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上海市虹口区2014届高三5月模拟考试(三模)数学文试题


虹口区 2014 届高三 5 月模拟考试(三模) 数学文
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 ? 是第二象限角,则 分析: 一或三 2、复数 z 满足 z ? 1 ? z ? i ,则此复数 z 所对应的点的轨迹方程是 分析: x ? y ? 0 . 3、已知全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? 2

x ? 3 ? 0, x ? R , B ? ? x m ? 2 ? x ? m ? 2? ,
若 ? CU A ? ? B ? x 0 ? x ? 3 ,则实数 m 的值为 .

? 是第 2

象限角.

?

?

?

?

.

分析: CU A ? ??1,3? ,则 m ? 2 . 4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都
与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .

分析: 设底面半径为 r ,则它们的高 h ? 2r

1 2 4 V1 ? ? r 2 ? 2r ? 2? r 3 , V2 ? ? r 2 ? 2r ? ? r 3 , V3 ? ? r 3 ,则 V1 : V2 : V3 ? 3:1: 2 . 3 3 3
5、已知 tan ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? 的值为 ?6 ? 3 ? 3 ?

.

分析:设 t ?

?

6 6 2 tan t 3 ? 2? ? 则 cos ? ? 2? ? ? cos ?? ? 2t ? ? ? cos 2t ? ? ?? . 2 1 ? tan t 5 ? 3 ?

? ? ,即 ? ?

?

? t , tan t ?

1 3

x 6、 定义在 R 上的奇函数 f ? x ? , f ? ?1? ? 2 , 且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? ? a ? 2? x ? b( a , b

为常数) ,则 f ? ?10? 的值为

.

分析: f ? 0? ? 1 ? b ? 0 , f (1) ? ? f ( ?1) ? ?2 ? 2 ? 2 ? a ? b , 则 b ? ?1 , a ? ? 5 , 当x?0
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时, f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 , f ( ?10) ? ? f (10) ? ?993.
2 7、公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,且 b7 ? a7 ,

则 b1 ? b2

b13 等于

.

2 2 分析:等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? a11 ? 0 ,则 2a7 ? a7 ? 0 , a7 ? 0, 2

取 b7 ? a7 ? 2 , b1 ? b2

13 b13 ? b7 ? 213 ? 8192 .

?x ? y ? 1 ? 0 ? 8、设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?x ? 3 ?
分析: ?6



9、已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 5 ,则 ( 1 ? x)5 ? ( 1 ? x)6 ? ( 1 ? x)7 的展开式 中 x 4 项的系数是数列 ?an ? 中的第 分析: 20
10、已知 ? 为实数,若复数 z ? sin 2? ? 1 ? i

项.

?

2 cos ? ? 1 是纯虚数,则 z 的虚部为

?

? ? ?sin 2? ? 1 ? ? k ? ? ? ? ?sin 2? ? 1 ? 0 ? ? 4 ?? 分析: ? 2 ?? ? ? 2 cos ? ? 1 ? 0 ?cos ? ? ?? ? 2k? ? ? , 2k? ? ? ? 2 ? ? 4 4
则 ? ? 2 k? ?

5? ? k ? Z ? , 2 cos? ?1 ? ?2 . z 的虚部为 ? 2 . 4

11、一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1
分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 分的取法有多少种 分析:设取红球 x 个,白球 y 个,则 ? .

? x ? y ? 5(0 ? x ? 4) ?2 x ? y ? 7(0 ? y ? 6)

?x ? 2 ?x ? 3 ?x ? 4 2 3 3 2 4 1 ,取法为 C4 ?? , ? , ? C6 ? C4 C6 ? C4 C6 ? 186 . y ? 3 y ? 2 y ? 1 ? ? ?
P, 12、 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 集合 Q ? P PA ? 1 ,则集合 Q 1B 1C1D 1 及其内部一动点

?

?

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构成的几何体表面积为

.

1 1 5 ? ?12 ? 3 ? ? 4? ?12 ? ? . 4 8 4 2 2 x y - = 1 的 右 支 上 一 点 , M 、 N 分 别 是 圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 13 、 P 是 双 曲 线 9 16 2 2 . ( x ? 5) ? y ? 1上的点,则 PM ? PN 的最大值等于
分析: S ? 分析:两个圆心正好是双曲线的焦点, PM max ? PF 1 ? 2 , PN max ? PF 2 ? 2 ,再根据 双曲线的定义得 PM ? PN 的最大值等于 9. 14、设 x, y 为实数,且满足: ? x ? 2014 ? ? 2013 ? x ? 2014 ? ? ?2013 ,
3

? y ? 2014 ?

3

? 2013 ? y ? 2014 ? ? 2013 ,则 x ? y ?
3 3

.

分析: ? x ? 2014 ? ? 2013 ? x ? 2014 ? ? ? 2014 ? y ? ? 2013 ? 2014 ? y ? ? ?2013 , 令 f ?t ? ? t 3 ? 2013t ?t ? R ? ,则 f ? t ? 是递增函数,且 f ? x ? 2014? ? f ? 2014 ? y ? 则 x ? 2014 ? 2014 ? y ,即 x ? y ? 4028 .

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、已知 a ? (2, 1) , b ? (?1,

k ) ,如果 a ∥ b ,则实数 k 的值等于(
C.



A. 2
分析: D

B. ?2

1 2

D. ?

1 2

2 2 2
16、已知 a 、 b 、 c 是 ?ABC 的三边长,且满足 a

b c ? 0 ,则 ?ABC 一定是( b c a
C 、直角三角形

) .

A 、等腰非等边三角形
2 2

B 、等边三角形
2

D 、等腰直角三角形

分析: 方程化为 2a ? 2b ? 2c ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 0 ,选 B . 17、 “ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ?| x ? a | ?b ( a, b ? R )在区间 ?1, ?? ? 上为增函数”的( )

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件
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C 、充要条件

分析: a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1| ?b 在 ?1, ?? ? 上为增函数; 反之, f ( x) ?| x ? a | ?b 在区间 ?1, ?? ? 上为增函数,则 a ? 1 ,故选 A . 18 、 如 果 函 数 f ( x ) 在 [a, b] 上 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 M 、 m , 那 么
?x b 的取值范围( m( b? a )? ? f( x ) ? M( b ?.根据这一结论求出 ) a ?2 a ?1 2
2

).

A 、 [0, 3]
分析:求 2
? x2

B 、[

3 , 3] 16

C 、[

3 , 16

3 ] 2

3 D 、 [ , 3] 2

在 ?? 1,

2? 上的最值,选 B .

三、解答题(满分 74 分)

AB ∥ CD , 19、 (本题满分 12 分)如图,直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 底面 ABCD 直角梯形,

?BAD ? 90? , P 是棱 CD 上一点, AB ? 2 , AD ? 2 , AA1 ? 3 , CP ? 3 , PD ? 1 .
(1)求直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的侧面积和体积; (2)求证: PB ? 平面 BCC1B1 . 解 :( 1 ) 底 面 直 角 梯 形 的 面 积

D1 A1

C1

B1
D C B

1 S底面梯形 ? (AB+CD)? AD=3 2 ,V体积 ? S底面积 ? AA1 ? 9 2 2
????????2 分 过 B 作 BM ? CD 交 CD 于 M , 在 R t? B M C 中,

P

A

BM ? 2 , MC ? 2 ,则 BC ? 6 ,?????4 分
D1 C1

侧面积 S侧 ? ( 2 ? 2 ? 6 ? 4) ? 3 ? 18 ? 3 2 ? 3 6 ??6 分 (2)

A1

B1
D M

PC1 ? 3 ? 3 ? 3 2 ,BC1 ? 6 ? 3 ? 15 ,
2 2 2

PB ? 2 ? 1 ? 3
A

O P
B

C

PC ? PB ? BC
2 1 2

2 1 ,

? PB ? BC1 ??????9 分

B1B ? 平面ABCD ,? B1B ? PB .又 B1B ? BC ? B ,? PB ? 平面 BCC1B1 .??12 分

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20、 (本题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , F1 ? ?1,0? 、 F2 ?1,0? 是椭圆的左右 a 2 b2

焦点,且椭圆经过点 ?1, ? . (1)求该椭圆方程;

? 3? ? 2?

M 、 N 两点,求 ?MF2 N 的面积. l (2)过点 F 1 且倾斜角等于 ? 的直线 ,交椭圆于

3 4

?a 2 ? b 2 ? 1 2 ? x2 y 2 ? ?a ? 4 4 2 ? ? 1. 解(1) ? 1 ,则椭圆方程为 ? 4b ? 9b ? 9 ? 0 ? ? 2 9 4 3 ? ? 1 b ? 3 ? ? ? 2 ? a 4b2
??????????6 分 (2)设 M ( x1,

y1 ) , N ( x2 ,

y2 ) ,直线 l : y ? ?1 ? ( x ? 1) .????????8 分

? y ? ?x ?1 ? 由 ? x2 y 2 ? 7x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,????????10 ?1 ? ? 3 ?4
8 8 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ? 7 7 1 S?MF2 N ? F1F2 y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? (? x1 ? 1) ? (? x2 ? 1) ? x2 ? x1 2

82 8 12 2 .??????14 分 ? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1x2 ? 2 ? 4 ? ? 7 7 7
2

21、 (本题满分 14 分)如图, C 、 D 是两个小区所在地, C 、 D 到一条公路 AB 的垂直距离 分别为 CA ? 1 km , DB ? 2 km , AB 两端之间的距离为 6 km . (1)某移动公司将在 AB 之间找一点 P ,在 P 处建造一个信号塔,使得 P 对 A 、 C 的张角 与 P 对 B 、 D 的张角相等,试确定点 P 的位置. (2)环保部门将在 AB 之间找一点 Q ,在 Q 处建造一个垃圾处理厂,使得 Q 对 C 、 D 所张角 最大,试确定点 Q 的位置.

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D C A B C A

D

P

Q

B

解: (1)设 PA ? x , ?CPA ? ? , ?DPB ? ? .

1 2 , tan ? ? .????????3 分 x 6? x 1 2 由 tan ? ? tan ? ,得 ? ,解得 x ? 2 ,故点 P 应选在距 A 点 2 km 处.????6 分 x 6? x
依题意有 tan ? ? (2)设 PA ? x , ?CQA ? ? , ?DQB ? ? . 依题意有 tan ? ?

1 2 , tan ? ? , x 6? x

1 2 ? x?6 ????10 分 tan ?CQD ? tan[? ? (? ? ? )] ? ? tan(? ? ? ) ? ? x 6 ? x ? 2 1 2 x ? 6 x ? 2 1? ? x 6? x x?6 t 1 1 2 , 令t ? x ? 6, 由0 ? x ? 6, 得6 ? t ? , tan ?CQD ? 2 ? 2 ? x ? 6 x ? 2 t ? 18t ? 74 t ? 74 ? 18 t
??????12 分

74 74 55 74 1 ?6? ? ? 18 ? , ,? 2 74 ? 18 ? t ? t 6 3 t 3 74 ? 18 ? 0 , 当 2 74 ? 18 ? t ? 所张的角为钝角, 最大角当 t= 74 , 即x? 7 4 ? 6 时取得, t 2 74 ? t ?
故点 Q 应选在距 A 点 74 ? 6 km 处.??????14 分 22、 (本题满分 16 分)阅读: 已知 a 、 b ? ? 0, ??? , a ? b ? 1 ,求 y ? 解法如下: y ?

1 2 ? 的最小值. a b

1 2 ?1 2? b 2a ? ? ? ? ? ? a ? b? ? ? ? 3 ? 3? 2 2 , a b ?a b? a b
b 2a ? ,即 a ? 2 ?1, b ? 2 ? 2 时取到等号, a b

当且仅当

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则y?

1 2 ? 的最小值为 3 ? 2 2 . a b

应用上述解法,求解下列问题: (1)已知 a, b, c ? ? 0, ??? , a ? b ? c ? 1 ,求 y ? (2)已知 x ? ? 0, ? ,求函数 y ? (3)已知正数 a1 、 a2 、 a3 , 求证: S ?

1 1 1 ? ? 的最小值; a b c

? ?

1? 2?

1 8 ? 的最小值; x 1? 2x

, an , a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? 1,
2 an 1 ? . an ? a1 2

2 2 a3 a12 a2 ? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4

?

解(1) y ?

1 1 1 ?1 1 1? ?b a c a c b? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? b ? c? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? , a b c ?a b c? ?a b a c b c?

??????????????2 分

b a c a c b ? ? ? ? ? ?6, a b a c b c 1 1 1 1 当且仅当 a ? b ? c ? 时取到等号,则 y ? 9 ,即 y ? ? ? 的最小值为 9 . 3 a b c
而 ????????????5 分 (2) y ?

2 8 8 ? 1? 2x 2x ? 2 , ? ?? ? ? 8? ? ? ? 2 x ? 1 ? 2 x ? ? 10 ? 2 ? 2x 1 ? 2x ? 2x 1 ? 2x ? 2x 1 ? 2x

????????????7 分 而 x ? ? 0, ? , 2 ?

? ?

1? 2?

1? 2x 2x ? 8? ? 2 16 ? 8 , 2x 1? 2x

当且仅当 2 ?

1? 2x 2x 1 ? 1? ? 8? ,即 x ? ? ? 0, ? 时取到等号,则 y ? 18 , 2x 1? 2x 6 ? 2? 1 8 ? 的最小值为 18 .????????10 分 x 1? 2x
2 ? an ? ? ?? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? an ? a1 ? ?

所以函数 y ?

2 ? a12 a2 (3) 2S ? ? ? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 2 ? ? a12 ? a2 ?

? ? an ? a1 ? ? ?
2 ? an a2 ? ? a1 ? a2 ? ? 1 ? ? an ? a1 ?? an ? a1 a1 ? a2 ?

2 ? a12 a2 2 ? an ? ? a ? a ? ? ? a ? a ? 2 3 ? a ? a ? ? a1 ? a2 ? ? 2 3 ? 1 2

?

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2 ? ? a12 ? a2 ?

2 ? an ? ? ? 2a1a2 ? 2a2a3 ?

? 2an a1 ? ? ? a1 ? a2 ?

? an ? ? 1
2

当且仅当 a1 ? a2 ?

? an ?

1 1 时取到等号,则 S ? .?????????16 分 n 2

23、 (本题满分 18 分)已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足:

a1 ? ? , an ?1 ?

2 n an ? n ? 4, bn ? ? ?1? ? an ? 3n ? 21? ,其中 ? 为实数, n 为正整数. 3

(1)对任意实数 ? ,求证: a1 , a2 , a3 不成等比数列; (2)试判断数列 ?bn ? 是否为等比数列,并证明你的结论; (3)设 Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 Sn ? ?12 ? 若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
2 解(1)证明:假设存在一个实数 ? ,使 a1 , a2 , a3 是等比数列,则有 a2 ? a1a3 ,

即 ( ? ? 3) ? ? ( ? ? 4) ?
2

2 3

4 9

4 2 4 ? ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 9 9

所以 a1 , a2 , a3 不成等比数列.??????????4 分 (2)因为 bn ?1 ? ? ?1?
n ?1

? ? an ?1 ? 3? n ? 1? ? 21? ? ? ? ?1?

n ?1

?2 ? ? an ? 2n ? 14 ? ?3 ?

2 2 ? (?1)n (an ? 3n ? 21) ? ? bn ????????6 分 3 3
又 b1 ? ?(? ? 18) , 所以当 ? ? ?18 , bn ? b1 ? 0 ,( n 为正整数),此时 ?bn ? 不是等比数列.??8 分 当 ? ? ?18 时, b1 ? 0 ,由上式可知 bn ? 0 ,∴

bn ?1 2 ? ? ( n 为正整数) , bn 3
2 为公比的等比数列. 3

故当 ? ? ?18 时,数列 ?bn ? 是以 ? ? ? ? 18? 为首项,- ????????????10 分

(3)由(2)知,当 ? ? ?18 时, bn ? 0 , 则 Sn ? 0 ,所以 Sn ? ?12 恒成立.
n ?1 当 ? ? ?18 ,得 bn ? ?(? ? 18)(? ) ,于是 Sn ? ?

2 3

3 2 n? ? (? ? 18)·   1-(- ) . ? 5 3 ? ? ?

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??????????????13 分 要使对任意正整数 n ,都有 Sn ? ?12 成立,即 ? (? ? 18)[1 ? (? ) ] ? ?12
n

3 5

2 3

??

? 2? ? 18 ,令 f (n) ? 1 ? ? ? ? , n ? 3? ? 2? 1? ? ? ? ? 3?
20
5 ; 3
当 n 为正偶数时,

n

则当 n 为正奇数时, 1 ? f ? n ? ? ∴ f ? n ? 的最大值为 f ?1? ?

5 ? f (n) ? 1, 9

5 3 , 于是可得 ? ? 20 ? ? 18 ? ?6, 3 5

综上所述,存在实数 ? ? (??, ?6) ,使得对任意正整数 n ,都有 Sn ? ?12 ??????????????????18 分

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