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高中数学函数单调性论文


浅谈高中数学函数的单调性 函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只 是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理 论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直 观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的 形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到 的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许 多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性, 所以单调性的证明自然就是教学中的难点. 高中数学函数部分是高中数学的重要内容,它贯穿整个高中数学 的始终。 其中函数的性质尤其重要, 是历年高考的热点和重点内容。 本文就教材中函数的单调性进行解读,希望对同学们的学习和理解 能够有所帮助。 定义:在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 a 上,如果对于任意 x1,x2 两数,当 x1 在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 a 上,如 果对于任意 x1,x2 两数,当 x1 解读 1 (1)函数的单调性离不开 单调区间。离开单调区间单调性无从谈起。 (2)定义中是任意的,不能取两个具体的值比较得出结论。 (3)f(x1) (4)单调性反映在函数图像上就是上升还是下降。 例 1 函数 f(x)=x+1x 在区间(-∞,0)及(0,+∞)上均单调 递减。 但是不能说 f(x)在定义域上递减。 也不能说因为-1<2,且 f(-1) 解 读 2 函数单调性的作用,也就是利用函数的单调性定义我们可以做 些什么?以增函数为例: 在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 a 上, 如果对于任意 x1,x2 两数,当 x1 可以得出如下结论: (其中 x1,x2 是区间 a 上任意的两个值) (1)由 x1 (2)由 x1 (3)由函数 y=f(x)在区间 a 上是单调递 增的,f(x1) 它们的作用是 (1)可以用来判断和证明函数的单调性 (2)可以用来比较函数值的大小 (3)可以用来解函数不等式 例 2(1)比较 3.12,3.13 的大小 (2)函数 f(x)是定义在(-1,1)的增函数,且 f(-x)+f(x)=0, 求满足不等式 f(a-3)+f(9-a2)<0 的 a 的取值范围 解(1)函数 y=3.1x 是 r 上的增函数,所以 3.12<3.13 (2)由题设条件 f(-x)+f(x)=0 可得 不等式 f(a-3)+f(9-a2)<0 可化为 f(a-3)<-f(9-a2) 即 f(a-3) 所以由 f(x)是定义在(-1,1)的增函数 解函数不等式的关键在于利用函数的单调性去掉函数符号 f.同时 注意函数的定义域 解读 3 如何确定函数单调区间的分界点呢? 例 3 函数 f(x)=x+1x 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上 单调递增。那么单调区间的分界点 1 是如何求出的呢? 解:设 0 f(x1)-f(x2)=x1+1x-(x2+1x2) =(x1-x2)x1x2-1x1x2 因为 x1,x2 是任意的,考虑 x1,x2 无限接近 的极限情况, 看上式的符号, 上式为 0 时, 不妨令 x=x1=x2 x2=1 x=1 或-1,这就是单调区间的分界点。 例如证明在 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)单调递增 设 0<x1<x2<1,则 x1-x2<0,x1x2-1<0 所以 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2) 从而 f(x)在(0,1)上单调递减 同理可证 f(x)在(1,+∞)上单调递增 解读 4 对函

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