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长沙市一中课件


4.3.1 空间直角坐标系

主讲: 赵意扬
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复习引入
问题1:在初中,我们学过数轴, 问题 :在初中,我们学过数轴,那么什么 是数轴?决定数轴的因素有哪些? 是数轴?决定数轴的因素有哪些? 数轴上的点怎样表示? 数轴上的点怎样表示?

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问题2:在初中,我们学过平面直角坐标系, 问题 :在初中,我们学过平面直角坐标系, 那么如何建立平面直角坐标系? 那么如何建立平面直角坐标系 决 定平面直角坐标系的因素有哪些? 定平面直角坐标系的因素有哪些 平面直角坐标系上的点怎样表示? 平面直角坐标系上的点怎样表示 如何借助平面直角坐标系表示学生 的座位?能用直角坐标系表示教室 的座位 能用直角坐标系表示教室 里灯泡的位置吗? 里灯泡的位置吗?
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问题3:在空间, 问题 :在空间,我们是否可以建立一个坐 标系, 标系,使空间中的任意一点都可用 对应的有序实数组表示出来呢? 对应的有序实数组表示出来呢?

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新课讲授
1.空间直角坐标系: 空间直角坐标系: 空间直角坐标系 如图,OABC-D'A'B'C'是单位正方体 如图, 是单位正方体. 是单位正方体 为原点, 以O为原点,分别以射线 ,OC,OD' 为原点 分别以射线OA, , 的方向为正方向,以线段OA,OC,OD' 的方向为正方向,以线段 , , z 的长为单位长, 的长为单位长,建立 D' 三条数轴:x轴,y轴, 三条数轴: 轴 轴 C' z轴.这时我们说建立 A' 轴 B' 了一个空间直角坐标 了一个空间直角坐标 O C y 系Oxyz. A
x B
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1.空间直角坐标系: 空间直角坐标系: 空间直角坐标系 其中点O叫做坐标原点, 轴 轴 轴叫 其中点 叫做坐标原点,x轴,y轴,z轴叫 叫做坐标原点 坐标轴. 做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面, 坐标平面,分别称为 z xOy平面、 yOz平面、 平面、 平面、 平面 平面 D' zOx平面. 平面. 平面 C'
A' O A x B B' C y

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2. 右手直角坐标系: 右手直角坐标系: 在空间直角坐标系中,让右手大拇指、 在空间直角坐标系中,让右手大拇指、 食指和中指相互垂直时,大拇指指向x轴 食指和中指相互垂直时,大拇指指向 轴 正方向,食指指向y轴正方向 轴正方向, 正方向,食指指向 轴正方向,中指指向 z z轴正方向,则称这 轴正方向, 轴正方向 D' 个坐标系为右手直 个坐标系为右手直 C' A' 角坐标系, 角坐标系,如无特 B' 别说明, 别说明,以后建立 O C y 的坐标系都是右手 的坐标系都是右手 A B 直角坐标系. 直角坐标系. x
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3.空间直角坐标系中的点与有序数组之间的 空间直角坐标系中的点与有序数组之间的 关系: 关系: (1)已知 为空间一点,过点 作三个平 已知M为空间一点 已知 为空间一点,过点M作三个平 面分别垂直于x轴、y轴和 轴,它们与x轴、 面分别垂直于 轴 轴和z轴 它们与 轴 轴和 y轴和 轴的交点分别为 、Q、R,这三点 轴和z轴的交点分别为 轴和 轴的交点分别为P、 、 , 在x轴、y轴和 轴上的坐标分别为x,y,z. 轴 轴和z轴上的坐标分别为 , , . 轴和 轴上的坐标分别为 z 这样空间的一点M 这样空间的一点 R 就唯一确定了一个 MQ 有序数组(x, , . 有序数组 ,y,z).
P x O M' y
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3.空间直角坐标系中的点与有序数组之间的 空间直角坐标系中的点与有序数组之间的 关系: 关系: (2)反过来,一个有序数组 ,y,z),我 反过来, 反过来 一个有序数组(x, , , 们在x轴上取坐标为 的点P,在y轴上取坐 们在 轴上取坐标为x的点 轴上取坐 轴上取坐标为 的点 标为y的点 的点Q, 轴上取坐标为 的点R, 轴上取坐标为z的点 标为 的点 ,在z轴上取坐标为 的点 ,然 后通过P、Q、R分别作 轴,y轴,z轴的 后通过 、 、 分别作x 轴 轴的 分别作 z 垂直平面.这三个平面 垂直平面 这三个平面 R 的交点M即为有序数 的交点 即为有序数 MQ 组(x,y,z)为坐标的 , , 为坐标的 y O P 点. M'
x
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3.空间直角坐标系中的点与有序数组之间的 空间直角坐标系中的点与有序数组之间的 关系: 关系: (3)坐标为 ,y,z的点 通常记为 坐标为x, , 的点 通常记为M(x, 的点M通常记为 坐标为 , y,z).(x,y,z)就叫做点 在此空间直角 , . , , 就叫做点M在此空间直角 就叫做点 在此 坐标系中的坐标 并依次称x, , 为点 的坐标, 为点M 坐标系中的坐标,并依次称 ,y,z为点 的横坐标、纵坐标和竖坐标. 横坐标、纵坐标和竖坐标.
z R MQ P x O M' y

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3.空间直角坐标系中的点与有序数组之间的 空间直角坐标系中的点与有序数组之间的 关系: 关系: 我们通过这样的方法在空间直角坐标系 内建立了空间的点M和有序数组 和有序数组(x, , 内建立了空间的点 和有序数组 ,y,z) 之间的一一对应关系. 之间的一一对应关系
z R MQ P x O M' y

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在长方体OABC-D'A'B'C'中, 例1. 在长方体 中 |OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2. = , = , = 写出D', , , 四点坐标 四点坐标. 写出 ,C,A',B'四点坐标
z D' A' A x O B
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C' B' C y

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讨论: 若以C点为原点 以射线BC、 点为原点, 讨论: 若以 点为原点,以射线 、 CO、CC'方向分别为 、Oy、Oz轴的正 方向分别为Ox、 、 轴的正 、 方向分别为 半轴,建立空间直角坐标系,那么, 半轴,建立空间直角坐标系,那么,各 顶点的坐标又是怎样的呢? 顶点的坐标又是怎样的呢?
z D' A' A x O B
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C' B' C y

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讨论: 若以C点为原点 以射线BC、 点为原点, 讨论: 若以 点为原点,以射线 、 CO、CC'方向分别为 、Oy、Oz轴的正 方向分别为Ox、 、 轴的正 、 方向分别为 半轴,建立空间直角坐标系,那么, 半轴,建立空间直角坐标系,那么,各 顶点的坐标又是怎样的呢? 顶点的坐标又是怎样的呢? 不同的坐标系 的建立方法, 的建立方法,所得 的同一点的坐标也 不同. 不同.
z D' A' A x O B
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C' B' C y

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问题4: 问题 :坐标轴上的点与坐标平面上的点 的坐标有何特点? 的坐标有何特点?

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问题4: 问题 :坐标轴上的点与坐标平面上的点 的坐标有何特点? 的坐标有何特点? x轴上的点的坐标的特点:P(m,0,0), 轴上的点的坐标的特点: 轴上的点的坐标的特点 , , , 纵坐标和竖坐标都为零. 纵坐标和竖坐标都为零. y轴上的点的坐标的特点:P(0,m,0), 轴上的点的坐标的特点: , , , 轴上的点的坐标的特点 横坐标和竖坐标都为零. 横坐标和竖坐标都为零. z轴上的点的坐标的特点:P(0,0,m), 轴上的点的坐标的特点: , , , 轴上的点的坐标的特点 横坐标和纵坐标都为零. 横坐标和纵坐标都为零.
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问题4: 问题 :坐标轴上的点与坐标平面上的点 的坐标有何特点? 的坐标有何特点? xOy坐标平面内的点的特点:P(m,n,0), 坐标平面内的点的特点: 坐标平面内的点的特点 , , , 竖坐标为零. 竖坐标为零. xOz坐标平面内的点的特点:P(m,0,n), 坐标平面内的点的特点: , , , 坐标平面内的点的特点 纵坐标为零. 纵坐标为零. yOz坐标平面内的点的特点:P(0,m,n), 坐标平面内的点的特点: , , , 坐标平面内的点的特点 横坐标为零. 横坐标为零.
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问题5:已知两点,怎样求中点坐标? 问题 :已知两点,怎样求中点坐标?

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问题5:已知两点,怎样求中点坐标? 问题 :已知两点,怎样求中点坐标? 平面上的中点坐标公式可以推广到空 间,即设A(x1,y1,z1 ),B(x2,y2,z2 ), 即设 , , 则AB中点的坐标为 中点的坐标为

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问题5:已知两点,怎样求中点坐标? 问题 :已知两点,怎样求中点坐标? 平面上的中点坐标公式可以推广到空 间,即设A(x1,y1,z1 ),B(x2,y2,z2 ), 即设 , , 则AB中点的坐标为 中点的坐标为

x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 ( , , ) 2 2 2
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问题6: 问题 :怎样求一个点关于坐标轴和坐标 平面的对称点的坐标? 平面的对称点的坐标?

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问题6: 问题 :怎样求一个点关于坐标轴和坐标 平面的对称点的坐标? 平面的对称点的坐标? 点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为 , , 关于坐标原点的对称点为 P1(-x,- , -z); ,-y, - ,- ; 点P(x,y,z) 关于坐标横轴 轴)的对称点 , , 关于坐标横轴(x轴 的对称点 ,-y,- 为P2(x,- ,- ; ,- ,-z); 关于坐标纵轴(y轴 的对称点 点P(x,y,z)关于坐标纵轴 轴)的对称点 , , 关于坐标纵轴 为P3 (-x,y, -z); - , , ; 点P(x,y,z) 关于坐标竖轴 轴)的对称点 , , 关于坐标竖轴(z轴 的对称点 ,-y, 为P4(-x,- , z) ; - ,-

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问题6: 问题 :怎样求一个点关于坐标轴和坐标 平面的对称点的坐标? 平面的对称点的坐标? 点P(x,y,z) 关于 , , 关于xOy坐标平面的对称点 坐标平面的对称点 ,-z); 为P5(x,y,- ; , ,- 点P(x,y,z) 关于 , , 关于yOA坐标平面的对称点 坐标平面的对称点 为P6 (-x,y,z); - , , ; 点P(x,y,z) 关于 , , 关于zOx坐标平面的对称点 坐标平面的对称点 ,-y, . 为P7 (x,- ,z). ,-
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结晶体的基本单位称为晶胞, 例2. 结晶体的基本单位称为晶胞,下图是 食盐晶胞的示意图( 食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为
1 2

的小正方体堆积成的正方体),其中 的小正方体堆积成的正方体),其中 ),
z

红点代表钠原子,黄点代表氯原子. 红点代表钠原子,黄点代表氯原子. 如图, 如图,建立空间直角 坐标系Oxyz后,试写 后 坐标系 出全部钠原子所在位 置的坐标. 置的坐标
x y
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课堂练习
1. 教材 教材P.136第1、2、3题; 第 、 、 题 2. 已知 (2, -3, 4),画出它在空间直角 已知M , 坐标系中的位置. 坐标系中的位置. 3. 思考题:建立适当的直角坐标系, 思考题:建立适当的直角坐标系, 确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标 的正四面体各顶点的坐标. 确定棱长为 的正四面体各顶点的坐标. 4. 已知点 已知点B(1,1,1),分别求出该点关 , , , 于x轴、z轴、原点和 轴 轴 原点和xOy坐标平面的对 坐标平面的对 称点的坐标. 称点的坐标.
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课堂练习
5.在空间直角坐标系O-xyz中,关于点 .在空间直角坐标系 中 (0,m2+2m ,m)一定有下列结论 ) 一定有下列结论( , 一定有下列结论 A.在xOy坐标平面上 在 坐标平面上 B.在xOz坐标平面上 在 坐标平面上 C.在yOz坐标平面上 在 坐标平面上 D.以上都不对 以上都不对
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课堂小结
1.空间直角坐标系的建立. 空间直角坐标系的建立. 空间直角坐标系的建立 2.空间直角坐标系内点的坐标的确定过程 空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 空间直角坐标系内点的坐标的确定过程 3.空间直角坐标系中点的位置的确定. 空间直角坐标系中点的位置的确定. 空间直角坐标系中点的位置的确定 4.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标 坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标 的特点 5.一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点 一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点 的坐标特点
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课后作业

学案》 《习案》与《学案》.

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