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高中数学立体几何专题:空间距离的各种计算(含答案)doc


高中数学立体几何 空间距离
1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线, 叫做这两条异面直线的公垂线; 两条异面直线的公垂线在这两条异面 直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行, 那么直线上各点到这平

面的距离相等, 且这条直线上任意一点到平面的距离 叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线, 叫做这两平行平面的公垂线, 它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做 这两个平行平面的距离. 题型一:两条异面直线间的距离 【例 1】 如图,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F 分别是 AB、CD 的中点. (1)求证:EF 是 AB 和 CD 的公垂线; (2)求 AB 和 CD 间的距离; 【规范解答】 (1)证明:连结 AF,BF,由已知可得 AF=BF. 又因为 AE=BE,所以 FE⊥AB 交 AB 于 E. 同理 EF⊥DC 交 DC 于点 F. 所以 EF 是 AB 和 CD 的公垂线.

3 1 a ,BE= a , 2 2 2 1 a. 所以 EF2=BF2-BE2= a 2,即 EF= 2 2
(2)在 Rt△BEF 中,BF=

例 1 题图

2 a. 2 【例 2】 如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1,求异面直线 AB、CD 之间的距离. 设 AB 中点为 E,连 CE、ED. ∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理 DE⊥AB. ∴AB⊥平面 CED.设 CD 的中点为 F,连 EF,则 AB⊥EF. 同理可证 CD⊥EF.∴EF 是异面直线 AB、CD 的距离.
由(1)知 EF 是 AB、CD 的公垂线段,所以 AB 和 CD 间的距离为

3 1 ∵CE= ,∴CF=FD= ,∠EFC=90°,EF= 2 2
∴AB、CD 的距离是

2 ? 3? 1? 2 ? ? ?? . ? ? ? ? 2 ? 2 ?2? ? ?

2

例 2 题图

2 . 2 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法: (1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出公垂线段的长度. (2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行,可以转化为求直线与平面的距离. (3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可以转化为求两平行平面的距离. 题型二:两条异面直线间的距离 【例 3】 如图(1),正四面体 ABCD 的棱长为 1,求:A 到平面 BCD 的距离; 过 A 作 AO⊥平面 BCD 于 O,连 BO 并延长与 CD 相交于 E,连 AE. ∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O 是△BCD 的外心.又 BD=BC=CD,
∴O 是△BCD 的中心,∴BO=

2 3 3 2 ? BE= ? . 3 2 3 3
例 3 题图

? 3? ? ? 6 .∴A 到平面 BCD 的距离是 6 . 又 AB=1,且∠AOB=90°,∴AO= AB ? BO ? 1 ? ? ? 3 ? 3 3 ? ?
2 2

2

【例4】

在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=

5 ? ,AB=a,AD=3a 且 sin∠ADC= ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=a, 5 2

求:(1)二面角 P—CD—A 的大小; (2)点 A 到平面 PBC 的距离. 【规范解答】 (1)作 AF⊥DC 于 F,连结 PF, ∵AP⊥平面 ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC, ∴∠PFA 就是二面角 P—CD—A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin

3a 5 ,AD=3a,∴AF= , 5 5

PA a 5 5 5 ? ? ,∴∠PFA=arc tan . AF 3a 3 3 (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC,又 BC⊥AB, ∴BC⊥平面 PAB,作 AH⊥PB,则 BC⊥AH,∴AH⊥平面 PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,
在 Rt△PAF 中 tan∠PFA= ∴PB= 2 a,∴AH= 【例5】

2 a. 2

如图,所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4, BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 解法 1: (Ⅰ)过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H,则 CH=BE=1,EH//AD,且 EH=AD. ∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. ? BF ? BD ? DF ? 2 6. (Ⅱ)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG, 则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG. 过 C 作 CM⊥AG,垂足为 M,连 C1M, 由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC, 且 AG ? 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC. 在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ 的长即为 C 到面 AEC1F 的距离.
2 2



EB BG ? 可得, BG ? 1, 从而AG ? CC1 CG

AB 2 ? BG 2 ? 17. 4 17 ? 12 17 ,

由?GAB ? ?MCG知, CM ? 3 cos MCG ? 3 cosGAB ? 3 ? CM ? CC1 ? CQ ? ? MC1 3? 12 17 122 17 ? 4 33 . 11

32 ?

解法 2: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(2,4,0) , A(2,0,0) ,C(0,4,0) ,E(2,4,1) ,C1(0,4,3).设 F(0,0,z). ∵AEC1F 为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为面 AEC1F 的法向量, 显然n1不垂直于平面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)

? x ? 1, ? ?4 y ? 1 ? 0, ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由? 得? 即? ?? 1 ? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . ? ?n1 ? AF ? 0, ? 4 ? CC1 ? n1 4 33 又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 a,则 cos ? ? ? . 33 | CC1 | ? | n1 |
∴C 到平面 AEC1F 的距离为 d ?| CC1 | cos? ? 3 ? 【例6】

4 33 4 33 ? . 33 11

正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8,对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中点。

(1)求点 B1 到直线 AC 的距离.(2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离. 解: (1)连结 BD, B1 D ,由三垂线 定理可得: B1 D ? AC , 所以 B1 D 就是 B1 点到直线 AC 的距离。 在 Rt?B1 BD 中 BB1 ?

A1

B1
2 2

C1

B1C ? BC

2

2

? 10 ? 8 ? 6, BD ? 4 3 .
A D B C

? B1 D ?

BD 2 ? B1 B 2 ? 2 21 .

(2)因为 AC 与平面 BD C1 交于AC的中点D, 设 B1C ? BC1 ? E ,则 AB1 //DE,所以 AB1 //平面 C1 BD , 所以 AB1 到平面 BD C1 的距离等于A点到平面 BD C1 的距离,等于C点到平面 BD C1 的距离,也就等于三棱 锥 C ? BDC1 的高, , ?VC?B D C ? VC1 ?B D C 1

1 1 12 13 12 13 ? hS ?BDC1 ? S ?BDC CC1 ,? h ? ,即直线 AB1 到平面 BD C1 的距离是 . 3 3 13 13
【解后归纳】 求空间距离注意三点: 1.常规遵循一作二证三计算的步骤; 2.多用转化的思想求线面和面面距离; 3.体积法是一种很好的求空间距离的方法. 【范例 4】如图,在长方体 AC1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为

D1 B1

C1

? . 4

A1 D A E

解析:法 1 (1)∵AE⊥面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E

C B

(2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ACD1 中,AC=CD1= 5 ,AD1= 2 , 故 S ?AD1C ?

1 1 3 1 1 ? 2 ? 5 ? ? , 而S ?ACE ? ? AE ? BC ? . 2 2 2 2 2
1 1 1 3 1 S?AEC ? DD1 ? S?AD1C ? h,? ? 1 ? ? h,? h ? . 3 3 2 2 3
D1 A1 D A
H

?VD1 ? AEC ?

(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, ∴∠DHD1 为二面角 D1—EC—D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2-x

C1 B1 C E B

在Rt ?D1 DH中, ?DHD1 ?

?

4

,? DH ? 1.

在Rt ?ADE中, DE ? 1 ? x 2 , ? 在Rt ?DHE中, EH ? x ,

在Rt?DHC中CH ? ?x ? 3 ?

3 , 在Rt?CBE中CE ?

x 2 ? 4 x ? 5.

x 2 ? 4 x ? 5 ? x ? 2 ? 3.

? AE ? 2 ? 3时, 二面角D1 ? EC ? D的大小为 . 4
法 2:以 D 为坐标原点,直线 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x,则 A1(1,0, 1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0), C(0,2,0). (1) 因为DA ,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E. 1, D 1 E ? (1 (2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) , 从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) , AD ,0,1) , 1 ? (?1 设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ,
A1 D o D1

?

z
B1

C1

? ?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ?n ? AC ? 0, 则? 也即 ? ,得 ? , ?a?c ?0 a?c ? ? ? n ? AD ? 0 , 1 ?
从而 n ? (2,1,2) ,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 h ? (3)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) , ∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由?

C E B

y

x

A

| D1 E ? n | |n|

?

2 ?1? 2 1 ? . 3 3

? ?n ? D1C ? 0,

?2b ? c ? 0 ?? 令 b=1, ∴c=2, a=2-x, a ? b( x ? 2) ? 0. ? ? n ? CE ? 0 , ?

∴ n ? (2 ? x,1,2).依题意 cos

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . 2 2 ( x ? 2) 2 ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3 . ∴AE= 2 ? 3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.把边长为 a 的正△ABC 沿高线 AD 折成 60°的二面角,则点 A 到 BC 的距离是 A.a B.

(

)

6 3 15 a a a C. D. 2 3 4 2.△ABC 中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°.△ABC 所在平面外一点 P 到三个顶点 A、B、C 的距离都是 14, 那么点 P 到平面α 的距离为 ( ) A.7 B.9 C.11 D.13 3.从平面α 外一点 P 向α 引两条斜线 PA,PB.A,B 为斜足,它们与α 所成角的差是 45°,它们在α 内的射影长分 别是 2cm 和 12cm ,则 P 到α 的距离是 ( ) A.4cm B.3cm 或 4cm C.6cm D.4cm 或 6cm 4.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a,动点 P 在线段 AB 上,动点 Q 在线段 CD 上, 则 P 与 Q 的最短距离为 ( ) 2 3 a a C. D.a 2 2 5.在四面体 P—ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直.M 是面 ABC 内一点,且点 M 到三个面 PAB、PBC、PCA 的 距离分别为 2、3、6,则点 M 到顶点 P 的距离是 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10
A. B.

1 a 2

(

6.如图,将锐角为 60°,边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60°的二面角,则 AC 与 BD 的距离是 ) A.

3 a 4

B.

3 a 4

C.

3 a 2

D.

6 a 4

第 6 题图 第 7 题图 7.如图, 四棱锥 P—ABCD 的底面为正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=AD=1,设点 C 到平面 PAB 的距离为 d1, 点 B 到平面 PAC 的距离为 d2,则有 ( ) A.1<d1<d2 B.d1<d2<1 C.d1<1<d2 D.d2<d1<1

第 8 题图 8.如图所示,在平面α 的同侧有三点 A、B、C,△ABC 的重心为 G.如果 A、B、C、G 到平面α 的距离分别 为 a、b、c、d,那么 a+b+c 等于 ( ) A.2d B.3d C.4d D.以上都不对

第 9 题图

9. 如 图 , 菱 形 ABCD 边 长 为 a , ∠ A=60 ° , E 、 F 、 G 、 H 分 别 是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上 的 点 且

AE AH CF CG ? ? ? ? 2 ,沿 EH 和 FG 把菱形的两锐角折起,使 A、C 重合,这时点 A 到平面 EFGH 的距离 EB HD FB DG
是 A. ( ) B.

a 2

2 a 2

C.

3 a 2

D.

15 a 6
.

二、思维激活 10.二面角α -MN-β 等于 60°, 平面α 内一点 A 到平面β 的距离 AB 的长为 4, 则点 B 到α 的距离为

11.在 60°的二面角α —l—β 中,A∈α ,AC⊥l 于 C,B∈β ,BD⊥l 于 D,又 AC=BD=a,CD= 2 a,则 A、 B 两点间距离为 . 12.设平面α 外两点 A 和 B 到平面α 的距离分别为 4cm 和 1cm,AB 与平面α 所成的角是 60°,则线段 AB 的长是 . 13. 在直角坐标系中 , 已知 A(3,2),B(-3,-2) 沿 y 轴把直角坐标系折成平面角为 α 的二面角 A — Oy — B 后,∠ AOB=90°,则 cosα 的值是 . 三、能力提高 14.在边长为 a 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,PC⊥平面 ABCD,E 是 PA 的中点,求点 E 到平

面 PBC 的距离. 15.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB 为直角,侧面 AB1 与侧面 AC1 所成的二面角为 60°,M 为 AA1 上的 点.∠A1MC1=30°,∠BMC1=90°,AB=a. (1)求 BM 与侧面 AC1 所成角的正切值. (2)求顶点 A 到面 BMC1 的距离. 16. 已知斜三棱柱 ABC —A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直 .∠ ABC=90 ° ,BC=2,AC=2 3 ,且 AA1 ⊥ A1C,AA1=A1C. (1)求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小; (2)求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小; (3)求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离.

第 15 题图

17.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB 与 BC 的中点,EF 与 BD 交于 H. (1)求二面角 B1—EF—B 的大小. (2)试在棱 B1B 上找一点 M,使 D1M⊥面 EFB1,并证明你的结论. (3)求点 D1 到面 EFB1 的距离. 空间的距离习题解答

1.D 折后 BC=

a 15a ?a? ,∴点 A 到 BC 的距离为 a 2 ? ? ? ? . 2 4 ?4?

2

第 17 题图

2.A BC= 9 2 ? 152 ? 2 ? 9 ? 15 cos120? ? 21 . ∴△ABC 外接圆半径 R=

21 ?7 3, 2 sin120?

∴点 P 到α 的距离为 14 2 ? (7 3 ) 2 ? 7. 3.D 设 PO⊥α 垂足为 O,|PO|=xcm ,∠OAP=β ,∠OBP=γ ,那么β -γ =45°, tanβ =

x x ,tanγ = ,tan (β -γ )=tan 45° 2 12

展开左边并整理得:x2-10x+24=0,解得 x1=6,x2=4. 4.B P、Q 的最短距离即为异面直线 AB 与 CD 间的距离,当 P 为 AB 的中点,Q 为 CD 的中点时符合题意. 5.A PM= 2 2 ? 32 ? 6 2 ? 7 . 6.C 取 BD 的中点 O 连 AO、OC,作 OE⊥AC 于 E,则 OE 为所求,∴AO=CO=AC= 7.D 点 C 到平面 PAB 的距离 d1=

3a . 2

2 , 2

2 2 ? 3, 点 B 到平面 PAC 的距离 d2= 3 1 1? 2 1?


3 2 ? ? 1 ,∴d2<d1<1. 3 2
第 13 题图解

b?c d? b?c 2 ? 1 .∴a+b+c=3d. 8.B |MM′|= ,又 b ? c 3 2 a? 2
9.A 设 BD 的中点为 O,

a a 7a 4 2 7a 2 a ?a? ?a? ∴EO= ? ? ? ? ? ? 2 ? ? cos 60? ? ,点 A 到平面 EFGH 的距离为 a ? ? . 9 36 2 3 2 6 ?3? ?2?
10.2 作 AC⊥MN 于 C,连 BC,则 BC⊥MN, ∴∠ACB=60°,又 MN⊥平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面α ,作 BD⊥AC 于 D,则 BD⊥α , ∴BD 的长即为所求,得 BD=2. 11. 3a AB= a 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 ? 2 ? a ? a ? cos 60? ? 3a .

2

2

12.2 3 cm 或

10 3 cm 3

3 ?2 3; sin 60? 5 10 3 ? 当点 A、B 在α 异侧时,AB= sin 60? 3 4 13. 如图,AB″= OA 2 ? OB 2 ? 2(2 2 ? 32 ) ? 26 9
当点 A、B 在α 同侧时,AB= ∵BC⊥y 轴,B′C⊥y 轴, ∴∠B′CB″为二面角 A—Oy—B 的平面角. ∠B′CB″=α ,在△B′CB″中,B′C=B″C=3, B′B″= 26 ? 4 2 ? 10 ,由余弦定理易知 cosα =

4 . 9

14.如图,将点 E 到平面 PBC 的距离转化成线面距,再转化成点面距. 连 AC、BD,设 AC、BD 交于 O,则 EO∥平面 PBC, ∴OE 上任一点到平面 PBC 的距离相等. ∵平面 PBC⊥平面 ABCD, 过 O 作 OG⊥平面 PBC,则 G∈BC, 又∠ACB=60°,AC=BC=AB=a,

3a a ∴OC= ,OG=OC sin60°= . 4 2

第 14 题图解

点评:若直接过 E 作平面 PBC 的垂线,垂足难以确定.在解答求距离时,要注意距离之间的相互转化有的能 起到意想不到的效果. 15.(1)∵三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱,∴∠BAC 为二面角 B1—AA1—C1 的平面角, ∴∠BAC=60°. 又∵∠ACB 为直角,∴BC⊥侧面 AC1. 连 MC,则 MC 是 MB 在侧面 AC1 上的射影. ∴∠BMC 为 BM 与侧面 AC1 所成的角. 且∠CMC1=90°,∠A1MC1=30°,所以∠AMC=60°. 设 BC=m,则 AC= 所以 tan∠BMC=

3 2 m ,MC= m, 3 3

3 . 2

即 BM 与侧面 AC1 所成的角的正切值为

3 . 2

(2)过 A 作 AN⊥MC,垂足为 N,则 AN∥面 MBC1. ∵面 MBC⊥面 MBC1,且过 N 作 NH⊥MB,垂足为 H, 则 NH 是 N 到面 MBC1 的距离,也就是 A 到面 MBC1 的距离. ∵AB=a,AC= ∴AN=

a ,且∠ACN=30°, 2

3 a a. 且∠AMN=60°,∴MN= 12 4 3 39 a× a (本题还可用等积法). ∴NH=MNsin∠BMC= 12 52
16.(1)如图所示,作 A1D⊥AC,垂足为 D,由面 A1ACC1⊥面 ABC,得 A1D⊥面 ABC ∴∠A1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角 ∵AA1⊥A1C,AA1=A1C ∴∠A1AD=45°为所求. (2)作 DE⊥AB 垂足为 E,连 A1E,则由 A1D⊥面 ABC,得 A1E⊥AB, ∴∠A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角. 由已知 AB⊥BC 得 DE∥BC,又 D 是 AC 的中点,BC=2,AC=2 3 ∴DE=1,AD=A1D= 3 ,tan∠A1ED=

A1 D = 3 ,故∠A1ED=60°为所求. DE

(3)连结 A1B,根据定义,点 C 到面 A1ABB1 的距离,即为三棱锥 C—A1AB 的高 h. 由 VC—A1AB=VA1-ABC 得 即

1 1 S△AA1Bh= S△ABC·A1D 3 3

1 1 ? 2 2 ? h ? ? 2 2 ? 3 ,∴h= 3 为所求. 3 3

17.(1)如图连结 B1D1,AC,B1H, ∵底面为正方形 ABCD, ∴对角线 AC⊥BD. 又∵E、F 分别为 AB、BC 的中点 ∴EF∥AC.∴EF⊥BD. 又∵棱 B1B⊥底面 ABCD,EF 面 ABCD,∴EF⊥B1B. 又 B1B∩BD=B,BB1 面 BB1D1D,BD 面 BB1D1D. ∴EF⊥面 BB1D1D. 而 B1H 面 BB1D1D,BH 面 BB1D1D,∴EF⊥B1H,EF⊥BH. ∴∠B1HB 为二面角 B1—EF—B 的平面角. 在 Rt△B1BH 中,B1B=a,BH= ∴tan∠B1HB=

第 17 题图解

2 a, 4

B1 B ?2 2. BH

∴∠B1HB=arctan2 2 . ∴二面角 B1—EF—B 的大小为 arctan2 2 . (2)在棱 B1B 上取中点 M,连 D1M, 则 D1M⊥面 EFB1.连结 C1M. ∵EF⊥面 BB1D1D,D1M 面 BB1D1D. ∴D1M⊥EF.

又∵D1C1⊥面 B1BCC1. ∴C1M 为 D1M 在面 B1BCC1 内的射影. 在正方形 B1BCC1 中,M、F 分别为 B1B 和 BC 的中点, 由平面几何知识 B1F⊥C1M. 于是,由三垂线定理可知 B1F⊥D1M, 而 B1F 面 EFB1,EF 面 EFB1,EF∩B1F=F, ∴D1M⊥面 EFB1. (3)设 D1M 与面 EFB1 交于 N 点,则 D1N 为点 D 到面 EFB1 的距离, ∵B1N 面 EFB1,D1M⊥面 EFB1, ∴B1N⊥D1M. 在 Rt△MB1D1 中,由射影定理 D1B12=D1N·D1M, 而 D1B1= 2 a,D1M= B1 D12 ? B1 M 2 ? ∴D1N=

3 a, 2

D1 B12 4 ? a. D1 M 3

即点 D1 到面 EFB1 的距离为

4 a. 3
D.d2<d1<1

C.d1<1<d2


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