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空间向量及其线性运算课件


复习回顾:平面向量 既有大小又有方向的量。 1、定义: 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b a
向量加法的三角形法则

b a
向量加法的平行四边形法则

a b a
向量减法的三角形法则

ka ka
向量的数乘

(k>0) (k<0)

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律:

a+b =b+a ( a + b) + c = a + (b + c ) k ( a + b) = k a+k b

加法结合律:

数乘分配律:

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律

( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律 k ( a + b ) = k a+ k b

( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律

k ( a + b ) = k a+ k b

共线向量亦称平行向量

平面共线向量定理的内容, 对空间向量也是成立的。

例1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点, 化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量。 A1 (1)CB+BA1 B1 1 (2)AC+CB+ AA1 2 C1 M (3)AA1-AC-CB
解:(1) (2) (3)
CB + BA1 = CA1

A C

1 AC + CB + AA1 = AM 2

B

AA1 ? AC ? CB = BA1

例2.在长方体OADB-CA'D'B'中,OA=3,OB=4, OC=2,OI=OJ=OK=1,点E,F分别是DB,D'B'的中点。 设OI=i,OJ=j,OK=k,试用向量i,j,k表示OE,OF

3 OE = i + 4 j 2
3 OF = i + 4 j + 2k 2

练习:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 ABCDABCD 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB + BC ( 2 ) AB + AD + AA 1 1 ( 3) ( AB + AD + AA 1 ) 3 1 ( 4 ) AB + AD + CC 1 2
解: ) AB + BC= AC ; (1
A D B A1 G C D1 B1 M C1

( 2 ) AB + AD + AA 1 = AC + AA 1 = AC + CC 1 = AC 1

练习2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC

解(1) AB1 + A1 D1 + C1C
= AB1 + B1C1 + C1C
A1

D1 B1

C1

= AC ∴ x = 1.
A

D B

C

( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC 1 (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1

练习2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。

( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC1
( 2 ) 2 AD 1 ? BD 1
= AD1 + AD1 ? BD1
= AD1 + ( BC1 ? BD1 ) = AD1 + D1C1 = AC1
A1 D1 B1 C1

∴ x = 1.
A

D B

C

练习2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ABCDABCD 求满足下列各式的x的值。

(3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1

(3) AC + AB1 + AD1
= ( AD + AB) + ( AA1 + AB) + ( AA1 + AD)
= 2( AD + AB + AA1 ) = 2AC1
D1 A1 B1 C1

∴ x = 2.
A

D B

C

在空间四边形ABCD ABCD中 分别是BC CD边的中点 BC、 边的中点, 练习3 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简 A

1 (1) AB + ( BC + BD) 2 1 (2) AG ? ( AB + AC ) 2
D G

(1)原式=AB + BM + MG = AG
(2)原式
1 = AB + BM + MG ? ( AB + AC ) 2 1 = BM + MG + ( AB ? AC ) 2 =BM + MG+ MB = MG

B

M

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习4 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(1)AC = x(AB+ BC+ CC )
' ' '

(2)AE= AA + xAB+ yAD

A

D

B

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习4 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(1)AC = x(AB+ BC+ CC )
' ' '

(2)AE= AA + xAB+ yAD

A

D

B

C

在立方体AC 是面AC 的中心,求下列各式中的x,y. 练习4 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y. A E B C

D

(2)AE= AA + xAB+ yAD
'

A

D

B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律

( a + b ) + c = a + (b + c ) 数乘分配律
k ( a + b ) = k a+ k b

( a + b ) + c = a + (b + c )
数乘分配律

k ( a + b ) = k a+ k b


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