ? 0 , ?3 3 ? ?3 3 ?
所以 f ? x ? 为 ?

? ? 2? , ?3 3

a?b ? ? 的减函数,所以 f ? b ? ? f ( 2 ) ? f ( ab ) .C ?

【命题立意】本题旨在考查根的存在及根的个数判断;函数零点与方程根的关系,各种思想的综合运用,譬如转 化,分类讨论,数形结合等,难度较大. 【解析】函数 f(x)图像如图:设 t=f(x),有两种情况符合情况:

原方程化为 (t ? a) ? (5t ? 6) ? 0, 解得t1 = , t2 ? a.当t1 = ,

6 5

6 5

6 5 ? (1, ), 5 4

此时方程有4个根;由题意知,当t=a时,方程应有两个根,

5 结合图像知道,0<a ? 1或a= . 4
【易错易误警示】本题作图容易出现问题问题,一定要考虑到图像与直线 y=1 逐渐逼近,但是不能达到;还有讨 论的时候,第一种情况易漏. 13. [?2 5,3] 14.90 15.40 16.

3

17. 解:(1)设 an?1 ? an ? bn .

2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ? 2 ? 2n .……5 分 当 n… 2 时 bn 的形式.所以, an?1 ? an ? bn ? 2n ……6 分 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 2 ,满足 n…
(2)由(1), an?1 ? an ? 2n ,则 an?2 ? an?1 ? 2n?1 .两式相减,得 an?2 ? an ? 2n .…………8 分

?

? ?

?

由(1) , a1 ? 0 , a2 ? a1 ? 2 ,得 a2 ? 2 .

a2n ? a2 ? ? a4 ? a2 ? ? ? a6 ? a4 ? ? L ? ? a2n?2 ? a2n?4 ? ? ? a2n ? a2n?2 ? ……10 分
? 2 ? 2 ? 2 ?L ? 2
2 4 2 n ?4

?2

2 n ?2

22 ? 22 n ? 2 ? 22 22 n 2 ? ? . …………12 分 …………11 分 ? 2 ? 1 ? 22 3 3

18

19. 19. (1)略(2) VB ? ACM ?

2 3

【命题立意】本题旨在考查立体几何中的线面垂直关系和利用空间向量求二面角的方法. 要求学生要有丰富的空间想象能力,严谨的逻辑推理能力和较强的运算能力. 【解析】 (1)证明:因为 VC⊥平面 ABC, BC

? 平面ABC ,所以 VC⊥BC,

又因为点 C 为圆 O 上一点,且 AB 为直径,所以 AC⊥BC,又因为 VC,AC ? 平面 VAC,VC∩AC=C,所以 BC ⊥平面 VAC. (2)如图,取 VC 的中点 N,连接 MN,AN,则 MN∥BC,由(I)得 BC⊥平面 VAC,所以 MN⊥平面 VAC, 则∠ MAN 为直线 AM 与平面 VAC 所成的角.即∠ MAN=

? 2 ,所以 MN=AN ;令 AC=a, 则 BC= 9-a , 4

9 ? a2 9 ? a2 2 2 MN= ;因为 VC=2,M 为 VC 中点,所以 AN= a ?1 , 所以, = a ?1 ,解得 a=1 因为 MN 2 2
∥BC,所以

V

B ? ACM

1 ? V M ? ABC ? V N ? ABC ? S 3

ABC

NC ?

2 3
1 2 x . 2

20 解: (1)将点 ( 2,1) 的坐标代入 x2 ? 2 py ,得 2 p ? 2 ,所以 x2 ? 2 y ,即 y ? 求导得 y? ? x ,所以点 ( 2,1) 处的切线斜率为 2 .

抛物线在点 ( 2,1) 处的切线的方程为 y ?1 ? 2( x ? 2) ,即 y ? 2x ?1 .……1 分 在 y ? 2x ?1 中,令 x ? 0 ,得 y ? ?1. 因此,椭圆 C 的下顶点为 (0, ?1) .所以 b ? 1 .………2 分

a 2 ? b2 ? 12 ? 2 .椭圆 C 的标准方程为
(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) .

x2 ? y 2 ? 1.………4 分 2

因为 F1 的坐标为 (?1, 0) ,所以可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 .

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 2 消去 x ,并整理得 (m2 ? 2) y 2 ? 2my ?1 ? 0. ? x ? my ? 1 ?
判别式 ? ? 0 恒成立. 由韦达定理,得 y1 ? y2 ?

2m 1 , y1 y2 ? ? 2 .………6 分 2 m ?2 m ?2

| F1 A ? F1B |?| BA |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [(my1 ? 1) ? (my2 ? 1)]2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (m 2 ? 1)( y1 ? y2 ) 2 ? (m2 ? 1)[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ]

? (m2 ? 1)[(

2m 2 4 ) ? 2 ] 2 m ?2 m ?2

?

2 2(m2 ? 1) . ……8 分 m2 ? 2

因为 F 1 A ? ( x1 ? 1, y1 ) ? (my1 , y1 ) , F 1B ? ( x2 ? 1, y2 ) ? (my2 , y2 ) . 所以 F1 A ? F1 B ? (m ? 1) y1 y2 ? ?
2

m2 ? 1 .…………………………………………10 分 m2 ? 2

因此,存在 ? ? ?2 2 ,使得 | F 1A ? F 1 B |? ? F 1 A? F 1 B 恒成立.…………………12 分

21

22. (Ⅰ)由 ?PAD ? ?PCB , ?A ? ?A ,得 ?PAD 与 ?PCB 相似, 设 PA ? x, PD ? y 则有

x y AD x 2 ? ? y ? 2 x ,所以 ? ? BC 2 y 4 2 y 4x

……5 分

(Ⅱ) ?C ? 90 , PA ? 4, PC ? 2 2, BC ? 2 2 ………………………………10 分 23. 解析: (1)M(0,m),直线 l 的一般方程 3x ? y ? 1 ? 0

M 到直线 l 的距离为

?m ? 1 ? 1,解得 m ? 3 或-1 2

1 ? x? t ? 2 ? (2)直线与抛物线相交于 A、B 两点,故将直线 l 的一个标准参数方程为 ? 代入抛物线 y ? x2 ?1 得 ? y ? 1? 3 t ? ? 2

t 2 ? 2 3t ? 8 ? 0 ,故 t1 ? t2 ? 2 3
又 M 到直线的距离为 1, S?MAN ? S?MBN 未找到引用源。 24. (Ⅰ)① 当 x ? ?

1 1 ? ?1? | NA | ? | BN | ? ? t1 ? t2 ? 3 错误!未找到引用源。错误! 2 2

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 ③ 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1
综合①②③不等式的解集为 ? ??, ?3? ? ?1, ?? ? ……………5 分

2 2 即 2x ? 1 ? 2x ? a ? a a 2 由绝对值的几何意义,只需 ? 1 ? a ? ,即 [?2,0) ? [1,??) 为所求.……………10 分 a
(Ⅱ)即 2 x ? 1 ? 2 x ? a ?


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