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高一数学必修4期末试卷及答案


高一年级数学《必修 4》试题
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
1.与 ? 4 6 3 ? 终边相同的角可以表示为 ( k ? Z ) ( )
F A E D C O B

A. k ? 360 ? ? 463 ? B. k ? 360 ? ? 103 ? C. k ? 360 ? ? 257 ? D. k ? 360

? ? 257 ? 2 如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是 ( )
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A. A B ? O C

??? ?

????

B. A B ∥ D E
12 13

??? ?

????

C. A D ? B E

????

??? ?

D. A D ? F C

????

??? ?

3. ? 是第四象限角, co s ? ? A
5
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, sin ? ? ( ) C
5
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B
sin 5 12

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?

5 13

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D

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?

5 12

13

12

4. lo g A
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2

? ? lo g

2

co s

5 12

? 的值是(

) D
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4

B

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1

C

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?4

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?1

5. 设 f ( x ) ? a sin( ? x ? ? ) ? b cos( ? x ? ? ) +4,其中 a、 b、 ? 、 ? 均为非零的常数,若 f (1 9 8 8) ? 3 ,则 f ( 2 0 0 8) 的值为( A.1 B.3 C.5 D.不确定 )



6. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x ) ? sin x 和 g ( x ) ? co s x 的图像分别交于 M , N 两点,则 M N 的最大值为( A.1 B. 2
? ?

C. 3

D.2 的图像( )

7. 为得到函数 y ? co s ? 2 x ? A.向左平移 C.向左平移
5π 12 5π 6

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 3?

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向右平移
? 2
? 8 ? 8 x? ? 4 x? ? 4 )

5π 12 5π 6

个长度单位 个长度单位 )

8. 函数 y ? A sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , ? ? A. y ? ? 4 sin( C. y ? 4 sin(
? 8 ? 8 x? ? 4 x? ? 4 ) )

, x ? R ) 的部分图象如图所示,则函数表达式为(

B. y ? 4 sin(

D. y ? ? 4 sin(
?? ? (x ? R) 3?

)

9. 设函数 f ( x ) ? sin ? x ?
?

?

,则 f ( x ) =(
? ?


?? 2? ?

A.在区间 ?

? 2? 7? ? , ? 上是增函数 6 ? ? 3

? B.在区间 ? ? ? ,

上是减函数

C.在区间 ? , ? 上是增函数 ?8 4?

?? ??

D.在区间 ? , ? 上是减函数 ?3 6 ?
???? ???? ??? ? ??? ???? ? ??? ?

? ? 5? ?

10.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 D C ? 2 B D , C E ? 2 E A , A F ? 2 F B , 则 A D ? B E ? C F 与 B C ( A.互相垂直 B.同向平行 C.反向平行 D.既不平行也不垂直

????

??? ?

??? ?

????

)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11.
3 ? sin 7 0
2 ? ?

2 ? co s 1 0

?
? ? ?? ? 5?

12.已知函数 f ( x ) ? 2 s i n? ? x ? 为 。

的图象与直线 y ? ? 1 的交点中最近的两个交点的距离为

? 3

,则函数 f ( x ) 的最小正周期

13.已知函数 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 是偶函数,且 ? ? [0, ] ,则 ? 的值
2

?





14.下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ? . ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=
k? 2 ,k ? Z

} .

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin ( 2 x ? ) 的图像向右平移
3 ? 2 ? ? 6

得到 y ? 3 sin 2 x 的图像.

⑤函数 y ? sin ( x ? ) 在 [0 , ? ] 上是单调递减的. 其中真命题的序号是 .

高一年级数学《必修 4》试题答题纸
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11. 13. 12. 14.

三、解答题(共四个小题,共 44 分)
15. (本题满分 10 分,每小题 5 分) (1)化简:
sin ( ? ? ? ) co s(3? ? ? ) tan ( ? ? ? ? ) tan ( ? ? 2 ? ) tan ( 4 ? ? ? ) sin (5 ? ? a )

(2)若 ? 、 ? 为锐角,且 co s( ? ? ? ) ?

12 13

, co s( 2 ? ? ? ) ?

3 5

,求 cos ? 的值.

16. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xO y 中,以 O x 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为
2 5 3 10 , 5 10



(1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? ? 的值.

17. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数
f (x) ? 1 2 co s x ?
2

3 2

sin x co s x ? 1 , x ? R



(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在 [
?
,

?

] 上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量 x

的值.

12 4

18. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) ? co s 2 ? x ?
?

?

π ? ? 12 ?

, g (x) ? 1 ?

1 2

sin 2 x



(1)设 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴,求 g ( x 0 ) 的值; (2)求函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调递增区间.

参考答案一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
题 号 答 案 C D B C B B A D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C 1

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

11. 13.

2
?
4

12. 14.

?

①④

三、解答题(共四个小题,15、16 题各 10,17、18 题各 12 分,共 44 分)
15. (本小题满分 10 分) (1)化简:
sin ( ? ? ? ) co s(3? ? ? ) tan ( ? ? ? ? ) tan ( ? ? 2 ? ) tan ( 4 ? ? ? ) sin (5 ? ? a )
12 13


3 5

(2)若 ? 、 ? 为锐角,且 co s( ? ? ? ) ? 解: (1)原式= sin ?

, co s( 2 ? ? ? ) ?

,求 cos ? 的值.

(2)因为 ? 、 ? 为锐角,且 co s( ? ? ? ) ?
? ? ? ?[ 0 , ?
2 ] , 2? ? ? ? [0, ] 2 5 13

12 13

, co s( 2 ? ? ? ) ?

3 5

?

所以 sin ( ? ? ? ) ?

, sin ( 2 ? ? ? ) ?
16 65

4 5

∴ co s ? ? co s(( 2? ? ? ) ? ( a ? ? )) ?

.

16. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xO y 中,以 O x 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为
2 5 3 10 , 5 10

(1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 ? ? ? 的值.
解:由条件得 co s ? ?
2 5 5 , co s ? ? 3 10 10

y
A B O

? ? 、 ? 为锐角,? sin ? ?

5 5

, sin ? ?

10 10

?

tan ? ?

1 2

, tan ? ?

1 3
1 1 3 1 3 1 ? ? 1 2 1 2 1 3 ? 1 3 ?1 ? 1 7

x

(1) tan (? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

?

?

2 1?

(2) ? tan (? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

?

2 1?

又? ? 、 ? 为锐角,? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
4

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 co s x ?
2

3 2

sin x co s x ? 1 , x ? R



(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在 [ 解: f ( x ) ?
1 2 co s x ?
2

?

,

?

] 上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量 x

的值.

12 4
3 2 sin x co s x ? 1 ? 1 4 co s 2 x ? 3 4 sin 2 x ? 5 4

?

1 2

sin ( 2 x ?

?
6

)?

5 4

(1) f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)? x ? [ ∴当 2 x ? 当2x ?
?
6

2? 2

??

?
?
6

,

?

]

? 2x ?

?
6

?[

? 2 ?
, 3 3

] 1 2 ? 5 4 ? 7 4

12 4 ? ?

?
2

,即 x ? 或2x ?
?
6

?
6 ?

时, f ( x ) m ax ?
2? 3 f ( x ) m in

?
3

时,即 x ?

?

或x ?

?

时,

12 4 1 5 3 ? ? ? ? 2 4 4

18. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) ? co s 2 ? x ?
?

?

π ? ? 12 ?

, g (x) ? 1 ?

1 2

sin 2 x



(1)设 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴,求 g ( x 0 ) 的值; (2)求函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x ) ?
1 2 [1 ? co s( 2 x ? π 6 π 6
? kπ

)] .

因为 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴,所以 2 x 0 ? 即 2 x0 ? kπ ?
π 6 1 2 sin 2 x 0 ? 1 ?
1



(k ? Z ) .
1 2 sin ( k π ? π 6 ).

所以 g ( x 0 ) ? 1 ?

当 k 为偶数时, g ( x 0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x 0 ) ? 1 ? (II) h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

1 3 ? π? sin ? ? ? ? 1 ? ? 2 4 4 ? 6?



1 2

sin

π 6

?1?

1 4

?

5 4



1 ? π ?? 1 ? ?1 ? co s ? 2 x ? ? ? ? 1 ? sin 2 x 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1 ? π? ? 3 1? 3 1 ? co s2 x ? sin 2 x ? ? ? co s ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? ? 2 ? 2 2? 6? 2? 2 ? ? 2 ?

?

1

π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? 2 3? 2 ?
π 2 ≤ 2x ?
1


≤ 2 kπ ? π 2

当 2 kπ ?

π 3

,即 k π ?

5π 12

≤ x ≤ kπ ?

π 12

( k ? Z )时,

函数 h ( x ) ?

π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? 2 3? 2 ?

是增函数,
? ? 5π 12 π ? 12 ? ?

故函数 h ( x ) 的单调递增区间是 ? k π ?

, kπ ?

(k ? Z ) .


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