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马鞍山市2013届高三第一次教学质量检测理科数学试卷


马鞍山市 2013 届高三第一次教学质量检测 理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中姓名、 座位号与本人姓名、 座位号是

否一致. 务必在答题卡背面规 定的地方填写姓名和座位号(四位数字). 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 .... 笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签 ... 字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答, ............. 在试题卷、 超出答题区域书写的答案无效, .... 草稿纸上答题无效. ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑. (1)已知集合 A ? ? x | 2 x ? x 2 ? 0 ? , B ? ? x | x ? 1? , R 为实数集,则 ( ?R B ) ? A ? A. ? 0 ,1 ? B. ? 0,1 ? C. ? ? ? , 0 ? D.以上都不对

【答案】B. 【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算,容易题. (2)复数 A.
1 5 i 1 ? 2i

(为虚数单位)的虚部是 B. ?
1 5

C. i
5

1

D. ?

1 5

i

【答案】A. 【命题意图】本题考查复数的概念及运算,容易题.
??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? AB ? (3)已知平面上不共线的四点 O , A , B , C ,若 O A ? 4 O B ? 3 O C ? 0 ,则 ???? ? ? BC ?

A.3 B.4 C.5 【答案】A. 【命题意图】本题考查向量的运算,容易题.

D.6

(4)设 ? a n ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S 5 ? S 6 , S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列结 论错误的是 ..

A. d ? 0
S n 的最大值

B. a 7 ? 0

C. S 9 ? S 5

D. S 6 和 S 7 均 为

【答案】C. 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算与性质,容易题. (5)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ?
?x ? y ?1 ? 0 ? 0 ? ?ax ? y ? 1 ? 0

( a 为常数)所表示的平面区域的

面积等于 2 ,则 a 的值为 A.-5 B.1 C.2 D.3 【答案】D. 【命题意图】本题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积 公式等基础知识,考查数形结合思想,容易题. (6) 设函数 f ( x ) 在定义域内可导, ? f ( x ) 的图象如下左图所示, 则导函数 y ? f ? ( x ) y 的图象可能是
y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

【答案】A. 【命题意图】本题考查导数的概念与几何意义,中等题. (7)斜率为 3 的直线与双曲线 范围是 A. ? 2 , ? ? ? B. ( 3 , ? ? ) C. (1, 3 ) D. ( 2 , ? ? )
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值

【答案】D. 【命题意图】本题考查双曲线的性质,中等题. (8)已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积是
20 3 17 3 14 3

A.8

B.

C.

D.

【答案】C. 【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体体积的计算,考查空间 想象能力,较难题.

(9)袋中有大小相同的 4 个红球和 6 个白球,随机从袋中取个球,取后不放回,那么 恰好在第 5 次取完红球的概率是 A.
1 210

B.

2 105

C.

2 21

D.

8 21

【答案】B. 【命题意图】 本题考查排列组合、 古典概型等基础知识, 考查分析问题解决问题的能力, 较难题. (10)已知函数 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [ ? 1, 0 ] 时, f ( x ) ? ? x .若关于 x 的方程 f ( x ) ? k x ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? 1 )在区间 [ ? 3, 1] 内有四个不同的实根,则 k 的取值 范围是 A. ( 0 ,1) B. ( 0 , )
2 1

C. ( 0 , )
3

1

D. ( 0 , )
4

1

【答案】C. 【命题意图】本题考查函数的性质与图象,考查数形结合能力,较难题.

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. (11)运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为

i≤n

.

开始

输入n

i ? 0, S ? 1

S ? S ?i

i ? i ?1


输出S 结束

【答案】11. 【命题意图】本题考查程序框图,容易题. (12)已知总体的各个个体的值由小到大依次为 3, 7 , a , b ,1 2, 2 0 ,且总体的中位数为 1 2 , 若要使该总体的标准差最小,则 a ? . 【答案】12. 【命题意图】本题考查统计知识,重要不等式,容易题. 说明:本题数据给的不科学,改为 3, 7 , a , b ,1 5, 2 0 较好 (13)已知 ( x ?
2

1 x

) 的展开式中第三项与第五项的系数之比为

n

3 14

,则展开式中常数

项是______. 【答案】45. 【命题意图】本题考查二项式定理,考查运算能力,中等题. (14)已知直线 2 m x ? n y ? 1 ( m , n 是实数)与圆 x ? y ? 1 相交于 A , B 两点,且
2 2

? A O B ( O 是坐标原点)是直角三角形,则点 P ( m , n ) 与点 Q ( 0 , 1 ) 之间距离的最小值



. 【答案】 2 ? 1 . 【命题意图】本题考查直线与圆的方程,考查运算能力与数形结合能力,中等题.

(15)函数 f ( x ) ? 3 s in ( 2 x ?

π 3

) 的图象为 C ,如下结论中正确的是

(写出所有正确结论的编号). ①图象 C 关于直线 x ?
11 12 π 对称;

②图象 C 的所有对称中心都可以表示为 (
? ? π

?
6

? k ? , 0 )( k ? Z ) ;

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

5π ? , ? 内是增函数; 12 12 ?

④由 y ? ? 3 c o s 2 x 的图象向左平移 ⑤函数 f ( x ) 在 [ 0 ,
?
2

?
12

个单位长度可以得到图象 C .

] 上的最小值是 ? 3 .

【答案】①③④. 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,较难题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤. (16)(本题满分 12 分) 在 ? A B C 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边, C ? 2 A ,
cos A ? 3 4

.

(Ⅰ)求 c o s B , c o s C 的值; (Ⅱ)若 B A ? B C ?
??? ???? ? 27 2

,求边 A C 的长.

(16)【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定 理、余弦定理等基础知识,考查逻辑推理和运算求解能力,简单题. 解: (Ⅰ) C ? 2 A ,c o s A ? ∵
3 8 7 7 4

3 4

, cos C ? cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 ? ( )2 ? 1 ? ∴
4
?) C s?i n

3

1 8

.

∴ s in C ?

, s in A ?

, ∴ c o s ? ? c o A (? C B s

s i n A

A c o s ? c o s C

7 4

?

3 8

7

?

3 4

?

1 8

?

9 16

.??6 分
9 16 27 2
2 2 2

(Ⅱ) B A ? B C ? c a c o s B ? ∵ 得c ?
3 2

??? ???? ?

ac ?

, ac ? 24 ; ∴ 又由正弦定理

a s in A

?

c s in C



a ,解得 a ? 4 , c ? 6 ,∴ b

? a ? c ? 2 a c c o s B ? 2 5 , b ? 5 ,即边 A C 的长

为 5.????12 分 (17)(本题满分 12 分)一厂家向用户提供的一箱产品共 1 2 件,其中有 2 件次品,用户

先对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品 不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品 就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品. (Ⅰ)求这箱产品被用户接收的概率; (Ⅱ)记抽检的产品件数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. (17)【命题意图】本题考查概率知识,分布列和期望的求法,考查学生应用知识解决 问题的能力,中等题. 解:(Ⅰ)设“这箱产品被用户接收”为事件 A ,则 P ( A ) ? 品被用户接收的概率为
7 15 8?7 ?6 10 ? 9 ? 8 ? 7 15

.即这箱产

.??????4 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 1,2,3. ??5 分 ∵ P ? X ? 1? ?
2 10 ? 1 5

,P ? X ? 2? ?

8 10

?

2 9

?

8 45

, P ? X ? 3? ?

8 10

?

7 9

?

28 45



??8

分 ∴ X 的概率分布列为:
X
P

1
1 5

2
8 45

3
28 45

????? 10 分 ∴ E ( X ) ? 1?
1 5 ? 2? 8 45 ? 3? 28 45 ? 109 45

. ??????(12 分)

(18) (本题满分 12 分)在如图的多面体中, F ⊥平面 A E B , E
A E ? E B , A D ?? E F , E F ?? B C , B C ? 2 A D ? 4 , E F ? 3 , A E ? B E ? 2 , G 是 B C 的中点.

(Ⅰ) 求证: A B ?? 平面 D E G ; (Ⅱ) 求证: B D ? E G ; (Ⅲ) 求二面角 C ? D F ? E 的余弦值.

(18)【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有关知识,考查空间想象能力, 中等题. 解:(Ⅰ)证明:∵ A D // E F , E F // B C ,∴ A D // B C ; 又∵
B C ? 2 A D , G 是 B C 的中点,∴ A D ?? B G ,且 A D ? B G ,∴四

边形 A D G B 是平行四边形, ∴ A B // D G . ∵ A B ? 平面 D E G , D G ? 平面 D E G ,∴ A B // 平面 D E G . ????4 分 (Ⅱ) 解法 1:证明:∵ E F ? 平面 A E B , A E ? 平面 A E B , ∴ EF ? AE ; 又 A E?
E ,B E B ? ? F , E B, EF ? 平 面 E E

则 B C F , A E ? 平面 B C F E . 过 D 作 D H // A E 交 E F 于 H , D H ? 平面 B C F E . ∵ E∴

E G ? 平面 B C F E , ∴ D H ? E G .

∵ A D // E F , D H // A E , ∴ 四 边 形 A E H D 平 行 四 边 形 , ∴ E H ? A D ? 2 , ∴
E H ? B G? 2 ,又 EH // BG ,EH
BH ? DH ?H BH , ? BE

,∴四边形 B G H E 为正方形, ∴ B H ? E G ,又

∴ ? 平面 B H D ,D H ? 平面 B H D , E G ⊥平面 B H D . ∵ B D ? 平

面 B H D ,∴ B D ? E G . ??????8 分 解法 2:∵ E F ? 平面 A E B , A E ? 平面 A E B , B E ? 平 面 A E B , ∴ E F ? A E, E F ? B E , 又 A E ? E B , ∴
E B , E F , E A 两两垂直.

以点 E 为坐标原点,E B , E F , E A 分别

为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得,
A ( 0 , 0 , 2 ) , B ( 2 , 0 , 0 ) , C ( 2 , 4 , 0 ) , F ( 0 , 3, 0 ) , D ( 0 , 2 , 2 ) ,
, ) ; ∴ E G ? ( 2 , 2 , 0B D ? ( ? 2 , 2 , 2 ) , ∴ ???? ????

G (2, 2, 0)

? ? ? ? ? ? ? ? B D ? E ? 2 ? 2? G

2?
??? ?

2,∴0B D ? E G .???8 分 ? ?

( Ⅲ ) 由 已 知 得 E B ? ( 2 , 0 , 0 ) 平 面 E F D A的 法 向 量 . 设 平 面 D C F 的 法 向 量 为 是
? n ? (x, y, z) ? ? ? 0 ?, ,2 , FD ? (, 1) ∵ ? ? ?

F (1) ? C,0 2

???? ? ? FD n ? 0 ? ?? y ? 2z ? 0 ? , ? ???? ? ∴ , ? 即 , z ? 1, 令 ? ?2x ? y ? 0 ? FC n ? 0 ?

得 n ? ( ? 1, 2 , 1) . 设二面角 C ? D F ? E 的大小为 ? ,由法向量 n 与 E B 的方向可知, ? ? ? n , E B ? ,∴
? ??? ? cos ? ? cos ? n, E B ?? ?2 2 6 6 6
6 6

?

?

??? ?

? ??? ?

? ?

,即二面角 C ? D F ? E 的余弦值为 ?

.???12


n ?1

(19)(本题满分 12 分)已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ?
?2 ? (Ⅰ)证明数列 ? ? 是等差数列; ? an ?
n

2

an
n

an ? 2

(n ? N *) .

(Ⅱ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅲ)设 b n ? n ( n ? 1) a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 S n . (19) 【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础

知识知识,考查运算求解能力、推理论证能力,中等题. 解:(Ⅰ)由已知可得
a n ?1 2
n
n ?1

?

an an ? 2
n

,所以

2

n ?1

?

2

n

? 1 ,即

2

n ?1

?

2

n

? 1 ,∴数列

a n ?1

an

a n ?1

an

?2 ? ? ? 是公差为 1 的等差数列.???4 分 ? an ?
2
n

(Ⅱ)由(1)可得

?

2 a1

an

? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,∴ a n ?

2

n

n ?1

.???7 分

n n 2 3 (Ⅲ)由(2)知, b n ? n ? 2 ,所以 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ,

2Sn ? 1?2 ? 2 ?2 ? 3 ?2 ? ? ? n ?2
2 3 4

n ?1

n n? 2 3 ,相减得 ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2

1

? 2

n ?1

? 2 ? n?2

n ?1

n ?1 ,∴ S n ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 .???12 分

(20)(本题满分 13 分)已知椭圆 E :
???? ???? ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P (3, 1) ,其左、

右焦点分别为 F1 , F 2 ,且 F1 P ? F 2 P ? ? 6 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点,且 F1 M ? F 2 N ,则以 M N 为直径的圆 C 是 否过定点?请说明理由. (20) 【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识,考查运算求解能力以及分析 问题、解决问题的能力,较难题. 解 : ( Ⅰ ) 设 点 F1 , F 2 的 坐 标 分 别 为 ( ? c , 0 ), ( c , 0 )( c ? 0 ) , 则
???? ???? ? ???? ???? ? 2 F1 P ? (3 ? c ,1), F 2 P ? (3 ? c ,1) , 故 F1 P ? F 2 P ? (3 ? c )(3 ? c ) ? 1 ? 1 0 ? c ? ? 6 , 可 得

c ? 4 ,??????2 分

所以 2 a ? | P F1 | ? | P F 2 | ?
a ? 3

(3 ? 4 ) ? 1 ?
2 2

(3 ? 4 ) ? 1 ? 6
2 2

2 ,

2 ,???????4 分
x
2

∴b ? a ? c ? 18 ? 16 ? 2 , 所以椭圆 E 的方程为
2 2 2

?

y

2

? 1 . ??????????

18

2

6分 (Ⅱ)设 M , N 的坐标分别为 (5 , m ), (5 , n ) ,则 F1 M ? (9 , m ) , F 2 N ? (1, n ) . 由
????? ???? ?

????? ???? ? ????? ???? ? F1 M ? F 2 N ,可得 F1 M ? F 2 N ? 9 ? m n ? 0 ,即 m n ? ? 9 ,

???????8 分

又圆 C 的圆心为 (5 ,
( x ? 5) ? ( y ?
2
2 2

m ? n 2

), 半径为
2

|m ? n| 2

,故圆 C 的方程为
2 2

m ? n 2

) ? (
2

|m ?n| 2

) ,即 ( x ? 5 ) ? y ? ( m ? n ) y ? m n ? 0 ,也就是

( x ? 5 ) ? y ? ( m ? n ) y ? 9 ? 0 ,令 y ? 0 ,可得 x ? 8 或 2 ,

故圆 C 必过定点 (8 , 0 ) 和 ( 2 , 0 ) . ????????13 分

(21) (本题满分 14 分)设函数 f ( x ) ? c ln x ?
f ( x ) 的极值点.

1 2

x ? b x ( b , c ? R , c ? 0 ) ,且 x ? 1 为
2

(Ⅰ) 若 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点,求 f ( x ) 的单调区间(用 c 表示); (Ⅱ) 若 f ( x ) ? 0 恰有两解,求实数 c 的取值范围. (21)【命题意图】本题考查导数的应用,分类讨论思想,考查运算求解能力、逻辑思 维能力和分析问题解决问题的能力,较难题.
c x
f ' ( ? x ) ( x ? 1 ) x? ( x c )

) 解 : f ' (x ?

?

? x

?b

x ?
2

b? x x

, 又 f ' ( 1? )

c

, 则 b ? c ?1? 0 , 所 以 0

且 c ? 1 , ????3 分

(Ⅰ)因为 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点, 所以 c ? 1 . 令 f '( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? c ; 令 f '( x ) ? 0 , 得 1 ? x ? c . 所 以 f ( x ) 的 递 增 区 间 为 ( 0 ,1) , ( c , ? ? ) ; 递 减 区 间 为
(1, c ) .????6 分

(Ⅱ)①若 c ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( 0 ,1) 上递减,在 (1, ? ? ) 上递增. 若 f ( x ) ? 0 恰有两解, 则 f (1) ? 0 ,即
1 2 ? b ? 0 ,所以 ? 1 2
极大值

? c ? 0. c ? 1 b ? c 2
2

②若 0 ? c ? 1 , f x ) 则 (

? c ) cn c f ( ? l

,f ( x ) 极 小 值 ? f (1) ?
c
2

1 2

?b . 因



b ? ?1 ? c
1 2





f ( x ) 极 大 值 ? c ln c ?

c

2

? c ( ? 1 ? c ) ? c ln c ? c ?

? 0



2

2

f ( x )极 小 值 ? ?

? c ,从而 f ( x ) ? 0 只有一解;

③若 c ? 1 ,则 f ( x ) 极 大 值 ? ?
c
2

1 2

? c ? 0 ,从而
2

f ( x ) 极 小 值 ? c ln c ?

? c ( ? 1 ? c ) ? c ln c ? c ?

c

? 0 ,则 f ( x ) ? 0 只有一解.

2

2
1 2 ? c ? 0 .????14 分

综上,使 f ( x ) ? 0 恰有两解的 c 的范围为 ?


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