kl800.com省心范文网

【第一章 解三角形章末综合检测(A)


第一章 解三角形章末检测(A)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a= 等于( ) 5 A. 3 答案 B 解析 5 4 5 5 5 6 5 b,A=2B,则 cos B 2

B.

C.

D.


a sin A , b sin B 5 sin A 5 ∴a= b 可化为 = . 2 sin B 2 sin 2B 5 5 又 A=2B,∴ = ,∴cos B= . sin B 2 4
由正弦定理得 = → 2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 BA ·AC等于( 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2 答案 A 解析 由余弦定理得 AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 cos A= = = . 2AB·AC 12 4 1 3 → → → ∴ AB ·AC=|AB|·|AC|·cos A=3×2× = . 4 2 3 → → → ∴ BA ·AC=-AB·AC=- . 2 3.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30°,则 c 等于( A.2 5 B. 5 C.2 5或 5 D.以上都不对 答案 C 2 2 2 解析 ∵a =b +c -2bccos A, 3 2 ∴5=15+c -2 15×c× . 2 化简得:c -3 5c+10=0,即(c-2 5)(c- 5)=0, ∴c=2 5或 c= 5. 4.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( A.a=8,b=16,A=30°,有两解 B.b=18,c=20,B=60°,有一解 C.a=5,c=2,A=90°,无解 D.a=30,b=25,A=150°,有一解 答案 D A 中,因 = , sin A sin B 16×sin 30° 所以 sin B= =1,∴B=90°,即只有一解; 8 20sin 60° 5 3 B 中,sin C= = , 18 9 且 c>b,∴C>B,故有两解;C 中, 解析
2

)

)

)

a

b

1

∵A=90°,a=5,c=2, 2 2 ∴b= a -c = 25-4= 21, 即有解,故 A、B、C 都不正确. 1 5.△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为( 3 A. C. 9 2 2 9 2 B. 4 )

9 2 D.9 2 8 答案 C 解析 设另一条边为 x, 1 2 2 2 则 x =2 +3 -2×2×3× , 3 1 2 2 2 ∴x =9,∴x=3.设 cos θ = ,则 sin θ = . 3 3 3 3 9 2 9 2 = = ,R= . sin θ 2 2 4 8 3 b+c 2 A 6. 在△ABC 中, cos = (a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边), 则△ABC 的形状为( ) 2 2c A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 答案 A b+c b 2A 解析 由 cos = ? cos A= , 2 2c c b2+c2-a2 又 cos A= , 2bc 2 2 2 2 2 2 2 ∴b +c -a =2b ? a +b =c ,故选 A. 7.已知△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a=c= 6+ 2,且 A=75°,则 b 等于( ) A.2 B. 6- 2 C.4-2 3 D.4+2 3 答案 A 6+ 2 解析 sin A=sin 75°=sin(30°+45°)= , 4 1 由 a=c 知,C=75°,B=30°.sin B= . 2 ∴2R=

b a 6+ 2 由正弦定理: = = =4. sin B sin A 6+ 2 4 ∴b=4sin B=2.
7 2 2 8.在△ABC 中,已知 b -bc-2c =0,a= 6,cos A= ,则△ABC 的面积 S 为( 8 A. 15 2 答案 A B. 15 8 15 C. 5 D. 6 3 )

2

解析 由 b -bc-2c =0 可得(b+c)(b-2c)=0. 2 2 2 ∴b=2c,在△ABC 中,a =b +c -2bccos A, 7 2 2 2 即 6=4c +c -4c · . 8 1 1 15 ?7?2 ∴c=2,从而 b=4.∴S△ABC= bcsin A= ×2×4× 1-? ? = . 2 2 2 ?8? 9.在△ABC 中,AB=7,AC=6,M 是 BC 的中点,AM=4,则 BC 等于( A. 21 B. 106 C. 69 D. 154 答案 B 设 BC=a,则 BM=MC= . 2 2 2 2 在△ABM 中,AB =BM +AM -2BM·AM·cos∠AMB, 1 2 2 a 2 即 7 = a +4 -2× ×4·cos∠AMB ① 4 2 2 2 2 在△ACM 中,AC =AM +CM -2AM·CM·cos∠AMC 1 2 a 2 2 即 6 =4 + a +2×4× ·cos∠AMB ② 4 2 1 2 2 2 2 2 ①+②得:7 +6 =4 +4 + a ,∴a= 106. 2 sin A cos B cos C 10.若 = = ,则△ABC 是( ) 解析

2

2

)

a

a

b

c

A.等边三角形 B.有一内角是 30°的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一内角是 30°的等腰三角形 答案 C sin A cos B 解析 ∵ = ,∴acos B=bsin A,

a

b

∴2Rsin Acos B=2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0. ∴cos B=sin B,∴B=45°.同理 C=45°,故 A=90°. 2 2 2 11.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tan B= 3ac,则 角 B 的值为( ) π π A. B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 答案 D 2 2 2 解析 ∵(a +c -b )tan B= 3ac, a2+c2-b2 3 ∴ ·tan B= , 2ac 2 3 . 2 π 2π ∵0<B<π ,∴角 B 的值为 或 . 3 3 π 12.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为( ) 3 ? π? ? π? A.4 3sin?B+ ?+3 B.4 3sin?B+ ?+3 3? 6? ? ? 即 cos B·tan B=sin B=
3

? π? ? π? C.6sin?B+ ?+3 D.6sin?B+ ?+3 3? 6? ? ? 答案 D π BC AC AB 解析 A= ,BC=3,设周长为 x,由正弦定理知 = = =2R, 3 sin A sin B sin C BC AB+BC+AC 由合分比定理知 = , sin A sin A+sin B+sin C 3 x 即 = . 3 3 +sin B+sin C 2 2 ? 3 ? +sin B+sin?A+B??=x, ?2 ? π ? ? ?? 即 x=3+2 3?sin B+sin?B+ ?? 3 ?? ? ? π π? ? =3+2 3?sin B+sin Bcos +cos Bsin ? 3 3? ? 1 3 ? ? =3+2 3?sin B+ sin B+ cos B? 2 2 ? ? 3 ?3 ? =3+2 3? sin B+ cos B? 2 ?2 ? 1 ? 3 ? =3+6? sin B+ cos B? 2 ?2 ? π ? ? =3+6sin?B+ ?. 6? ?
∴2 3? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 2a b c 13.在△ABC 中, - - =________. sin A sin B sin C 答案 0 2 2 2 14.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a +c -b = 3ac,则角 B 的值为________. π 答案 6 ∵a +c -b = 3ac, a2+c2-b2 3ac 3 π ∴cos B= = = ,∴B= . 2ac 2ac 2 6 解析 15.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1,b= 3, A+C=2B,则 sin C=________. 答案 1 解析 在△ABC 中,A+B+C=π ,A+C=2B. π ∴B= . 3 asin B 1 由正弦定理知,sin A= = . b 2 又 a<b. π π ∴A= ,C= . 6 2 ∴sin C=1. 16.钝角三角形的三边为 a,a+1,a+2,其最大角不超过 120°,则 a 的取值范围是
4
2 2 2

________. 答案 3 ≤a<3 2

解析

a+?a+1?>a+2 ? ?a +?a+1? -?a+2? <0 由? a +?a+1? -?a+2? 1 ≥- ? ? 2a?a+1? 2
2 2 2 2 2 2

.

3 解得 ≤a<3. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(10 分)如图所示,我艇在 A 处发现一走私船在方位角 45°且距离为 12 海里的 B 处正以每小时 10 海里的速度向方位角 105°的方向逃窜,我艇立即以 14 海里/小时的速度 追击,求我艇追上走私船所需要的时间.

解 设我艇追上走私船所需时间为 t 小时,则 BC=10t,AC=14t,在△ABC 中, 由∠ABC=180°+45°-105°=120°, 根据余弦定理知: 2 2 2 (14t) =(10t) +12 -2·12·10tcos 120°, ∴t=2. 答 我艇追上走私船所需的时间为 2 小时. 4 18.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A= . 5 B + C 2 (1)求 sin +cos 2A 的值; 2 (2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a. 1-cos?B+C? 1+cos A 59 2 B+C 2 解 (1)sin +cos 2A= +cos 2A= +2cos A-1= . 2 2 2 50 4 3 (2)∵cos A= ,∴sin A= . 5 5 1 1 3 由 S△ABC= bcsin A,得 3= ×2c× ,解得 c=5. 2 2 5 2 2 2 由余弦定理 a =b +c -2bccos A,可得 4 a2=4+25-2×2×5× =13,∴a= 13. 5 19.(12 分)如图所示,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°, BD 交 AC 于 E,AB=2.

(1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE. 解 (1)∵∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD, ∴∠CBE=15°.
5

∴cos∠CBE=cos(45°-30°)= (2)在△ABE 中,AB=2,

6+ 2 . 4

由正弦定理得 = , sin∠ABE sin∠AEB AE 2 即 = , sin?45°-15°? sin?90°+15°? 1 2× 2 2sin 30° 故 AE= = = 6- 2. cos 15° 6+ 2 4 20.(12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 3 a=2,cos B= . 5 (1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值. 3 解 (1)∵cos B= >0,且 0<B<π , 5 4 2 ∴sin B= 1-cos B= . 5 由正弦定理得 = , sin A sin B 4 2× 5 2 asin B sin A= = = . b 4 5 1 1 4 (2)∵S△ABC= acsin B=4,∴ ×2×c× =4, 2 2 5 ∴c=5. 3 2 2 2 2 2 由余弦定理得 b =a +c -2accos B=2 +5 -2×2×5× =17,∴b= 17. 5 21.(12 分)(2010·辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A =(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 2 解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 2 2 2 即 a =b +c +bc. 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 1 故 cos A=- ,A=120°. 2 2 2 2 (2)方法一 由(1)得 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C, 3 2 2 又 A=120°,∴sin B+sin C+sin Bsin C= , 4 ∵sin B+sin C=1,∴sin C=1-sin B. 3 2 2 ∴sin B+(1-sin B) +sin B(1-sin B)= , 4 1 2 即 sin B-sin B+ =0. 4 1 1 解得 sin B= .故 sin C= . 2 2
6

AE

AB

a

b

∴B=C=30°. 所以,△ABC 是等腰的钝角三角形. 方法二 由(1)A=120°,∴B+C=60°, 则 C=60°-B, ∴sin B+sin C=sin B+sin(60°-B) 3 1 =sin B+ cos B- sin B 2 2 1 3 = sin B+ cos B 2 2 =sin(B+60°) =1, ∴B=30°,C=30°. ∴△ABC 是等腰的钝角三角形. 22.(14 分)已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b), n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 (1)证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B, 即 a· =b· , 2R 2R 其中 R 是△ABC 外接圆半径,∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意知 m·p=0, 即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 2 2 2 由余弦定理可知,4=a +b -ab=(a+b) -3ab, 2 即(ab) -3ab-4=0. ∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S△ABC= absin C= ×4×sin = 3. 2 2 3

a

b

7


第一章 解三角形章末检测(A)

第一章 解三角形章末检测(A)_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形章末检测(A)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.△ABC ...

第一章 解三角形 章末检测(人教A版必修5)(1)

第一章 解三角形 章末检测(人教A版必修5)(1)_高一数学_数学_高中教育_教育...2 2 9.在△ABC 中,cos2 A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等腰...

高三数学必修5第一章解三角形章末检测检测题(附答案)

小编准备了高三数学必修 5 第一章解三角形章末检测检测题,具体请看 以下内容。一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.在△ABC 中,a=...

【名师一号】高中数学(人教A版)必修5第一章 解三角形 测试题(含详解)

【名师一号】高中数学(人教A版)必修5第一章 解三角形 测试题(含详解)_数学_高中教育_教育专区。第一章测试 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大...

第一章 解三角形 单元测试1(人教A版必修5)

第一章 解三角形 单元测试1(人教A版必修5)_高一数学_数学_高中教育_教育专区...3 ) 12. 如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角...

2015-2016学年人教A版必修五 解三角形 章末测试题(A)

2015-2016学年人教A版必修五 解三角形 章末测试题(A)_数学_高中教育_教育专区。第一章 章末测试题(A) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共...

宣威市第八中学高二年级单元检测数学试卷第一章 解三角形 单元测试1(人教A版必修5)9月1日

宣威市第八中学高二年级单元检测数学试卷第一章 解三角形 单元测试1(人教A版必修5)9月1日_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形 单元测试1(人教...

2014年高中数学 第一章 解三角形测试卷A 新人教A版必修5

2014年高中数学 第一章 解三角形测试卷A 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形检测题 A 本试卷分第Ⅰ卷 和第Ⅱ卷两部分.时间:120 分钟...

第一章解三角形单元综合测必修试(人)教A版5

【数学】第一章解三角形... 6页 1财富值 第一章解三角形单元测试(人.....第一章解三角形单元综合测必修试(人)教A版5第一章解三角形单元综合测必修试...

必修五第一章解三角形 | 解三角形的综合应用 | 解三角形综合题 | 解三角形综合大题 | 电磁感应章末检测 | 数理报圆章末检测题 | 静电场章末检测 | 磁场章末检测 |