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四川省资阳市2017届高三数学4月模拟考试试题理


资阳市高中 2014 级高考模拟考试 数 学(理工类)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)。答题前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2.答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求 的。
B ? {x | x ? 1≥ 0} ,则图中阴影部分所表示的集合为 1.设全集 U=R,集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0},

(A) {x | x ≤ ? 1 或 x ≥ 3} (B) {x | x ? 1 或 x ≥ 3} (C) {x | x ≤ 1} (D) {x | x ≤ ? 1} 2.已知等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,且 S5 ? 30 ,则 a3 ? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

1

3.已知 i 为虚数单位,若复数 z ? a2 ? 1 ? (1 ? a)i ( 其中 a ? R )为纯虚数,则 (A)

z ? 2?i

4 2 ? i 5 5

(B) ? (D) ?

2 4 ? i 5 5 2 4 ? i 5 5

4 2 (C) ? i 5 5

4.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图相同,其上部分是 半圆,下部分是边长为 2 的正方形;俯视图是边长为 2 的正方形及其外 接圆.则该几 何体的体积为 (A) 4 ? (C) 8 ?

2π 3
4 2π 3

(B) 4 ? (D) 8 ?

2 2π 3

8 2π 3

5.双曲线 E: 是 (A) 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点 F 到 E 的渐近线的距离为 3 a ,则 E 的离心率 a2 b2

(B)

3 2

(C) 2

(D) 3

6.将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放入编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子,每个盒子放 一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的放法总数是 (A) 40 (B) 60 (C) 80 (D) 100
n) 表示 m 除以 n 7.已知 MOD 函数是一个求余函数,记 MOD(m, 3) ? 2 .右图是某个算法的程序框图, 的余数,例如 MOD(8,

若输入 m 的值为 48 时,则输出 i 的值为 (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10

? ? 8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ,其中 ? ? 0 .若 f ( x) ≤ f ( ) 对 x ? R 恒成立,则 ? 的最小值为 6 12
(A) 2 (B) 4 (C) 10 (D) 16

9.已知 0 ? c ? 1 , a ? b ? 1 ,下列不等式成立的是

2

(A) c a ? cb (C) ba c ? ab c

(B)

a b ? a?c b?c
(D) log a c ? logb c

10.正方形 ABCD 与等边三角形 BCE 有公共边 BC,若∠ABE=120°,则 BE 与平面 ABCD 所成角的大 小为 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

? 2

11.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作互相垂直的弦 AC,BD,则点 A,B,C,D 所构成四边形的面积的最 小值为 (A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64

12.如图,在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD , AB ∥ DC , AB ? 2 , AD ? DC ? 1 ,图中圆弧所在 圆的圆心为点C,半径为

1 ,且点P在图中阴影部分(包括边界)运动.若 2

??? ? ??? ? ??? ? AP ? x AB ? yBC,其中 x,y ? R ,则 4 x ? y 的取值范围是
(A) [2,3 ? (C) [3 ?
3 2 ] 4

(B) [2,3 ? (D) [3 ?

5 ] 2

2 5 ,3 ? ] 4 2

17 17 ,3 ? ] 2 2

3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题、第 23 题为选考题,考生根据要求做答。 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔 绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.二项式 ( x ?
1
3

x

)8 的展开式中,常数项是_____.

14.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ?),且 P(0≤X≤2)=0.3,则 P(X>4)=_____. 15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植 物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?” 意思是:今有蒲生长 1 日,长为 3 尺;莞生长 1 日,长为 1 尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长 逐日增加 1 倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为_____日. (结果保留一位小数,参考数据: lg 2 ? 0.30 , lg 3 ? 0.48 )
x 16. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e ?

k 2 2) x ? kx (k 是常数, e 是自然对数的底数, e=2.71828?) 在区间 (0, 2

内存在两个极值点,则实数 k 的取值范围是________. 三、解 答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? c ? 2 ,求 a 的取值范围.
2

B?C 1 ? sin B sin C ? . 2 4

18.(本小题满分 12 分) 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业 共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于 托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越 区、 公 其 依 来 越

4

多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了 100 人就该城市共享 单车的推行情况进行问卷调查, 并将 问卷中的这 100 人根据其满意度评分值 (百分制) 按照[50, 60), [60,70),?,[90,100] 分成 5 组,制成 如图所示频率分直方图. (Ⅰ) 求图中 x 的值; (Ⅱ) 已知满意度评分值在[90, 100]内的男生数与女生数的比为 2:1, 若在满意度评分值为 [90, 100]的人中随机抽取 4 人进行座谈,设其中的女生人数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望.

5

19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面△ABC 是等边三角形, 侧面 AA1 B1 B 为正方形,且 AA1 ? 平面 ABC, D 为线段 AB 上的一点. (Ⅰ) 若 BC1 ∥平面 A1CD,确定 D 的位置,并说明理由; (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,求二面角 A1 D ? C ? BC1 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆?: 2 上的点和椭圆?上的点的距离的最小值为 1. (Ⅰ) 求椭圆?的方程; (Ⅱ) 已知椭圆?的上顶点为 A,点 B,C 是?上的不同于 A 的两点,且 点 B,C 关于原点对称,直线 AB,AC 分别交直线 l 于点 E,F.记直线 AC 与

x2 y 2 2 ,直线 l:y= ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

AB 的斜率分别为 k1 , k 2 .
① 求证: k1 ? k2 为定值; ② 求△CEF 的面积的最小值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ,其中 a ? R . (Ⅰ) 当 a=-1 时,求证: f ( x) ≤ 0 ; (Ⅱ) 对任意 x2 ≥ e x1 ? 0 ,存在 x ? (?1, ??) ,使
f (x 2 ?1) ? f ( x 1 ?1) a( x 2 ? 1) ? f( x ) ? x2 ? x1 x2

成立,求 a

的取值范围.(其中 e 是自然对数的底数,e=2.71828?)

请考生在 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第 一题计分,做答时,请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? ?1 ? cos ?, 已知在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程是 ? ( ? 为参数),以坐标原点为极 ? y ? sin ?

点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . (Ⅰ) 求曲线 C1 与 C2 交点的平面直角坐标;

6

(Ⅱ) 点 A, B 分别在曲线 C1 , C2 上,当 | AB | 最大时,求 ?OAB 的面积( O 为坐标原点).

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? | x ? 1 | . (Ⅰ) 解不等式 f ( x ? 8) ≥10 ? f ( x) ; (Ⅱ) 若 | x | ? 1 , | y | ? 1 ,求证: f ( y) ? | x | ? f (

y ). x2

7

资阳市高中 2014 级高考模拟考试 数学参考答案及评分意见(理工类)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 13. 28;14. 0.2;15.2.6;16. (1,e) ? (e,e2 ) .

三、解答题:本大题共 70 分。 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)由已知得 化简得

1 ? cos( B ? C) 1 ? sin B sin C ? , ············· 2 分 2 4

1 ? cos B cos C ? sin B sin C 1 ? sin B sin C ? , 2 4 1 1 ,即 cos( B ? C ) ? , ·········· 4 分 2 2

整理得 cos B cos C ? sin B sin C ? 由于 0 ? B ? C ? π ,则 B ? C ? 所以 A ?

π , 3

2π . ···························· 6 分 3

(Ⅱ)根据余弦定理,得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? cos

2π ······················· 8 分 3

2 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ? b ? (2 ? b) ? b(2 ? b) ? b2 ? 2b ? 4

? (b ? 1)2 ? 3 . ···························

10 分

又由 b ? c ? 2 ,知 0 ? b ? 2 ,可得 3 ≤ a 2 ? 4 , 所以 a 的取值范围是 [ 3 , 2) . ····················· 12 分 18.(本小题 满分 12 分) (Ⅰ)由 (0.005 ? 0.021 ? 0.035 ? 0.030 ? x) ? 10 ? 1 ,解得 x ? 0.009 . ····· 4 分 (Ⅱ)满意度评分值在[90,100]内有 100 ? 0.009 ? 10 ? 9 人, 其中男生 6 人,女生 3 人. ······················ 5 分 则 X 的值可以为 0,1,2,3.
P( X ? 0) ?
3 1 C64 C30 15 C6 C3 60 ? , P( X ? 1) ? 4 ? , 4 C9 126 C9 126

8

P( X ? 2) ?

1 3 C62 C32 45 C6 C3 6 ? P ( X ? 3) ? ? , . ············ 9 分 4 4 C9 126 C9 126

则 X 分布列如下:

X P

0

1

2

3

15 126

60 126

45 126

6 126

·································· 10 分 所以 X 的期望 E( X ) ? 0 ? 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)D 为 AB 的中点,理由如下: 连接 AC1,交 A1C 于点 E,可知 E 为 AC1 的中点,连接 DE, 因为 BC1 ∥平面 A1CD, 平面 ABC1∩平面 A1CD=DE, 所以 BC1 ∥DE, 故 D 为 AB 的中点. ························· 4 分 (Ⅱ)不妨设 AB =2,分别取 BC,B1C1 的中点 O,O1,连接 AO,OO1,可知 OB,OO1, OA 两两互 相垂直,建立如图的空间直角坐标系 O-xyz.
1 3 知 C (?1, 0, 0),D ( , 0, ),A1 (0, 2, 3) , 2 2

15 60 45 6 168 4 ? 1? ? 2? ? 3? ? ? . ····· 12 分 126 126 126 126 126 3

???? ???? 3 3 则 CD ? ( , 0, ) , CA1 ? (1,2, 3) , 2 2

设面 A1CD 的法向量 m ? ( x, y, z ) ,

??? ? ?3 3 ? z ? 0, ?m ? CD ? 0, ? x ? 由 ? ???? 得 ?2 2 ? ?m ? CA1 ? 0, ? x ? 2 y ? 3z ? 0, ?
令 x ? 1 ,得 A1CD 的一个法向量为 m ? (1,1, ? 3) , 又平面 BCC1 的一个法向量 n ? (0,0,1) , 设二面角 A1 D ? C ? BC1 的平面角为α , 则 cos ? ? cos ? m, n ? ?
m?n m?n ? 15 . 5

即该二面角的余弦值为 20.(本小题满分 12 分)

15 . ····················· 5

12 分

9

(Ⅰ)由题知 b ? 1 ,由 所以 a2 ? 2,b2 ? 1 . 故椭圆的方程为

a 2 ? b2 2 , ? a 2

x2 ? y 2 ? 1 . ····················· 3 分 2
x0 2 ? y0 2 ? 1 , 2

y0 )( y0 ? 0) ,则 (Ⅱ)① 证法一:设 B( x0,

? y0 ) , 因为点 B,C 关于原点对称,则 C(? x0,

x02 所以 k ? k ? y0 ? 1 ? y0 ? 1 ? y0 ? 1 ? 2 ? ? 1 . ············· 6 分 1 2 x0 x0 x0 2 x0 2 2
2

?

证法二:直线 AC 的方程为 y ? k1 x ? 1 ,
? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 2 得 (1 ? 2k12 ) x2 ? 4k1 x ? 0 , ? y ? k x ? 1, ? 1

解得 xC ? ?

4k2 4k1 ,同理 xB ? ? 2 , 2 2k2 ? 1 2k1 ? 1 4k1 4k2 ? ?0, 2 2k1 ? 1 2k2 2 ? 1

因为 B,O,C 三点共线,则由 xC ? xB ? ? 整理得 (k1 ? k2 )(2k1k2 ? 1) ? 0 ,

1 所以 k1 ? k2 ? ? . ·························· 6 分 2
②直线 AC 的方程为 y ? k1 x ? 1 ,直线 AB 的方程为 y ? k2 x ? 1 ,不妨设 k1 ? 0 ,则 k2 ? 0 , 令 y=2,得 E (
1 1 , 2),F ( , 2) , k2 k1

而 yC ? k1 xC ? 1 ? ?

4k12 ?2k12 ? 1 ? 1 ? , 2k12 ? 1 2k12 ? 1

1 所以,△CEF 的面积 S?CEF ? ? | EF | ?(2 ? yC ) 2
2k 2 ? 1 1 1 1 1 k ? k 6k 2 ? 1 ? ( ? )(2 ? 12 ) ? ? 2 1 ? 12 . ·············· 2 k1 k2 2k1 ? 1 2 k1k2 2k1 ? 1
1 1 由 k1 ? k2 ? ? 得 k 2 ? ? , 2 k1 2

8分

则 S?CEF ?

2k12 ? 1 6k12 ? 1 1 6 ? 2 ? 3k1 ? ≥ 6 ,当且仅当 k1 ? 取得等号, 2k1 2k1 ? 1 2k1 6

所以△CEF 的面积的最小值为 6 .··················· 12 分

10

21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)当 a=-1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x (x>-1), 则 f ?( x) ?

1 ?x ?1 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 . x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 故当 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得极大值,也为最大值,所以 f ( x)max ? f (0) ? 0 , 所以, f ( x) ≤ 0 ,得证. ······················· 4 分 (Ⅱ)不等式 即为 而
f ( x2 ? 1) ? f ( x1 ? 1) a( x2 ? 1) ? f ( x) ? , x2 ? x1 x2

x2 [ f ( x2 ? 1) ? f ( x1 ? 1)] ? ax2 ? ? f ( x) ? a . x2 ? x1

x2 f ( x2 ? 1) ? x2 f ( x1 ? 1) x [ln x2 ? a ( x2 ? 1) ? ln x1 ? a ( x1 ? 1)] ? ax2 ? 2 ? ax2 x2 ? x1 x2 ? x1

? x ? x x x2 ?ln 2 ? a( x2 ? x1 ) ? x2 ln 2 ln 2 x x1 x x1 ? ? ax ? . ? ? 1 ? ax2 ? ax2 ? 2 ? 2 x x2 ? x1 x2 ? x1 x1 2 ?1 x1
令t ? 所以 (
x2 t ln t (t ≥ e) .故对任意 t ≥ e ,存在 x ? (?1, ??) ,使 ? ? f ( x) ? a 恒成立, x1 t ?1

t ln t )min ? (? f ( x) ? a)min . ···················· 6 分 t ?1
t ? 1 ? ln t t ln t ,则 h?(t ) ? , (t ? 1) 2 t ?1

设 h(t ) ?

1 t ?1 ? 0 对于 t ≥ e 恒成立, 设 u (t ) ? t ? 1 ? ln t ,知 u?(t ) ? 1 ? ? t t
+?) 上的增函数,于是 u (t ) ? t ? 1 ? ln t ≥ u (e) ? e ? 2 ? 0 , 则 u (t ) ? t ? 1 ? ln t 为 [e,

即 h?(t ) ?

t ? 1 ? ln t t ln t ? 0 对 于 t ≥ e 恒成立,所以 h(t ) ? +?) 上的增函数. 为 [e, (t ? 1)2 t ?1

所以 h(t )min ? (

t ln t e )min ? h(e) ? . ·················· 8 分 t ?1 e ?1

设 p( x) ? ? f ( x) ? a ,即 p( x) ? ? ln( x ? 1) ? ax ? a ,
? ?) 上的减函数,且其值域为 R,可知符合题意. 当 a≥0 时, p( x) 为 (0,

当 a<0 时, p?( x) ? ? 由 p?( x) ? 0 得 x ? ?1 ?

1 1 ? a ,由 p?( x) ? 0 可得 x ? ?1 ? ? ?1 , x ?1 a 1 1 1 ,则 p(x)在 (?1 ? , ??) 上为增函数;由 p?( x) ? 0 得 x ? ?1 ? ,则 p(x) a a a

11

1 1 在 (?1, ?1 ? ) 上为减函数,所以 p( x)min ? p(?1 ? ) ? ln(?a) ? 1 . a a
从而由
1 e ? ln(?a) ? 1 ,解得 ?e e ?1 ? a ? 0 . e ?1

综上所述,a 的取值范围是 (?e e ?1, ? ?) . ················· 12 分 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? ?1 ? cos ?, ? x ? 1 ? cos ?, (Ⅰ)由 ? 得? ? y ? sin ?, ? y ? sin ?,

1

则曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 . 又由 ? ? 2sin ? ,得 ? 2 ? 2? sin ? ,得 x2 ? y 2 ? 2 y . 把两式作差得, y ? ?x ,代入 x2 ? y 2 ? 2 y ,
0), (?1, 1) . ··················· 5 分 可得交点坐标为为 (0 ,

(Ⅱ) 由平面几何知识可知, 当 A,C1,C2,B 依次排列且共线时, | AB | 最大,此时 | AB |? 2 ? 2 , 直线 AB 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则 O 到 AB 的距离为
2 , 2

1 2 2 ?1 ? 所以 ?OAB 的面积为 S ? (2 ? 2) ? . ············ 10 分 2 2 2

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)原不等式即为 | x ? 9 |≥10? | x ? 1| . 当 x ? ?9 时,则 ? x ? 9 ? 10 ? x ? 1 ,解得 x ? ?10 ; 当 ?9 ? x ? ?1 时,则 x ? 9 ? 10 ? x ? 1 ,此时不成立; 当 x ? ?1 时,则 x ? 9 ? 10 ? x ? 1 ,解得 x ? 0 . 所以原不等式的解集为 {x | x ? ?10 或 x ? 0} . ·············· 5 分 (Ⅱ)要证 f ( y) ? | x | ? f ( 则有
| y ? 1| y y y ? | 2 ? 1| . ) | y ? 1|? | x || 2 ? 1| ,只需证明 2 ,即 | x| x x x

( y ? 1)2 ( y ? x2 )2 x2 ( y ? 1)2 ? ( y ? x2 )2 ? ? x4 x2 x4

?
?

x2 y 2 ? 2 x2 y ? x2 ? ( y 2 ? 2 x2 y ? x 4 ) x2 y 2 ? x2 ? y 2 ? x4 ? x4 x4
(1 ? x2 )( x2 ? y 2 ) . x4

因为 | x |2 ? 1 , | y |2 ? 1 ,则

( y ? 1)2 ( y ? x2 )2 (1 ? x2 )( x2 ? y 2 ) ? ? ? 0, x2 x4 x4

12

所以

( y ? 1)2 ( y ? x2 )2 ,原不等式得证. ················ 10 分 ? x2 x4

13


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