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福建省三明一中、二中2013届高三上学期期末联考数学理试题


2013 届高三上学期期末联考数学理试题
(考试时间:2013 年 1 月 26 日下午 3:00-5:00 满分:150 分)

第Ⅰ卷 (选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且 只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应

位置。 1.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x,3) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为 A. 9 B. 1 2.设集合 U = ?1,2,3,4? , M = x ? U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = ?2,3? ,则实数 p 的值为 A. ?4 B. 4 C. ?6 D. 6

?

?

?

?

?

C. ?1

?

D. ?9

3.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面? ,则“ ? // ? ”是“ l ? m ”的 A.充分不必要条件 件 4. 定义: A. 1 ? i B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条

a b z 1 ? ad ? bc .若复数 z 满足 ? ?1 ? 2i ,则 z 等于 c d ?i i
B. 1 ? i C. 3 ? i D. 3 ? i

5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? sin 2 x 在 x ? 0 处的切线方程是 A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

6. 某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是

A. f ( x) ? x

2

B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ? e

x

D. f ( x) ? sin x

7. 若函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,

则 ? 和 ? 的取值是

y

?1

O

1

x

A. ? ? C. ? ?

?

1 ? ,? ? ? 4 4 4 ,? ?

B. ? ?

?

4

D. ? ?

?

1 ? ,? ? 4 4 ,? ? ?

?
4

4

8. 若函数 f (x) 的零点与 g ( x) ? 4 x ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 是 A. f ( x) ? 4 x ? 1 B. f ( x) ? ( x ? 1) 2 C. f ( x) ? e x ? 1

1 ,则 f (x) 可以 4
1 2

D. f ( x) ? ln( x ? )

1 ? ?1 ? 2 | x ? | (0 ? x ? 1) 9 . 已 知 f ( x) ? ? , 若 方 程 f ( x) ? m 存 在 三 个 不 等 的 实 根 2 ?l o g 0 1 3x ( x ? 1) ? 2

x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是
) A. (1,2013
B. (2,2013 ) C. (1,2014 ) D. (2,2014 )

10 . 已 知 集 合 A ? {( x, y) | x ? n, y ? na ? b, n ? Z} , B ? {( x, y) | x ? m, y ? 3m2 ? 12,

m ? Z } 。若存在实数 a , b 使得 A ? B ? ? 成立,称点 ( a, b) 为“£”点,则“£”点在平
面区域 C ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 108} 内的个数是 A. 0 B.1 C.2 D. 无数个

第二卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卡上.
2 11. 已知随机变量 ? ~ N (0, ? ) ,若 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.2 ,则 P(? ? 2) 等于 ******.

12.某几何体的三视图如下右图所示,则这个几何体的体积是 ****** .

13. 已知抛物线 y 2 ? 8x 的准线 l 与双曲线 C :
则双曲线 C 的离心率 e ? ****** .

x2 ? y 2 ? 1 相切, 2 a

? x ? y ? 0, ? 14.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 所表示的平面区域的面积是 9,则实数 a ? x?a ?
的值为 ****** . 15. 已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 ,若对任意 x ? ?1, 2?且 y ? ?2 , 3?,该不等式恒成立,则实 数 a 的取值范围是 ****** . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 13 分) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)证明:

S2 . b2

1 1 1 1 2 ? ? ??? ? . 3 S1 S2 Sn 3

17. (本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (sin

?

2

? ? 2x
4

? ? ? , cos x ? sin x), b ? (4sin x, cos x ? sin x), f ( x) ? a ? b

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)求由 f (x) 的图象、 y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。 18. (本小题满分 13 分)图一,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, A ?

?
3

,C ?

?
2



CD ? 2 .把 ABD 沿 BD 折起(如图二) ,使二面角 A ? BD ? C 的余弦值等于
对于图二,完成以下各小题: (Ⅰ)求 A, C 两点间的距离; B D C

3 . 3
A

C B A 图1 图2 D

(Ⅱ)证明: AC ? 平面 BCD ; (Ⅲ)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 13 分) 二十世纪 50 年代,日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失 调、 四肢麻木等症状, 人们把它称为水俣病. 经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞, 使鱼类受到污染.人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒. 引起世人对食品安全 的关注. 《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm. 罗非鱼是体型较大,生命周期长的食肉鱼,其体内汞含量比其他鱼偏高.现从一批罗 非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数字 为茎,小数点后一位数字为叶)如下: 罗非鱼的汞含量 (ppm)

0 1 3 2 1 5 9 8 7 3 2 1 1 2 3 5 4
(Ⅰ)若某检查人员从这 15 条鱼中,随机地抽出 3 条,求恰有 1 条鱼汞含量超标的概率; (Ⅱ)以此 15 条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据.若从这批数量很大的鱼中任选 3 ........ 条鱼,记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数,求 ξ 的分布列及 Eξ 20. (本小题满分 14 分) 已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (0,1) ,且离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点 (? , 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. ① 若直线 l 垂直于 x 轴,求 ?AQB 的大小; ② 若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形?如果存在,求 出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由. 21. (本小题共 14 分) 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意 f ( x) ? M , ① 方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根;② 函数 f (x) 的导数 f ?(x) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 .

3 , Q 为椭圆 C 的左顶点. 2

6 5



普通高中 2012—2013 学年第一学期三明一、二中联合考试

高三数学(理科)答案

三、解答题 16.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6 ? d ????????????????3 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?

分 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) d ? 3 . , 故 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n (Ⅱ)因为 S n ? 所以 , bn ? 3n?1 .??????????????6 分

n(3 ? 3n) , 2

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) .??????????????9 分 S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1



1 1 1 2? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) S1 S2 Sn 3 ? 2 2 3 3 4 n n ?1 ? ?
2 1 (1 ? ) ?????????????????????????11 3 n ?1

?


1 1 1 1 ? 1, ≤ ,于是 ≤ 1 ? n ?1 2 2 n ?1 1 2 1 2 )? . 所以 ≤ (1 ? 3 3 n ?1 3
因为 n ≥ 1 ,所以 0 ? 即 分 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin
2

1 1 1 1 2 ≤ ? ??? ? 3 S1 S 2 Sn 3

?????????????????13

? ? 2x
4

? 4 sin x ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ????2 分

1 ? cos( ? x) 2 ? 4 sin x ? ? cos2 x ????????????4 分 2
? 2 sin x(1 ? sin x) ? 1 ? 2 sin 2 x ????????????6 分
? 2 sin x ? 1 ,
∴ 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? 2sin x ? 1 =0,解得 sin x ? ?

?

f ( x) ? 2sin x ? 1 。??????????????????????????7
1 2

易知 f (x) 的图象与 x 轴正半轴的第一个交点为 ( 分

7? ,0) 。 6

????????9

所以 f (x) 的图象、 y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积

s??

7? 6 0

(2sin x ? 1) dx 。???????????????????????11 分

? 2? 3?

7? 6

???????????????????????13 分

18.解: (Ⅰ)取 BD 的中点 E ,连接 AE, CE , 由 AB ? AD, CB ? CD ,得: AE ? BD, CE ? BD

∴ ?AEC 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,即 cos ?AEC ? 在 ?ACE 中,解得 AE ?

3 3

???????2 分

6 , CE ? 2 ,又 AC 2 ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE cos?AEC
3 ? 4 ,解得 AC ? 2 。 ????????????????4 3

? 6 ? 2 ? 2? 6 ? 2 ?


(Ⅱ)由 AD ? BD ? 2 2, AC ? BC ? CD ? 2 , ∴ AC ? BC ? AB , AC ? CD ? AD ,∴ ?ACB ? ?ACD ?
2 2 2 2 2 2

?
2



∴ AC ? BC, AC ? CD ,

又 BC ? CD ? C ,∴ AC ? 平面 BCD .?????8 分

(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 ACE , BD ? 平面 ABD ∴平面 ACE ? 平面 ABD ,平面 ACE ? 平面 ABD ? AE , 作 CF ? AE 交 AE 于 F ,则 CF ? 平面 ABD , ?CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角。?????????????????11 分 ∴ sin ?CAF ? sin ?CAE ?

CE 3 ? .?????????????????13 分 AE 3

方法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h , ∵ VC ? ABD ? VA? BCD ,? ?

1 1 ? 1 1 ? 2 2 ? 2 2 sin ? h ? ? ? 2 ? 2 ? 2 , 3 2 3 3 2



h?

2 3 ,?????????????????????????????11 分 3

于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦为 sin ? ?

h 3 ? .?????????13 分 AC 3

方法三:以 CB, CD, CA 所在直线分别为 x 轴, y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz , 则 A(0,0,2), B(2,0,0), C (0,0,0), D(0,2,0) . 设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

n ? AB ? 0 , n ? AD ? 0 , n ? AD ? 0 , ? 2 x ? 2 z ? 0,2 y ? 2 z ? 0 ,
取 x ? y ? z ? 1 ,则 n ? (1,1,1) , ?????????????????????11 分 于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正弦 sin ? ?

| n ? CA | | n || CA |

?

|0?0?2| 3?2

?

3 .???13 分 3

19.解: (I)记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A 则 P(A) ?
1 2 C5 ? C10 45 . ? 3 C15 91

45 ??????5 分 91 5 1 ? ,??7 分 (II)解法一:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P= 15 3
∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标的概率为 所有 ξ 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下:

ξ P( ξ )

0
2 0 1 C3 ( )0 ( )3 3 3 1 3

1
1 2 C1 ( )1 ( ) 2 3 3 3

2
2 2 1 C 3 ( ) 2 ( )1 3 3

3
1 2 C3 ( )3 ( )0 3 3 3
???11 分

所以 ξ ~ B(3, ) , 所以 Eξ =1.

???????????????12 分 ??????????????????13 分

解法二:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P= 所有 ξ 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下:

5 1 ? , 15 3

??7 分

ξ P( ξ )
所以 Eξ = 0 ?

0
8 27

1
4 9

2
2 9

3
1 27
???11 分

8 4 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 27 9 9 27

??????????????13 分

x2 y 2 2 2 2 20.解: (Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,且 a = b + c . a b
由题意可知:b = 1 ,

c 3 = . a 2

???????????????2 分

解得 a = 4 .

2



椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

??????????????3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 Q(?2, 0) .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

(ⅰ)当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x ? ?

6 . 5

6 6 6 ? ? ? ?x ? ? 5 , ?x ? ? 5 , ?x ? ? 5 , ? ? ? 由? 2 解得: ? 或? ? x ? y2 ? 1 ?y ? 4 ?y ? ? 4. ? ? ?4 5 5 ? ? ?
即 A(? , ), B( ? , ? ) (不妨设点 A 在 x 轴上方). ???????5 分 则直线 AQ 的斜率 k AQ ? 1,直线 BQ 的斜率 kBQ ? ?1 . ∵ k AQ ? kBQ ? ?1 ,得 AQ ? BQ . ∴ ?AQB ?

6 4 5 5

6 5

4 5

? . 2

???????????????6 分

(ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时,由题意可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? )(k ? 0) .

6 5

6 ? ? y ? k ( x ? 5 ), ? 由? 2 消去 y 得: (25 ? 100k 2 ) x2 ? 240k 2 x ? 144k 2 ?100 ? 0 . ? x ? y2 ? 1 ?4 ?
因为 点 (-

6 , 0) 在椭圆 C 的内部,显然 ? ? 0 . 5

? 240k 2 x1 ? x2 ? ? , ? ? 25 ? 100k 2 ???????????????8 分 ? 2 ? x x ? 144k ? 100 . ? 1 2 25 ? 100k 2 ? ??? ? ??? ? 6 6 因为 QA ? ( x1 ? 2, y1 ), QB ? ( x2 ? 2, y2 ) , y1 ? k ( x1 ? ) , y2 ? k ( x2 ? ) , 5 5 ??? ??? ? ? 所以 QA ? QB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
6 6 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k ( x1 ? ) ? k ( x2 ? ) 5 5 6 36 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 5 25

? (1 ? k 2 )


144k 2 ? 100 6 240k 2 36 ? (2 ? k 2 )(? ) ? 4 ? k2 ? 0 . 2 2 25 ? 100k 5 25 ? 100k 25
即 ?QAB 为直角三角形. ?????11 分

??? ??? ? ? QA ? QB .

假设存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形,则 QA ? QB .
A Q B O x y

N

取 AB 的中点 M ,连接 QM ,则 QM ^ AB . 记点 (-

6 , 0) 为 N . 5

另一方面,点 M 的横坐标 xM =

x1 + x2 120k 2 24k 2 , ==2 25 + 100k 2 5 + 20k 2
6 6k )= . 5 5 + 20k 2

∴点 M 的纵坐标 yM = k ( xM +

又 QM ? NM ? (

???? ???? ? ?

10 ? 16k 2 6k 6 6k 60 ? 132k 2 , )?( , ) ? ?0 5 ? 20k 2 5 ? 20k 2 5 ? 20k 2 5 ? 20k 2 (5 ? 20k 2 )2

故 QM 与 NM 不垂直,矛盾. 所以 当直线 l 与 x 轴不垂直时,不存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形. ???????????????13 分 21.解: (Ⅰ)因为①当 x ? 0 时, f (0) ? 0 , 所以方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根 0; ② f ?( x ) ?

???? ?

???? ?

1 1 ? cos x , 2 4

所以 f ?(x) ? ? , ? ,满足条件 0 ? f ?( x) ? 1 ; 4 4 由①②,函数 f ( x) ?

?1 3? ? ?

x sin x ? 是集合 M 中的元素. 2 4

????5 分

(Ⅱ)假设方程 f ( x) ? x ? 0 存在两个实数根 ? , ? (? ? ? ) , 则 f (? ) ? ? ? 0 , f ( β ) ? β ? 0 . 不妨设 ? ? ? ,根据题意存在 c ? (? , ? ) , 满足 f ( β ) ? f (α) ? ( β ? α) f ?(c) . 因为 f (? ) ? ? , f ( ? ) ? ? ,且 ? ? ? ,所以 f ?(c) ? 1 . 与已知 0 ? f ?( x) ? 1 矛盾.又 f ( x) ? x ? 0 有实数根, 所以方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根. ????10 分

(Ⅲ)当 x 2 ? x3 时,结论显然成立; ?????????????????11 分

当 x 2 ? x3 ,不妨设 a ? x2 ? x3 ? b . 因为 x ? ? a , b? ,且 f ?( x) ? 0, 所以 f (x) 为增函数,那么 f ( x2 ) ? f ( x3 ) . 又因为 f ?( x) ? 1 ? 0 ,所以函数 f ( x) ? x 为减函数,


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