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2014年高三数学大一轮复习配套课件(浙江专用·人教版A)专题二 利用导数研究函数的性质


数学

浙(理)

专题二 利用导数研究函数的性质
第三章 导数及其应用

基础知识·自主学习
要点梳理
1.f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的 充分不必要 条件. 2.f(x)在(a,b)上是增函数的充要条件是 f′(x)≥0 有限个点处取到.

3.对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 并不是 f(x)在 x=x0 处有极值的充分 条件 对于可导函数 f(x),x=x0 是 f(x)的极值点,必须具备①f′(x0)=0, ②在 x0 两侧,f′(x)的符号为异号.所以 f′(x0)=0 只是 f(x)在 x0 处有极值的 必要 条件,但并不 充分 . 4.如果连续函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,那么这个极值 点就是最值点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

,且 f′(x)=0 在

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
[e,+∞)

解析

4
? 1? ?1, ? a? ?

A D

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数求函数的单调区间
解 析 探 究 提 高

【例 1】 已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,



?2? a=f′?3?. ? ?

(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex,若函 数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 求实数 c 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数求函数的单调区间
解 析 探 究 提 高

【例 1】 已知函数 3 f(x)=2x3+ax2-x+c,

解 (1)由 f(x)=x +ax -x+c,得 f′(x)=3x2+2ax-1. ?2? ?2? ?2? ?2? 2 f′? ?. 且 a= 2 当 x= 时,得 ?3? a=f′? ?=3×? ? +2a×? ?-1,解之,得 a=-1. 3 ?3? ?3? ?3? 3 2 求 可知 a 的值; (2)(1) 由(1) f(x)=x -x -x+c. ? 1? 2 (2) 求函数 f ( x ) 的单调区间; 则 f′(x)=3x -2x-1=3?x+3?(x-1),列表如下: ? ? 3 x (3)设函数 g(x)= e ,若函 1(f(x)-x 1 )· 1 (-∞,- ) - (- ,1) (1,+∞) x 1 3 3 3 数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, f′(x) + - + 0 0 求实数 c 的取值范围. 极大值 极小值 f(x) ? ? ? 1 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,- )和(1,+∞); 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数求函数的单调区间
解 析 探 究 提 高

【例 1】 已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,
? 1 ? ? ? 2 ?- ,1?. f(x)的单调递减区间是 且 a=f′?3?. ? 3 ? ? ?

3 x 2 x (3) 函数 g ( x ) = ( f ( x ) - x )· e = ( - x - x + c )· e , (1)求 a 的值;

求函数 f(x )x 的单调区间; 有(2) g′ (x)=(- 2 -1)ex+(-x2-x+c)ex
3 x 2 x (3) 设函数 g ( x ) = ( f ( x ) - x )· e ,若函 =(-x -3x+c-1)e ,

数 g(x)在 x)∈ 3, 2] 上单调递增, 因为函数 g(x 在[- x∈ [- 3,2] 上单调递增, 求实数 c 的取值范围. 所以 h(x)=- x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立.

只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用导数求函数的单调区间
解 析 探 究 提 高

【例 1】 已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,

利用导数研究函数单调性的一般 步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)①若求单调区间(或证明单调



?2? a=f′?3?. ? ?

(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间;

(3)设函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex,若函 性),只需在函数 f(x)的定义域内 数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0. 求实数 c 的取值范围. ②若已知 f(x)的单调性, 则转化为 不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在 单调区间上恒成立问题求解.
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题型分类·深度剖析
变式训练 1 设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.
解 1 1 (1)a=2时,f(x)=x(ex-1)-2x2,

f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈ (0,+∞)时,f′(x)>0.

故 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递减区间为 (-1,0).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.
(2)f(x)=x(ex-1-ax), 令 g(x)=ex-1-ax, g′(x)=ex-a.若 a≤1, 则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而 当 x≥0 时,g(x)≥0,即 f(x)≥0.

若 a>1,则当 x∈(0,ln a)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,

而 g(0)=0,从而当 x∈(0,ln a)时,g(x)<0,即 f(x)<0. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1].

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 已知单调区间求参数范围
2

【例 2】已知 a∈R,函数 f(x)=(-x

解 析

探 究 提 高

+ax)ex (x∈R, e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递 增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 求 a 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 已知单调区间求参数范围
2

【例 2】已知 a∈R,函数 f(x)=(-x

解 析

探 究 提 高

x x 解 (1) 当 a∈ =R 2, 时, f(x)=(-x2+2x)e , +ax )e (x e 为自然对数的底数 ). x 2 x 所以 f ′ ( x ) = ( - 2 x + 2)e + ( - x + 2 x )e (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递 =(-x2+2)ex. 增区间; 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,因为 ex>0,

所以- x2+2>0 2<x< 2. (2)若函数 f(x,解得- )在(-1,1)上单调递增, 所以函数 f(x)的单调递增区间是[- 2, 2]. 求 a 的取值范围. (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以 f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立. 因为 f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex

=[-x2+(a-2) x+a]ex,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 已知单调区间求参数范围
2

【例 2】已知 a∈R,函数 f(x)=(-x

解 析

探 究 提 高

x2 + ax )e x∈ , e 为自然对数的底数 ). 所以[-x (+ (aR - 2) x+a]ex≥0 对 x∈(- 1,1)都成立.

因为 ex>0 ,所以- x2+(af- 2) x+a≥0 对 x∈(-1,1)都成立, (1)当 a= 2 时,求函数 (x) 的单调递

增区间; x2+2x ?x+1?2-1 1 即 a≥ = =(x+1)- 对 x∈(-1,1)都成立. x+1 x+1 x+1 (2)若函数 f(x)在 1(-1,1)上单调递增, 1 令 y=(x+1)- ,则 y′=1+ 2>0. x + 1 ? x + 1 ? 求 a 的取值范围. 1 所以 y=(x+1)- 在(-1,1)上单调递增, x+1 1 3 3 所以 y<(1+1)- = .即 a≥ . 2 1+1 2 3 因此 a 的取值范围为 a≥ . 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 已知单调区间求参数范围
2

【例 2】已知 a∈R,函数 f(x)=(-x
x

解 析

探 究 提 高

(1)根据函数的单调性确定参数范 +ax)e (x∈R, e 为自然对数的底数). 围是高考的一个热点题型,其根 (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递 据是函数在某区间上单调递增(减) 时,函数的导数在这个区间上大 增区间; (小)于或者等于零恒成立, 转化为 (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 不等式恒成立问题解决. (2)在形式上的二次函数问题中, 求 a 的取值范围. 极易忘却的就是二次项系数可能 等于零的情况,这样的问题在导 数单调性的讨论中是经常遇到 的,值得特别注意.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
a?x2+b?-ax?2x? 解 (1)因为 f′(x)= , ?x2+b?2 ax 而函数 f(x)= 2 在 x=1 处取得极值 2, x +b ?a?1+b?-2a=0, ? ? ? f ′ ? 1 ? = 0 , ? ?a=4 所以? 即? a 得? , ? ? =2, ?f?1?=2, ?b=1 ? ?1+b 4x 所以 f(x)= 即为所求. 1+x2 4?x2+1?-8x2 -4?x-1??x+1? (2)由(1)知 f′(x)= = . ?x2+1?2 ?1+x2?2 令 f′(x)=0 得 x1=-1,x2=1,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

ax 在 x=1 处取得极值 2. x2+b

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知函数 f(x)= (1)求函数 f(x)的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
则 f(x)的增减性如下表:

ax 在 x=1 处取得极值 2. x2+b

x f′(x)

(-∞,-1) -

(-1,1) +

(1,+∞) - ?

f(x) ? ? 可知,f(x)的单调增区间是[ -1,1] , ?m≥-1 ? 所以?2m+1≤1?-1<m≤0 , ? ?m<2m+1
基础知识 题型分类

所以当 m∈(-1,0]时,函数 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的极值、最值应用问题
设函数 f(x)=x4+ax3+
思维启迪 解析

探究提高

2x2+b(x∈R),其中 a,b∈R. 10 (1)当 a=- 时,讨论函数 f(x) 3 的单调性; (2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极 值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a∈[-2,2], 不 等式 f(x)≤1 在 [ - 1,0] 上恒成 立,求 b 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的极值、最值应用问题
设函数 f(x)=x4+ax3+
思维启迪 解析

探究提高

2x2+b(x∈R),其中 a,b∈R. 10 (1)当 a=- 时,讨论函数 f(x) 3 的单调性; (2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极 值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a∈[-2,2], 不 等式 f(x)≤1 在 [ - 1,0] 上恒成 立,求 b 的取值范围.

f(x)≤1 在[-1,0]上恒成立, 转化为 f(x) 在 [ - 1,0] 上 的 最 大 值 f(x)max≤1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的极值、最值应用问题
设函数 f(x)=x4+ax3+
思维启迪 解析

探究提高

2x2+b(x∈R),其中 a 3 2,b∈R. 解 (1)f′(x)=4x +3ax +4x=x(4x2+3ax+4). 10 10 (1) 当 a =- 时,讨论函数 f(x 当 a=- 时,3 f′ (x)=x(4x2-10 x) +4)=2x(2x-1)(x-2). 3 1 令 f的单调性; ′(x)=0,得 x1=0,x2= ,x3=2. 2 当x 变化时, (仅在 x),f(x x= )的变化情况如下表: (2) 若函数 f f′ (x) 0 处有极
? 1? 值,求 a 的取值范围; ?0, ? (-∞, 0)

x

0 0

f′(x)

(3)若对于任意的 a∈[-2,2], 不 等式 f(x)≤1 在 [ - 1,0] 上恒成
单调递 - +

?

2?

1 2 0

?1 ? ? , 2? ?2 ?

2 0 极小

(2,+∞) +



单调递增 f立,求 (x) b 的取值范围. 减 值 增 值 递减 值 ? ?1 ? 1? 所以 f(x)在?0,2?和(2,+∞)上是增函数,在(-∞, 0)和?2,2?上是减函数. ? ? ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

极小 单调递 极大 单调

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的极值、最值应用问题
设函数 f(x)=x4+ax3+
思维启迪 解析

探究提高

2x2+b(x∈R) 2 ,其中 a,b∈R. (2)f′(x)=x(4x +3ax+4), 10 (1)当 a=- 时,讨论函数 f(x) 2 3 显然 x=0 不是方程 4x +3ax+4=0 的根. 的单调性; 由于 f(x)仅在 x=0 处有极值, (2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极 2 则方程 4x +3ax+4=0 有两个相等的实根或无实根, 值,求 a 的取值范围; Δ=9a2-4×16≤0, (3)若对于任意的 a∈[-2,2], 不 8 8 等式 f ( x ) ≤ 1 在 [ - 1,0] 上恒成 解此不等式,得- ≤a≤ .这时, f(0)=b 是唯一极值. 3 3 立,求 b 的取值范围. ? 8 8? 因此满足条件的 a 的取值范围是?-3,3?.
? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的极值、最值应用问题
设函数 f(x)=x4+ax3+
思维启迪 解析

探究提高

2x2+b(x∈R),其中 a,b∈R. (3)由(2)知,当 a∈[-2,2]时,4x2+3ax+4>0 恒成立. 10 (1)当 a=- 时,讨论函数 f(x) 3 (x)<0,f(x)在区间(-∞,0]上是减函数. ∴当 x<0 时,f′ 的单调性; 因此函数 f(x)在[-1,0]上的最大值是 f(-1). (2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极 又∵对任意的 a∈[-2,2],不等式 f(x)≤1 在[-1,0]上恒成立, 值,求 a 的取值范围; ∴f(-1)≤1,即 3-a+b≤1. (3)若对于任意的 a∈[-2,2], 不 于是 b≤a-2 在 a∈[-2,2]上恒成立. 等式 f(x)≤1 在 [ - 1,0] 上恒成 ∴b≤ -2-b 2,即 b≤-4. 立,求 的取值范围.
因此满足条件的 b 的取值范围是(-∞,-4].
题型分类 思想方法

基础知识

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数的极值、最值应用问题
设函数 f(x)=x4+ax3+
思维启迪 解析

探究提高

2x2+b(x∈R),其中 a,b∈R. 10 (1)当 a=- 时,讨论函数 f(x) 3 的单调性; (2)若函数 f(x)仅在 x=0 处有极 值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a∈[-2,2], 不 等式 f(x)≤1 在 [ - 1,0] 上恒成 立,求 b 的取值范围.

(1)对含参函数的极值,要进行讨 论,注意 f′(x0)=0 只是 f(x)在 x0 处取到极值的必要条件. (2)利用函数的极值、最值,可以解 决一些不等式的证明、函数零点个 数、恒成立问题等.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知 f(x)=ax2 (a∈R),g(x)=2ln x.

(1)讨论函数 F(x)=f(x)-g(x)的单调性;



(1)F(x)=ax2-2ln x,其定义域为(0,+∞),

2 2 2?ax -1? ∴F′(x)=2ax-x = (x>0). x 1 ①当 a>0 时,由 ax2-1>0,得 x> . a 1 2 由 ax -1<0,得 0<x< . a ? 1 ? ? 故当 a>0 时,F(x)在区间? ,+∞? ?上单调递增, a ? ? ? 1? ? 在区间?0, ? 上单调递减. a? ? ?

②当 a≤0 时,F′(x)<0 (x>0)恒成立.
故当 a≤0 时,F(x)在(0,+∞)上单调递减.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知 f(x)=ax2 (a∈R),g(x)=2ln x.

(2)若方程 f(x)=g(x)在区间[ 2, e]上有两个不等解, 求 a 的取值范围. 2ln x 解 (2)原式等价于方程 a= x2 =φ(x)在区间[ 2, e]上有两个不等解. 2x?1-2ln x? ∵φ′(x)= 在( 2, e)上为增函数, x4 1 在( e,e)上为减函数,则 φ(x)max=φ( e)=e, 2 2ln 2 ln 2 而 φ(e)=e2<φ(2)= 4 = 2 =φ( 2).

∴φ(x)min=φ(e),如图当 f(x)=g(x)
ln 2 在[ 2,e]上有两个不等解时有 φ(x)min= 2 , ln 2 1 a 的取值范围为 2 ≤a<e .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 5.导数与函数单调性关系不清致误
典例:(14 分)已知 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点, 求 f(x)在[1, a]上的最小值和最大值. 规 范 解 答 易 错 分 析 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 5.导数与函数单调性关系不清致误
典例:(14 分)已知 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点, 求 f(x)在[1, a]上的最小值和最大值. 规 范 解 答 易 错 分 析 温 馨 提 醒

求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式,受此影响,容易认为 函数 f(x)的导数在区间[2,+∞)上大于零,忽视了函数的导数在[2,+∞) 上个别的点处可以等于零,这样的点不影响函数的单调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 5.导数与函数单调性关系不清致误
典例:(14 分)已知 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点, 求 f(x)在[1, a]上的最小值和最大值. 规 范 解 答 易 错 分 析 温 馨 提 醒

(1)由题意,知 f′(x)=3x2-2ax-3, 3? 1? 令 f′(x)≥0 (x≥2),得 a≤ ?x-x ?. 2? ? ? ? 1 3 ? 记 t(x)= x-x ?,当 x≥2 时,t(x)是增函数, 2? ? 1? 9 3 ? ? 所以 t(x)min= × 2-2?= , 2 ? ? 4 ? 9? 所以 a∈?-∞,4?. ? ? (2)由题意,得 f′(3)=0,即 27-6a-3=0,所以 a=4. 解
所以 f(x)=x3-4x2-3x,f′(x)=3x2-8x-3.
基础知识 题型分类 思想方法

2分

5分 7分

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 5.导数与函数单调性关系不清致误
典例:(14 分)已知 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点, 求 f(x)在[1, a]上的最小值和最大值. 规 范 解 答 易 错 分 析 温 馨 提 醒 1 9分 令 f′(x)=0,得 x1=- ,x2=3. 3 1 又因为 x∈[1,4] ,所以 x=-3(舍去),故 x=3. 当 x∈(1,3)时,f′(x)<0, 10分 所以 f(x)在[1,3] 上为减函数;

当 x∈(3,4)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在[3,4] 上为增函数. 所以 x=3 时,f(x)有极小值. 于是,当 x∈[1,4] 时,f(x)min=f(3)=-18,

12分 13分 14分

而 f(1)=-6,f(4)=-12,所以 f(x)max=f(1)=-6.
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 5.导数与函数单调性关系不清致误
典例:(14 分)已知 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点, 求 f(x)在[1, a]上的最小值和最大值. 规 范 解 答 易 错 分 析 温 馨 提 醒

(1)若函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则 f′(x)≥0,其逆命题不成立, 因为 f′(x)≥0 包括 f′(x)>0 或 f′(x)=0, 当 f′(x)>0 时函数 y=f(x)在区间 (a,b)上单调递增,当 f′(x)=0 时 f(x)在这个区间内为常数函数;同理,若 函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则 f′(x)≤0,其逆命题不成立. (2)使 f′(x)=0 的离散的点不影响函数的单调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.利用导数证明不等式,就是把不等式恒成立的问 题,通过构造函数,转化为利用导数求函数最值 的问题.应用这种方法的难点是如何根据不等式 的结构特点或者根据题目证明目标的要求,构造 出相应的函数关系式.
2.在讨论方程的根的个数、研究函数图象与 x 轴(或 某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常 常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实 质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

方 法 与 技 巧

思想方法·感悟提高

1.研究函数的有关性质,首先要求出函数的定义域.

失 误 与 防 范

2.利用单调性求最值时不要忽视 f′(x)=0 的情况.

3.“f′(x0)=0”是“函数 f(x)在 x0 取到极值”的必要 条件.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是 A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1)

( D.(-1,1)

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是 A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1)

( A ) D.(-1,1)

2 2?x+1??x-1? ∵f′(x)=2x-x= (x>0), x

解 析

∴当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,
当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

2.函数 f(x)=x3+3x2+4x-a 的极值点的个数是 A.2 B. 1 C.0 D.由 a 确定

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9

2.函数 f(x)=x3+3x2+4x-a 的极值点的个数是 A.2 B. 1 C.0 D.由 a 确定

( C )

解 析
f′(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0, 则 f(x)在 R 上是增 函数,故不存在极值点.故选 C.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3.若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有最小值,则实数 b 的取值范 围是 A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) ( ? 1? D.?0,2? ? ? )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

7

8

9

3.若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有最小值,则实数 b 的取值范 围是 A.(0,1) B.(-∞,1) C.(0,+∞) ( D ) ? 1? D.?0,2? ? ?

解 析
f(x)在(0,1)内有最小值,即 f(x)在(0,1)内有极小值, f′(x)=3x2-6b, 由题意,得函数 f′(x)的草图如图,
? ?f′?0?<0, ∴? ? ?f′?1?>0, ? ?-6b<0, 即? ? ?3-6b>0,

1 解得 0<b<2.故选 D.
基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
9

7 6 8 5 4.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数 g(x)=f(x)-m 在 x∈

[-2,5]上有 3 个零点,则 m 的取值范围为 A.(-24,8) B.(-24,1] C.[1,8]

( D.[1,8)

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
9

7 6 8 5 4.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数 g(x)=f(x)-m 在 x∈

[-2,5]上有 3 个零点,则 m 的取值范围为 A.(-24,8) B.(-24,1] C.[1,8]

( D.[1,8)

)

解 析
f′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3), 令 f′(x)=0, 得 x=-1 或 x=3. 当 x∈[-2,-1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;
当 x∈(-1,3)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(3,5]时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 所以函数 f(x)的极小值为 f(3)=-24,极大值为 f(-1)=8.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
9

7 6 8 5 4.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数 g(x)=f(x)-m 在 x∈

[-2,5]上有 3 个零点,则 m 的取值范围为 A.(-24,8) B.(-24,1] C.[1,8]

( D ) D.[1,8)

解 析
而 f(-2)=1, f(5)=8, 函数图象大致如图所示. 故 要使方程 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零 点,只需函数 f(x)在[-2,5]内的函数图象与直线 y=m 有 3
? ?m<8, 个交点,故? ? ? m ≥ 1,

即 m∈[1,8).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.(2012· 广东)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 __________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

5.(2012· 广东)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为

2x-y+1=0 __________________ . 解 析
∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2.
∴该切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 6.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x
+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范 围是__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 6.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x
+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范 [-2,-1]. 围是__________

解 析
由题意知,点(-1,2)在函数 f(x)的图象上, 故-m+n=2. 又 f′(x)=3mx2+2nx,则 f′(-1)=-3,
故 3m-2n=-3. 联立①②解得:m=1,n=3,即 f(x)=x3+3x2, 令 f′(x)=3x2+6x≤0,解得-2≤x≤0,
则[t,t+1]?[-2,0],故t≥-2且t+1≤0, 所以 t∈[ -2,-1] .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分





练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

7.函数 f(x)=x(x-m)2 在 x=1 处取得极小值,则实数 m=_____.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3 4

专项基础训练
5

6

7

8

9

1 7.函数 f(x)=x(x-m)2 在 x=1 处取得极小值,则实数 m=_____. 解 析
f(x)=x3-2mx2+m2x,f′(x)=3x2-4mx+m2,

由已知 f′(1)=0,即 3-4m+m2=0,解得 m=1 或 m=3. 当 m=1 时,f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1), 当 m=3 时,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 则 m=3 应舍去.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3
3

专项基础训练
4
5

6

7

8

9

9 2 8.(10 分)设函数 f(x)=x - x +6x-a. 2 (1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3
3

专项基础训练
4
5

6

7

8

9

9 2 8.(10 分)设函数 f(x)=x - x +6x-a. 2 (1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

解 析
解 (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),
因为 x∈(-∞,+∞),f′(x)≥m,即 3x2-9x+(6-m)≥0 3 恒成立,所以 Δ=81-12(6-m)≤0,解得 m≤-4, 3 即 m 的最大值为- . 4

(2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
2 3
3

专项基础训练
4
5

6

7

8

9

9 2 8.(10 分)设函数 f(x)=x - x +6x-a. 2 (1)对于任意实数 x,f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

解 析
当 x>2 时,f′(x)>0.
5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a; 2 当 x=2 时,f(x)取极小值,f(2)=2-a,

故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,f(x)=0 仅有一个实根.
5 解得 a<2 或 a>2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4
3

专项基础训练
5 6

7

8

9

3 2 9.(12 分)已知函数 f(x)=x - ax +b(a,b 为实数,且 a>1)在区间 2 [-1,1]上的最大值为 1,最小值为-2. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-mx 在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4
3

专项基础训练
5 6

7

8

9

3 2 9.(12 分)已知函数 f(x)=x - ax +b(a,b 为实数,且 a>1)在区间 2 [-1,1]上的最大值为 1,最小值为-2. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-mx 在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围.

解 析
解 (1)f′(x)=3x2-3ax, 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=a,∵a>1, ∴f(x)在[ -1,0] 上为增函数,在[0,1] 上为减函数. ∴f(0)=b=1, 3 3 ∵f(-1)=-2a,f(1)=2-2a,∴f(-1)<f(1),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4
3

专项基础训练
5 6

7

8

9

3 2 9.(12 分)已知函数 f(x)=x - ax +b(a,b 为实数,且 a>1)在区间 2 [-1,1]上的最大值为 1,最小值为-2. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-mx 在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围.

解 析
3 4 ∴f(-1)=- a=-2,a= .∴f(x)=x3-2x2+1. 2 3 (2)g(x)=x3-2x2-mx+1,g′(x)=3x2-4x-m.
由 g(x)在[ -2,2] 上为减函数, 知 g′(x)≤0 在 x∈[ -2,2] 上恒成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2 3

A组
4
3

专项基础训练
5 6

7

8

9

3 2 9.(12 分)已知函数 f(x)=x - ax +b(a,b 为实数,且 a>1)在区间 2 [-1,1]上的最大值为 1,最小值为-2. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-mx 在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围.

解 析
? ?g′?-2?≤0 ∴? ? ?g′?2?≤0 ? ?20-m≤0 ,即? ? ?4-m≤0

∴m≥20.

∴实数 m 的取值范围是 m≥20.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1 3 1.设 f(x)= x +ax2+5x+6 在区间[1,3]上为单调函数,则实数 a 3 的取值范围为 ( ) A.[- 5,+∞) B.(-∞,-3] C.(-∞,-3]∪[- 5,+∞) D.[- 5, 5]

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1 3 1.设 f(x)= x +ax2+5x+6 在区间[1,3]上为单调函数,则实数 a 3 的取值范围为 ( ) A.[- 5,+∞) B.(-∞,-3] C.(-∞,-3]∪[- 5,+∞) D.[- 5, 5]

解 析
f′(x)=x2+2ax+5, 当

? ?f′?1?≤0, f(x)在[1,3]上单调递减时, 由? ? ?f′?3?≤0

得 a≤-3; 当 f(x)在[1,3] 上单调递增时,f′(x)≥0 恒成立,则有
?Δ>0, ? 2 Δ=4a -4×5≤0 或?-a<1 ?f′?1?≥0 ?
基础知识 题型分类

?Δ>0, ? 或?-a>3, ?f′?3?≥0, ?
思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1 3 1.设 f(x)= x +ax2+5x+6 在区间[1,3]上为单调函数,则实数 a 3 的取值范围为 ( C ) A.[- 5,+∞) B.(-∞,-3] C.(-∞,-3]∪[- 5,+∞) D.[- 5, 5]

解 析
得 a∈[- 5,+∞).

综上 a 的取值范围为(-∞,-3]∪[- 5,+∞),故选 C.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1 3 2.若 a>2,则方程 x -ax2+1=0 在(0,2)上恰好有 3 A.0 个根 B.1 个根 C.2 个根

( D.3 个根

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

1 3 2.若 a>2,则方程 x -ax2+1=0 在(0,2)上恰好有 3 A.0 个根 B.1 个根 C.2 个根

( B ) D.3 个根

解 析
1 3 设 f(x)= x -ax2+1,则 f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),因为 a>2, 3 所以 2a>4,所以当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,则 f(x)在(0,2)上为减 ?8 ? 11 函数, 又 f(0)f(2)=1×?3-4a+1?= -4a<0, 所以 f(x)=0 在(0,2) 3 ? ? 上恰好有 1 个根,故选 B.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

3.(2011· 湖南)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交 于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为 1 5 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4 5 6
7

3.(2011· 湖南)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交 于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为 1 5 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 ( D )

解 析
由题意画出函数图象如图所示,由图可以看出 |MN|=y=t2-ln t(t>0). 2 2 2 ? t + ?? t - ? 2 2 2 1 2t -1 y′=2t- t = t = . t 2 当 0<t< 时,y′<0,可知 y 在此区间内单调递减; 2 2 当 t> 时,y′>0,可知 y 在此区间内单调递增. 2 2 故当 t= 2 时,|MN|有最小值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

4.关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解,则实数 a 的取值范围是__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

4.关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解,则实数 a

(-4,0) . 的取值范围是__________

解 析
由题意知使函数 f(x)=x3-3x2-a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可,又 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令 f′(x)=0,得 x1=0, x2=2,当 x<0 时,f′(x)>0;当 0<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时, f′(x)>0,所以当 x=0 时,f(x)取得极大值,即 f(x)极大值=f(0)= -a;当 x=2 时,f(x)取得极小值,即 f(x)极小值=f(2)=-4-a,
? ?-a>0 所以? ? ?-4-a<0,

解得-4<a<0.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

7 6 ?1 ? 3x 3 2 ? ? , 2 5.如果在 2 上,函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)= + 在同一点 2 2x ? ? ?1 ? 处取得相同的最小值,那么 f(x)在?2,2?上的最大值是_____. ? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

7 6 ?1 ? 3x 3 2 ? ? , 2 5.如果在 2 上,函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)= + 在同一点 2 2x ? ? ?1 ? 4 . 处取得相同的最小值,那么 f(x)在?2,2?上的最大值是_____ ? ?

解 析
?1 ? 3x 3 ∵g(x)= + 且 x∈?2,2?,则 g(x)≥3, 2 2x ? ? 当且仅当 x=1 时,g(x)=3.又 f′(x)=2x+p, ∴f′(1)=0,即 2+p=0,得 p=-2, ∴f(x)=x2-2x+q,又 f(x)min=f(1)=3, ∴1-2+q=3,∴q=4, ?1 ? 2 2 ∴f(x)=x -2x+4=(x-1) +3,x∈?2,2?,
? ?

∴f(x)max=f(2)=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

6.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=2x-9,且 f(0)的值为整数,当 x∈ (n,n+1] (n∈N*)时,f(x)的值为整数的个数有且只有 1 个,则 n =________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
5

6

7

6.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=2x-9,且 f(0)的值为整数,当 x∈ (n,n+1] (n∈N*)时,f(x)的值为整数的个数有且只有 1 个,则 n =________. 4

解 析
∵f′(x)=2x-9,∴f(x)=x2-9x+c,
∵f(0)=c 为整数,∴c∈Z,又 f(1)=-8+c,f(2)=-14+c, f(2)-f(1)=-6,可见在 f(1)到 f(2)之间并非有且只有一个整 数;同样在 f(2)到 f(3)之间、f(3)到 f(4)之间也并非有且只有一 个整数;而 f(4)=-20+c,f(5)=-20+c,故在 f(4)到 f(5)之 间有且只有一个整数.因为 x∈(n,n+1] (n∈N*),x≠n,所 以在 x=5 时取得的整数为 f(5)=-20+c,故 n=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
x

5

6

7

1 7.(13 分)(2012· 安徽)设函数 f(x)=ae + x+b(a>0). ae (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值;

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
x

5

6

7

1 7.(13 分)(2012· 安徽)设函数 f(x)=ae + x+b(a>0). ae (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值;

解 析


当 f′(x)>0,即 x>-ln a 时,f(x)在(-ln a,+∞)上递增;
当 f′(x)<0,即 x<-ln a 时,f(x)在(-∞,-ln a)上递减. ①当 0<a<1 时,-ln a>0,f(x)在(0,-ln a)上递减,

1 (1)f′(x)=aex- x, ae

在(-ln a,+∞)上递增,从而 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(-ln a)=2+b; ②当 a≥1 时,-ln a≤0,f(x)在[0,+∞)上递增, 1 从而 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(0)=a+a+b.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2 3

专项能力提升
4
x

5

6

7

1 7.(13 分)(2012· 安徽)设函数 f(x)=ae + x+b(a>0). ae 3 (2)设曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 2

解 析
1 3 解 (2)依题意 f′(2)=ae -ae2=2, 1 2 2 解得 ae =2 或 ae =-2(舍去), 2 1 1 所以 a=e2,代入原函数可得 2+2+b=3,即 b=2,
2

2 1 故 a=e2,b=2.

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