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高二下学期期末文科数学及答案


高二文科 数学试卷
【完卷时间:120 分钟;满分 150 分】
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求.)
1.设集合 A ? ?a, b?, B ? ?b, c, d ?, ,则 A ? B ( A. ?a, b, c, d ? B. ?b, c, d ? ) D. ?b?



C. ?a, c, d ? )

2.命题“?x∈R,x3-2x+1=0”的否定是( A.?x∈R,x -2x+1≠0 C.?x∈R,x3-2x+1≠0 3.函数 f ( x) ? A. (?1, ??)
3

B.不存在 x∈R,x3-2x+1≠0 D. ?x∈R,x3-2x+1=0

x ?1 的定义域是( x ?1
B. [?1, ??)

) C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??)
g ( x)

4. 将指数函数 f ? x ? 的图象向右平移一个单位,得到如图的 g ?x ? 的图象,则 f ?x ? ? ( A. ? ? ) B. ? ?
x
x

?1? ?2?

?1? ?3?

C. 2

x

D. 3

x

5.下列函数中,既是偶函数又在区间 ?0,??? 上单调递减的是( A. y ?



1 x

B. y ? ? x ? 1
2

C. y ? e )

?x

D. y ? lg | x |

6. 函数 f ( x) ? log a (4 x ? 3) 过定点( A. (

3 ,1 ) 4
1. 2

B. (

3 ,0 ) 4
?0 . 8

C. (1,1)

D.(1, 0) )

7. 已知 a ? 2

,b ? ( )

1 2

, c ? 2 log5 2 ,则 a , b , c 的大小关系为( C. b ? a ? c D. b ? c ? a

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b

高二文科数学

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8. 函数 f ( x) ? ln x ? x 在区间 (0 , e] 的最大值为( A. 1 ? e B. - e C. -1



D.0 )

9. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ( x ? 0) ,则 f (2013 ) ?( f ( x ? 3 ) ( x ? 0 ) ?
B. 1 C.

A. 2

1 2

D.

1 4


1 10.已知 a 是 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x 的零点,若 0<x0<a, 则f ( x0 ) 的值满足( 2
A. f ( x0 ) ? 0 B. f ( x0 )<0 C. f ( x0 )>0

D. f ( x0 ) 的符号不确定

?a a ? b 11.定义一种运算: a ? b= ? 已知函数 f (x)=2x ? (3-x) ,那么函数 y =f (x) 的 ?b a < b
图像大致是 (


12.某同学在研究函数 f ( x) ?

2x ( x ? R) 时,给出下列结论: x ?1

① f (? x) ? f ( x) ? 0 对任意 x ? R 成立; ②函数 f ( x ) 的值域是 (?2, 2) ; ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在 R 上有三个零点. 则正确结论的序号是( ) A.②③④ B.①②③

C. ①③④

D.①②③④

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置.)

1 13. 幂函数的图象过点 (3, ) ,则其解析式为 9
14.已知关于 x 的不等式 x 2 ? m x ? m ? 0 在 R 上恒成立,则实数 m 的取值范围是______
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15.函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x . 若在区间 [?2, 2] 上方程 ax ? a ? f ( x ) ? 0 恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 _______. 16.若直角坐标平面内两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 f ( x) 的图象上;②P、Q 关于原 点对称,则称点对(P,Q)是函数 f ( x) 的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作 同一个“友好点对”) .已知函数 f ( x ) ? ? 有 个.
?x ? ( x ? 0) ? 2e , ,则 f ( x) 的 “友好点对” 2 ? x ? 2 x , ( x ? 0 ) ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? { x x ? 2} , B ? {x ( x ? 2a)(x ? a) ? 0}. a ? 0 (Ⅰ)当 a ? 3 时,求集合 A ∩ B ; (Ⅱ)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 ? p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

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18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:函数 y ? a x 在 R 上单调递增;q:函数 f ( x) ? ax ? 2 在(-1,2)上存在一个

零点.如果“p 或 q”为真,且“p 且 q”为假,求实数 a 的范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? b
2 (1)若 f ( x) 在 x ? 2 有极小值 1 ? e ,求实数 a , b 的值;

(2)若 f ( x) 在定义域 R 内单调递增,求实数 a 的取值范围.

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20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log a

1? x , (a ? 0, 且a ? 1) 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)证明 f ( x) 为奇函数; (3)求使 f ( x) ? 0 成立的的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 某小商品公司开发一种亚运会纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平 均销售 a 件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金提高,市场分析的结果表明: 如果产品的销售价提高的百分率为 x(0 ? x ? 1) ,那么月平均销售量减少的百分率为 x ,记
2

改进工艺后,该公司销售纪念品的月平均利润是 y(元) 。 (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使该公司销售该纪念品的月平均利润最大。

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ( a ? R ) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 设 gx () ? x
2

? 2 x ? 2

, 若对任意 x1 ? (0, ??) , 均存在 x2 ??0,1? , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

求 a 的取值范围.

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高二文科数学答卷
一、选择题:
1~5:ACDCB 6~10: DACBC 11~12:AB

二、填空题: 13: y ? x ?2 三、解答题:
17. (Ⅰ)解:因为集合 A ? {x x ? 2} ? {x x ? ?2或x ? 2} , 当 a ? 3 时,集合 B ? {x | ( x ? 6)( x ? 3) ? 0} ? {x | ?3 ? x ? 6} , 所以 A ∩ B ? {x ? 3 ? x ? ?2, 或 2 ? x ? 6} . ………… 2 分 ………… 4 分

14: ?0,4?

15: ?0,1?

16:2

…………… 6 分

(Ⅱ)∵ ? p 是 q 的充分条件∴ ? p ? q 即 C R A ? B …………… 7 分 ∵ CR A ? x ? 2 ? x ? 2

?

?
……… 9 分

B ? {x ( x ? 2a)(x ? a) ? 0} ? ?x ? a ? x ? 2a? , a ? 0
?a ? 0 ?a ? 0 ? ? ∴ ? ? a ? ?2 ? ? a ? 2 ?2 a ? 2 ?a ? 1 ? ?
解得 a ? 2 .

………………………… 11 分

故实数 a 的取值范围为 ?2,???

…………………… 12 分

18.解:∵命题 p:函数 y ? a x 在 R 上单调递增∴p: a ? 1 ………… 2 分 ∵命题 q:函数 f ( x) ? ax ? 2 在(-1,2)上存在一个零点. ∴ f (?1) ? f (2) ? 0 即 (?a ? 2) ? (2a ? 2) ? 0 ………… 4 分 ∴q: a ? ?1 或 a ? 2 ………… 6 分 由“p 或 q”为真,且 “p 且 q”为假, 得“p 真 q 假”或“p 假 q 真”. ………… 7 分 若 p 真 q 假,则 ?

?a ? 1 得 1 ? a ? 2 ;………… 9 分 ?? 1 ? a ? 2

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若 p 假 q 真,则 ?

?a ? 1 得 a ? ?1 ………… 11 分 a ? ? 1 或 a ? 2 ?

综上所述,实数 a 的取值范围为 ?? ?, ? 1) ? (1,2] ………… 12 分 19.解: (1) f ?( x) ? e x ? a 依题意得 ? ????1 分

? f ?(2) ? 0

2 ? ?e ? a ? 0 即 ????4 分 ? 2 2 2 e ? 2 a ? b ? 1 ? e ? f (2) ? 1 ? e ? ?

?a ? e 2 解得 ? ,故所求的实数 a ? e 2 , b ? 1 ?b ? 1
(2)由(1)得 f ?( x) ? e x ? a ∵ f ( x) 在定义域 R 内单调递增 即 a ? e x , x ? R 恒成立 ∵ x ? R时,e x ? (0,??) ∴a ? 0 所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0?

????6 分

∴ f ?( x) ? e ? a ? 0 在 R 上恒成立????8 分
x

????10 分 ????12 分

20.解: (1)由

1? x ? 0 得 ( x ? 1)(x ? 1) ? 0 1? x ∴ ?1 ? x ? 1
所以 f ( x) 的定义域为 ?? 1,1? (2)∵ f ( x) 的定义域为 ?? 1,1? 关于原点对称 又 f (? x) ? loga ????3 分 ????4 分

1? x ?1? x ? ? loga ? ? 1? x ?1? x ?

?1

? ? loga

1? x ? ? f ( x) ????6 分 1? x
????7 分

∴ f ( x) 为奇函数 (3)当 a ? 1 时,由 log a

1? x 2x ? 1? ? 0 即 2 x( x ? 1) ? 0 ∴ 0 ? x ? 1 1? x 1? x 1? x ? 0 ? log a 1 得 当 0 ? a ? 1 时,由 log a 1? x 1? x 2x ? 1? ? 0 即 2 x( x ? 1) ? 0 ∴ x ? 0或x ? 1 1? x 1? x
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1? x ? 0 ? log a 1 得 1? x

????9 分

∵ ?1 ? x ? 1

∴ ?1 ? x ? 0

????11 分

综上所述,当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ?0,1? 当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 ?? 1,0? ????12 分

21. 解: ( 1 )改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1 ? x) 元,月平均销售量为 a(1 ? x 2 ) 件, ?????????????????????2 分

则月平均利润 y ? a(1 ? x2 ) ? [20(1 ? x) ? 15] (元) ,

? y与x 的函数关系式为 y ? 5a(1 ? 4x ? x2 ? 4x3 )(0 ? x ? 1) ????5 分
(2)由 y ? ? 5a(4 ? 2 x ? 12 x ) ? 0得x1 ?
2

1 2 , x2 ? ? (舍) , ????6 分 2 3
????9 分

1 1 ?当0 ? x ? 时, y ? ? 0;当 ? x ? 1时, y ? ? 0. 2 2

?函数 y ? 5a(1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x3 )(0 ? x ? 1)在x ?
故改进工艺后,纪念品的销售价为 20(1 ? 该公司销售该纪念品的月平均利润最大。 1 22.解:(Ⅰ)由题意知 f ?( x) ? 2 ? ( x ? 0) , x ? f (1) ? 2 ? 1 ? 3 . 故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 . (Ⅱ) f ?( x) ? a ?

1 处取得最大值。??11 分 2

1 ) ? 30 元时, 2
??????12 分

??????3 分

1 ax ? 1 ??????4 分 ? ( x ? 0) . x x ①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 ,
所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . ??????5 分

1 ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,??????7 分 a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) .????8 分 a a
(Ⅲ)由已知,转化为 f ( x1 )max ? g ( x2 )max , ? g ( x)max ? 2 .????9 分 由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. ?10 分
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1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减,????11 分 a a
故 f ( x1 ) 的极大值即为最大值, f ( x1 ) max ? f (? ) ? ?1 ? ln(

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(? a) ,?13 分 ?a

??1 ? ln(?a) ? 2 ,解得 a ? ?e3 .

????14 分

高二文科数学

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