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马鞍山市2013届高三第一次教学质量检测理科数学试卷


马鞍山市 2013 届高三第一次教学质量检测 理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中姓名、 座位号与本人姓名、 座位号是否一致. 务必在答题卡背面规 定的地方填写姓名和座位号(四位数字). 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 .... 笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签 ... 字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答, ............. 在试题卷、 超出答题区域书写的答案无效, .... 草稿纸上答题无效. ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑. (1)已知集合 A ? ? x | 2 x ? x 2 ? 0 ? , B ? ? x | x ? 1? , R 为实数集,则 ( ?R B ) ? A ? A. ? 0 ,1 ? B. ? 0,1 ? C. ? ? ? , 0 ? D.以上都不对

【答案】B. 【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算,容易题. (2)复数 A.
1 5 i 1 ? 2i

(为虚数单位)的虚部是 B. ?
1 5

C. i
5

1

D. ?

1 5

i

【答案】A. 【命题意图】本题考查复数的概念及运算,容易题.
??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? AB ? (3)已知平面上不共线的四点 O , A , B , C ,若 O A ? 4 O B ? 3 O C ? 0 ,则 ???? ? ? BC ?

A.3 B.4 C.5 【答案】A. 【命题意图】本题考查向量的运算,容易题.

D.6

(4)设 ? a n ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S 5 ? S 6 , S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列结 论错误的是 ..

A. d ? 0
S n 的最大值

B. a 7 ? 0

C. S 9 ? S 5

D. S 6 和 S 7 均 为

【答案】C. 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算与性质,容易题. (5)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ?
?x ? y ?1 ? 0 ? 0 ? ?ax ? y ? 1 ? 0

( a 为常数)所表示的平面区域的

面积等于 2 ,则 a 的值为 A.-5 B.1 C.2 D.3 【答案】D. 【命题意图】本题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积 公式等基础知识,考查数形结合思想,容易题. (6) 设函数 f ( x ) 在定义域内可导, ? f ( x ) 的图象如下左图所示, 则导函数 y ? f ? ( x ) y 的图象可能是
y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

【答案】A. 【命题意图】本题考查导数的概念与几何意义,中等题. (7)斜率为 3 的直线与双曲线 范围是 A. ? 2 , ? ? ? B. ( 3 , ? ? ) C. (1, 3 ) D. ( 2 , ? ? )
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值

【答案】D. 【命题意图】本题考查双曲线的性质,中等题. (8)已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积是
20 3 17 3 14 3

A.8

B.

C.

D.

【答案】C. 【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体体积的计算,考查空间 想象能力,较难题.

(9)袋中有大小相同的 4 个红球和 6 个白球,随机从袋中取个球,取后不放回,那么 恰好在第 5 次取完红球的概率是 A.
1 210

B.

2 105

C.

2 21

D.

8 21

【答案】B. 【命题意图】 本题考查排列组合、 古典概型等基础知识, 考查分析问题解决问题的能力, 较难题. (10)已知函数 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [ ? 1, 0 ] 时, f ( x ) ? ? x .若关于 x 的方程 f ( x ) ? k x ? k ? 1 ( k ? R 且 k ? 1 )在区间 [ ? 3, 1] 内有四个不同的实根,则 k 的取值 范围是 A. ( 0 ,1) B. ( 0 , )
2 1

C. ( 0 , )
3

1

D. ( 0 , )
4

1

【答案】C. 【命题意图】本题考查函数的性质与图象,考查数形结合能力,较难题.

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. (11)运行如图所示的程序框图,若输入 n ? 4 ,则输出 S 的值为

i≤n

.

开始

输入n

i ? 0, S ? 1

S ? S ?i

i ? i ?1


输出S 结束

【答案】11. 【命题意图】本题考查程序框图,容易题. (12)已知总体的各个个体的值由小到大依次为 3, 7 , a , b ,1 2, 2 0 ,且总体的中位数为 1 2 , 若要使该总体的标准差最小,则 a ? . 【答案】12. 【命题意图】本题考查统计知识,重要不等式,容易题. 说明:本题数据给的不科学,改为 3, 7 , a , b ,1 5, 2 0 较好 (13)已知 ( x ?
2

1 x

) 的展开式中第三项与第五项的系数之比为

n

3 14

,则展开式中常数

项是______. 【答案】45. 【命题意图】本题考查二项式定理,考查运算能力,中等题. (14)已知直线 2 m x ? n y ? 1 ( m , n 是实数)与圆 x ? y ? 1 相交于 A , B 两点,且
2 2

? A O B ( O 是坐标原点)是直角三角形,则点 P ( m , n ) 与点 Q ( 0 , 1 ) 之间距离的最小值



. 【答案】 2 ? 1 . 【命题意图】本题考查直线与圆的方程,考查运算能力与数形结合能力,中等题.

(15)函数 f ( x ) ? 3 s in ( 2 x ?

π 3

) 的图象为 C ,如下结论中正确的是

(写出所有正确结论的编号). ①图象 C 关于直线 x ?
11 12 π 对称;

②图象 C 的所有对称中心都可以表示为 (
? ? π

?
6

? k ? , 0 )( k ? Z ) ;

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

5π ? , ? 内是增函数; 12 12 ?

④由 y ? ? 3 c o s 2 x 的图象向左平移 ⑤函数 f ( x ) 在 [ 0 ,
?
2

?
12

个单位长度可以得到图象 C .

] 上的最小值是 ? 3 .

【答案】①③④. 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,较难题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤. (16)(本题满分 12 分) 在 ? A B C 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边, C ? 2 A ,
cos A ? 3 4

.

(Ⅰ)求 c o s B , c o s C 的值; (Ⅱ)若 B A ? B C ?
??? ???? ? 27 2

,求边 A C 的长.

(16)【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定 理、余弦定理等基础知识,考查逻辑推理和运算求解能力,简单题. 解: (Ⅰ) C ? 2 A ,c o s A ? ∵
3 8 7 7 4

3 4

, cos C ? cos 2 A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 ? ( )2 ? 1 ? ∴
4
?) C s?i n

3

1 8

.

∴ s in C ?

, s in A ?

, ∴ c o s ? ? c o A (? C B s

s i n A

A c o s ? c o s C

7 4

?

3 8

7

?

3 4

?

1 8

?

9 16

.??6 分
9 16 27 2
2 2 2

(Ⅱ) B A ? B C ? c a c o s B ? ∵ 得c ?
3 2

??? ???? ?

ac ?

, ac ? 24 ; ∴ 又由正弦定理

a s in A

?

c s in C



a ,解得 a ? 4 , c ? 6 ,∴ b

? a ? c ? 2 a c c o s B ? 2 5 , b ? 5 ,即边 A C 的长

为 5.????12 分 (17)(本题满分 12 分)一厂家向用户提供的一箱产品共 1 2 件,其中有 2 件次品,用户

先对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品 不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品 就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品. (Ⅰ)求这箱产品被用户接收的概率; (Ⅱ)记抽检的产品件数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. (17)【命题意图】本题考查概率知识,分布列和期望的求法,考查学生应用知识解决 问题的能力,中等题. 解:(Ⅰ)设“这箱产品被用户接收”为事件 A ,则 P ( A ) ? 品被用户接收的概率为
7 15 8?7 ?6 10 ? 9 ? 8 ? 7 15

.即这箱产

.??????4 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 1,2,3. ??5 分 ∵ P ? X ? 1? ?
2 10 ? 1 5

,P ? X ? 2? ?

8 10

?

2 9

?

8 45

, P ? X ? 3? ?

8 10

?

7 9

?

28 45



??8

分 ∴ X 的概率分布列为:
X
P

1
1 5

2
8 45

3
28 45

????? 10 分 ∴ E ( X ) ? 1?
1 5 ? 2? 8 45 ? 3? 28 45 ? 109 45

. ??????(12 分)

(18) (本题满分 12 分)在如图的多面体中, F ⊥平面 A E B , E
A E ? E B , A D ?? E F , E F ?? B C , B C ? 2 A D ? 4 , E F ? 3 , A E ? B E ? 2 , G 是 B C 的中点.

(Ⅰ) 求证: A B ?? 平面 D E G ; (Ⅱ) 求证: B D ? E G ; (Ⅲ) 求二面角 C ? D F ? E 的余弦值.

(18)【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有关知识,考查空间想象能力, 中等题. 解:(Ⅰ)证明:∵ A D // E F , E F // B C ,∴ A D // B C ; 又∵
B C ? 2 A D , G 是 B C 的中点,∴ A D ?? B G ,且 A D ? B G ,∴四

边形 A D G B 是平行四边形, ∴ A B // D G . ∵ A B ? 平面 D E G , D G ? 平面 D E G ,∴ A B // 平面 D E G . ????4 分 (Ⅱ) 解法 1:证明:∵ E F ? 平面 A E B , A E ? 平面 A E B , ∴ EF ? AE ; 又 A E?
E ,B E B ? ? F , E B, EF ? 平 面 E E

则 B C F , A E ? 平面 B C F E . 过 D 作 D H // A E 交 E F 于 H , D H ? 平面 B C F E . ∵ E∴

E G ? 平面 B C F E , ∴ D H ? E G .

∵ A D // E F , D H // A E , ∴ 四 边 形 A E H D 平 行 四 边 形 , ∴ E H ? A D ? 2 , ∴
E H ? B G? 2 ,又 EH // BG ,EH
BH ? DH ?H BH , ? BE

,∴四边形 B G H E 为正方形, ∴ B H ? E G ,又

∴ ? 平面 B H D ,D H ? 平面 B H D , E G ⊥平面 B H D . ∵ B D ? 平

面 B H D ,∴ B D ? E G . ??????8 分 解法 2:∵ E F ? 平面 A E B , A E ? 平面 A E B , B E ? 平 面 A E B , ∴ E F ? A E, E F ? B E , 又 A E ? E B , ∴
E B , E F , E A 两两垂直.

以点 E 为坐标原点,E B , E F , E A 分别

为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得,
A ( 0 , 0 , 2 ) , B ( 2 , 0 , 0 ) , C ( 2 , 4 , 0 ) , F ( 0 , 3, 0 ) , D ( 0 , 2 , 2 ) ,
, ) ; ∴ E G ? ( 2 , 2 , 0B D ? ( ? 2 , 2 , 2 ) , ∴ ???? ????

G (2, 2, 0)

? ? ? ? ? ? ? ? B D ? E ? 2 ? 2? G

2?
??? ?

2,∴0B D ? E G .???8 分 ? ?

( Ⅲ ) 由 已 知 得 E B ? ( 2 , 0 , 0 ) 平 面 E F D A的 法 向 量 . 设 平 面 D C F 的 法 向 量 为 是
? n ? (x, y, z) ? ? ? 0 ?, ,2 , FD ? (, 1) ∵ ? ? ?

F (1) ? C,0 2

???? ? ? FD n ? 0 ? ?? y ? 2z ? 0 ? , ? ???? ? ∴ , ? 即 , z ? 1, 令 ? ?2x ? y ? 0 ? FC n ? 0 ?

得 n ? ( ? 1, 2 , 1) . 设二面角 C ? D F ? E 的大小为 ? ,由法向量 n 与 E B 的方向可知, ? ? ? n , E B ? ,∴
? ??? ? cos ? ? cos ? n, E B ?? ?2 2 6 6 6
6 6

?

?

??? ?

? ??? ?

? ?

,即二面角 C ? D F ? E 的余弦值为 ?

.???12


n ?1

(19)(本题满分 12 分)已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ?
?2 ? (Ⅰ)证明数列 ? ? 是等差数列; ? an ?
n

2

an
n

an ? 2

(n ? N *) .

(Ⅱ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅲ)设 b n ? n ( n ? 1) a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 S n . (19) 【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础

知识知识,考查运算求解能力、推理论证能力,中等题. 解:(Ⅰ)由已知可得
a n ?1 2
n
n ?1

?

an an ? 2
n

,所以

2

n ?1

?

2

n

? 1 ,即

2

n ?1

?

2

n

? 1 ,∴数列

a n ?1

an

a n ?1

an

?2 ? ? ? 是公差为 1 的等差数列.???4 分 ? an ?
2
n

(Ⅱ)由(1)可得

?

2 a1

an

? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,∴ a n ?

2

n

n ?1

.???7 分

n n 2 3 (Ⅲ)由(2)知, b n ? n ? 2 ,所以 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ,

2Sn ? 1?2 ? 2 ?2 ? 3 ?2 ? ? ? n ?2
2 3 4

n ?1

n n? 2 3 ,相减得 ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2

1

? 2

n ?1

? 2 ? n?2

n ?1

n ?1 ,∴ S n ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 .???12 分

(20)(本题满分 13 分)已知椭圆 E :
???? ???? ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P (3, 1) ,其左、

右焦点分别为 F1 , F 2 ,且 F1 P ? F 2 P ? ? 6 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点,且 F1 M ? F 2 N ,则以 M N 为直径的圆 C 是 否过定点?请说明理由. (20) 【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识,考查运算求解能力以及分析 问题、解决问题的能力,较难题. 解 : ( Ⅰ ) 设 点 F1 , F 2 的 坐 标 分 别 为 ( ? c , 0 ), ( c , 0 )( c ? 0 ) , 则
???? ???? ? ???? ???? ? 2 F1 P ? (3 ? c ,1), F 2 P ? (3 ? c ,1) , 故 F1 P ? F 2 P ? (3 ? c )(3 ? c ) ? 1 ? 1 0 ? c ? ? 6 , 可 得

c ? 4 ,??????2 分

所以 2 a ? | P F1 | ? | P F 2 | ?
a ? 3

(3 ? 4 ) ? 1 ?
2 2

(3 ? 4 ) ? 1 ? 6
2 2

2 ,

2 ,???????4 分
x
2

∴b ? a ? c ? 18 ? 16 ? 2 , 所以椭圆 E 的方程为
2 2 2

?

y

2

? 1 . ??????????

18

2

6分 (Ⅱ)设 M , N 的坐标分别为 (5 , m ), (5 , n ) ,则 F1 M ? (9 , m ) , F 2 N ? (1, n ) . 由
????? ???? ?

????? ???? ? ????? ???? ? F1 M ? F 2 N ,可得 F1 M ? F 2 N ? 9 ? m n ? 0 ,即 m n ? ? 9 ,

???????8 分

又圆 C 的圆心为 (5 ,
( x ? 5) ? ( y ?
2
2 2

m ? n 2

), 半径为
2

|m ? n| 2

,故圆 C 的方程为
2 2

m ? n 2

) ? (
2

|m ?n| 2

) ,即 ( x ? 5 ) ? y ? ( m ? n ) y ? m n ? 0 ,也就是

( x ? 5 ) ? y ? ( m ? n ) y ? 9 ? 0 ,令 y ? 0 ,可得 x ? 8 或 2 ,

故圆 C 必过定点 (8 , 0 ) 和 ( 2 , 0 ) . ????????13 分

(21) (本题满分 14 分)设函数 f ( x ) ? c ln x ?
f ( x ) 的极值点.

1 2

x ? b x ( b , c ? R , c ? 0 ) ,且 x ? 1 为
2

(Ⅰ) 若 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点,求 f ( x ) 的单调区间(用 c 表示); (Ⅱ) 若 f ( x ) ? 0 恰有两解,求实数 c 的取值范围. (21)【命题意图】本题考查导数的应用,分类讨论思想,考查运算求解能力、逻辑思 维能力和分析问题解决问题的能力,较难题.
c x
f ' ( ? x ) ( x ? 1 ) x? ( x c )

) 解 : f ' (x ?

?

? x

?b

x ?
2

b? x x

, 又 f ' ( 1? )

c

, 则 b ? c ?1? 0 , 所 以 0

且 c ? 1 , ????3 分

(Ⅰ)因为 x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点, 所以 c ? 1 . 令 f '( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? c ; 令 f '( x ) ? 0 , 得 1 ? x ? c . 所 以 f ( x ) 的 递 增 区 间 为 ( 0 ,1) , ( c , ? ? ) ; 递 减 区 间 为
(1, c ) .????6 分

(Ⅱ)①若 c ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( 0 ,1) 上递减,在 (1, ? ? ) 上递增. 若 f ( x ) ? 0 恰有两解, 则 f (1) ? 0 ,即
1 2 ? b ? 0 ,所以 ? 1 2
极大值

? c ? 0. c ? 1 b ? c 2
2

②若 0 ? c ? 1 , f x ) 则 (

? c ) cn c f ( ? l

,f ( x ) 极 小 值 ? f (1) ?
c
2

1 2

?b . 因



b ? ?1 ? c
1 2





f ( x ) 极 大 值 ? c ln c ?

c

2

? c ( ? 1 ? c ) ? c ln c ? c ?

? 0



2

2

f ( x )极 小 值 ? ?

? c ,从而 f ( x ) ? 0 只有一解;

③若 c ? 1 ,则 f ( x ) 极 大 值 ? ?
c
2

1 2

? c ? 0 ,从而
2

f ( x ) 极 小 值 ? c ln c ?

? c ( ? 1 ? c ) ? c ln c ? c ?

c

? 0 ,则 f ( x ) ? 0 只有一解.

2

2
1 2 ? c ? 0 .????14 分

综上,使 f ( x ) ? 0 恰有两解的 c 的范围为 ?


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